Яковлев В.В. Экологическая безопасность, оценка риска

Подождите немного. Документ загружается.

После интегрирования (4.1.8):

[]

∫

⋅µ+λ+⋅⋅µ= dttNtC )(exp)(

или

[]

CtNtC +⋅µ+λ+⋅⋅

µ+λ

= )(exp

)(

(4.1.9)

подставив (4.1.9) в (4.1.6), получим:

[] []

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+⋅µ+λ+⋅

µ+λ

⋅⋅⋅µ+λ−=

CtNttm )(exp

)(

)(exp)(

(4.1.10)

Подставив в (4.1.10) начальные условия (4.1.5), имеем:

NNNCCNN ⋅

µ+λ

=⋅

µ+λ

−=+⋅

µ+λ

)()(

;

)(

(4.1.11)

Подставляем полученное значение произвольной постоянной С

в (4.1.10):

[] []

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

µ+λ

+⋅µ+λ+⋅

µ+λ

⋅⋅⋅µ+λ−= NtNttm

)(

)(exp

)(

)(exp)(

Откуда окончательно получаем:

[]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅µ+λ−⋅

µ+λ

⋅= tNtm )(exp

)()(

)(

(4.1.12)

С учетом (4.1.2):

[]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅µ+λ−⋅

µ+λ

−

µ+λ

⋅= tNtm )(exp

)()(

)(

(4.1.13)

Или, при N=100, λ = 1.5, µ = 3:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅−⋅+⋅= ).exp(

)( ttm 54

100

(4.1.14)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅−⋅−⋅= ).exp(

)( ttm 54

100

(4.1.15)

При t → ∞ предельные значения числа элементов, находящихся в состоя-

нии S

и числа элементов, находящихся в состоянии S

будут равны соот-

ветственно:

= 66.6, m

= 33.3.

При изменении времени эксплуатации рассматриваемой системы от

0 до 1.5 лет, получим следующие данные об изменении состояний систе-

мы, приведенные в табл. 4.1.1.

Таблица 4.1.1.

Распределение во времени числа элементов, находящихся в различ-

ных состояниях.

t, год 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

100 80.2 72.2 68.9 67.0 66.8 66.7 66.7

0 19.8 27.8 31.1 32.4 33.0 33.3 33.3

Графики изменения соответствующих численностей приборов при-

ведены на рис. 4.1.2.

100

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

Время, год

Число элементов

Рис. 4.1.2. Изменение численности элементов, находящихся в исправ-

ном и неисправном состоянии в течение 1.4 года.

4.2. Принцип квазирегулярности.

До сих пор считалось, что интенсивности потоков, переводящих сис-

тему из состояния в состояние, известны и не случайны. Тем самым пред-

полагалось, что эти интенсивности не зависят от численности состояний,

которые, почти всегда

случайны. Однако, на практике очень часто процес-

сы, протекающие в системе элементов, складываются так, что интенсивно-

сти потоков событий, переводящих элемент из одного состояния в другое,

зависят от того, сколько элементов находятся в том или ином состоянии.

Например, в рассмотренном примере действовала гипотеза о том, что вре-

мя восстановления элемента (

выздоровление особи) представляет собой

константу. Это предположение справедливо, если элементы (особи) посту-

пают в оздоровительный центр редко и не создается очереди, т.е. время

восстановления не зависит от числа поступивших элементов.

В общем случае интенсивности потоков событий, переводящих эле-

менты из состояния в состояние, могут зависеть от численности элементов

не одного, а нескольких состояний. В этом случае нельзя составить урав-

нения динамики средних в прежней форме, ибо численности состояний,

определяющих интенсивности, будут неизвестны.

Эту трудность можно преодолеть, если предположить, что интенсив-

ности потоков событий, переводящие элемент из состояния в состояние,

зависят не от самих численностей состояний, а от их средних

значений

(математических ожиданий).

Такое допущение, предложенное И.Я. Динером, называется «принцип

квазирегулярности». Допущение позволяет составить уравнения динамики

средних не точно, а приближенно, но вполне корректно с инженерной точ-

ки зрения. Использование принципа квазирегулярности приводит к суще-

ственным ошибкам лишь в случае, когда общее число элементов в системе

достаточно мало, ибо в этом случае фактические численности состояний

могут сильно отличаться от средних значений.

При больших значениях

общего числа элементов в системе, отклонение численности каждого со-

стояния от среднего значения мало и применение метода динамики сред-

них дает сравнительно малые погрешности.

4.3. Предельное поведение средних численностей состояний.

Уравнения динамики средних в общем случае нелинейные, так же не-

линейные и алгебраические уравнения, если левые части

дифференциаль-

ных уравнений положить равными нулю. Может оказаться, что решение

такой алгебраической системы уравнений не единственно, т.е. придется

рассматривать совокупность решений и отбросить те из них, которые не

отвечают фактическим условиям.

Рассмотрим следующую задачу.

Пусть в некоторой местности обитают животные двух видов:

(А) - хищники, (В) – травоядные (жертвы).

Животные (А)

питаются животными вида (В), которые довольствуются

растительной пищей.

Состояние каждого животного будем характеризовать только по двум

признакам: животное живо или погибло.

Граф состояний системы (рис. 4.3.1) разделим на два графа, соответст-

вующие каждому виду в отдельности. Здесь стрелки, ведущие из состояния

в А

и из В

в В

, учитывают смертность животных, причем для траво-

ядных (В) смертность может наступать по двум причинам: естественная

смерть и гибель от хищника. Двойные стрелки, входящие в соответствую-

щие состояния символизируют пополнение численности животных за счет

рождаемости.

Рис. 4.3.1. Размеченные графы изменения численности животных.

Пусть Х

, Х

– численности хищников в состоянии А

(живы) и в со-

стоянии А

(мертвы) соответственно. Аналогично Y

и Y

– соответствую-

щие состояния для травоядных. Математические ожидания в данный мо-

мент времени t для численности хищников будем обозначать через m

(t) и

(t), а для травоядных – n

(t), n

(t).

Введем обозначения:

, λ

– интенсивности гибели хищников и травоядных;

, δ

– интенсивности прироста (рождаемости) хищников и травояд-

ных.

Для составления дифференциальных уравнений изменения численно-

сти животных необходимо задаться видом зависимостей λ

, λ

, δ

Рассмотрим динамику численности травоядных.

Предположим, что запасы пищи для травоядных не зависят от их чис-

ленности и от численности хищников. Тогда можно предположить, что

средняя рождаемость в единицу времени животных вида В (в пересчете на

одно животное) остается постоянной. Обозначим эту постоянную через с и

получим прирост

численности травоядных (состояние В

) в виде:

⋅=

(4.3.1)

Естественно предположить, что число встреч животных А и В, закан-

чивающихся тем, что животное А поедает животное В, пропорционально

числу (Х

) живых животных вида А и числу (Y

) имеющихся животных

вида В, т.е. число таких встреч (число животных вида В, которых съели

животные вида А) равно:

YXL ⋅⋅

(Х

)

где L– константа (эффективность охоты хищника).

Обозначим через k постоянную смертности травоядных вследствие ес-

тественной смерти, тогда число погибших травоядных Y

в единицу вре-

мени будет состоять из двух слагаемых:

1112

YXLYkY ⋅⋅+⋅=

, (4.3.2)

при этом второе слагаемое в составе Y

– это число животных, поедаемых

в единицу времени хищниками.

Разделим (4.3.2) на Y

и получим относительную численность гибели

травоядных:

YXLk

⋅=⋅+=

В пересчете на одно животное вида В т.е. при Y

=1 интенсивность гибели

травоядных будет равна:

XLk

⋅+=

(4.3.3)

Рассмотрим динамику численности животных вида А.

Поскольку согласно принятой модели единственной пищей хищников

являются травоядные, то и рождаемость и смертность животных вида А

будут зависеть от числа поедаемых в единицу времени животных вида В.

Число поедаемых травоядных определено числом эффективных встреч

хищников с травоядными, а в пересчете на одного животного вида А со-

ставит величину L⋅

(напомним, что Y

– число живых травоядных).

Таким образом, интенсивность смертности хищников λ

будет пред-

ставлять собой некоторую функцию аргумента L⋅Y

, но поскольку L – кон-

станта, а изменение Y

пока остается неизвестным, можно записать:

)(

(4.3.4)

Очевидно, что функция (4.3.4) будет убывающей функцией своего ар-

гумента, т.е. чем больше у хищников будет пищи, тем меньше их будет

умирать.

Аналогично, рождаемость хищников будет также зависеть от наличия

травоядных. Обозначим через g(Y

) функцию рождаемости хищников при-

ходящейся на одно животное в единицу времени. Легко заметить, что g(Y

)

– должна быть возрастающей функцией своего аргумента.

Средний прирост популяции хищников за счет рождаемости (в едини-

цу времени) определится выражением:

)(

YgX

⋅=

(4.3.5)

Теперь представляется возможным составить дифференциальные урав-

нения для средних численностей состояний:

tdn

tdm

δλ

+⋅−=

)(

(4.3.6)

где m

(t) – изменение во времени математического ожидания числен-

ности живых хищников;

(t) - изменение во времени математического ожидания численно-

сти живых травоядных.

Пользуясь принципом квазирегулярности и заменяя численности Х

, от которых зависят интенсивности (4.3.1), (4.3.3), (4.3.4), (4.3.5), их

средними значениями m

(t), n

(t), получим:

[]

)()()(

)(

)())(()())((

)(

111

1111

tnctntmLk

tdn

tmtngtmtnf

tdm

⋅+⋅⋅+−=

⋅+⋅−=

(4.3.7)

где k – постоянная смертности травоядных вследствие естественной

смерти;

L - эффективность охоты хищников.

YXL

⋅

- число трагичных

для травоядных встреч;

с – средняя рождаемость травоядных в единицу времени в пере-

счете на одно животное;

))(())((

tnLftnf ⋅

- интенсивность смертности хищников;

- средний прирост хищников за счет рождаемости.

В первое уравнение системы (4.3.7) входит только разность двух функ-

ций, которую можно обозначить через h(y):

)()()( yfygyh −=

(4.3.8)

где y – текущее значение численности травоядных (n

(t)).

Поскольку функция (4.3.8) представляет собой разность возрастающей

функции g(y) и убывающей функций f(y), то сама функция h(y) – возрас-

тающая и в отличие от положительных функций f(y), g(y) функция h(y)

может менять знак (рис. 4.3.3).

Содержательное значение функции (4.3.8) сводится к тому, что она оп-

ределяет относительный прирост численности хищников в единицу време-

ни в зависимости от числа травоядных.

Предположим,

что функция (4.3.8) меняет знак в точке y

, которая име-

ет смысл той численности травоядных, при которой рождаемость и смерт-

ность хищников в среднем уравновешиваются. При увеличении численно-

сти травоядных сверх y

численность хищников будет в среднем возрас-

тать, при уменьшении численности животных вида В – численность хищ-

ников в среднем будет убывать. Назовем y

критической численностью

травоядных (животных вида В).

Рис. 4.3.2. Изменение функций смертности f(y) и рождаемости g(y)

хищников в зависимости от значений аргумента.

Рис. 4.3.3. Пример изменения функции h(y).

По аналогии можно ввести понятие критической численности x

хищ-

ников, при которой число травоядных животных в среднем остается неиз-

менным.

Из второго уравнения системы (4.3.7) при m

(t)=x

и n

(t)=const, полу-

чим:

)()()(0

1101

tnctnxLtnk

⋅

+⋅⋅−⋅−=

откуда, учитывая, что n

(t)>0, имеем после деления на n

(t):

y y

f(y)

g(y)

h(y)

−

(4.3.9)

Если число хищников начнет превышать х

, то численность травояд-

ных будет убывать, а при числе хищников меньшем х

– численность тра-

воядных будет возрастать.

Пользуясь введенными обозначениями, уравнение динамики средних

(4.3.7) можно переписать в следующем виде:

[]

)()(

)(

)()(

)(

110

tntmxl

tdn

tmtnh

tdm

⋅−⋅=

⋅=

(4.3.10)

4.4. Анализ средних численностей популяций.

Решение системы (4.3.10) в данный момент времени – это точка на

плоскости n

(t), m

(t).

Введем обозначение:

[]

)()(),(

trtmtn =

и рассмотрим движение во времени точки r(t), изображающей решение

системы уравнений (4.3.10) на плоскости в координатах m

(t), n

(t), обра-

щаясь к рис. 4.4.1, где нанесены критические значения численности хищ-

ников x

и травоядных y

Выберем в качестве начальной точку A на оси n

(t)=y

Если при этом численность хищников убывает

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

< 0

)(

tdm

, что воз-

можно только в случае h(y)<0, т.е. если численность травоядных меньше

критической, то с течением времени движение точки r(t) будет направлено

вниз (численность травоядных уменьшается). Если при этом и

)(

tdn

(численность травоядных убывает), что возможно в случае x

< m

(t), то

движение точки r(t) будет происходить влево. Т.е. общее направление

движения точки r(t) – влево и вниз.

Рис. 4.4.1. Траектория движения точки r(t) решения системы (4.3.10)

на плоскости.

При m

(t) < x

(точка r(t) пересекла прямую m

(t) = x

, прошла точку В)

производная

tdn )(

согласно второму уравнению системы (4.3.10) меняет

знак и становится положительной, т.е. точка r(t), продолжая движение вле-

во (производная

tdm )(

остается отрицательной), начинает одновременное

движение вверх к точке С.

После прохождения точкой r(t) прямой n

(t)=y

(прохождение точки С)

функция h(y) меняет знак и становится положительной, т.е. точка r(t) на-

чинает движение вправо, поскольку, как следует из первого уравнения

системы (4.3.10), производная

tdm )(

становится положительной. Одно-

временно точка r(t) продолжает движение вверх к точке D вследствие по-

ложительного значения производной

tdn )(

После того, как траектория движения r(t) вновь пересечет прямую m

(t)

= x

(проходит точку D), левая часть второго уравнения в (4.3.10) стано-

вится отрицательной и движение точки r(t) происходит вниз к точке Е.

Следовательно, точка r(t), изображающая решение системы дифферен-

циальных уравнений (4.3.10), вращается вокруг точки с координатами (x

) по часовой стрелке, причем это вращение в общем случае происходит

не по окружности, приближаясь к этой точке или удаляясь от нее.

Точка (x

, y

) представляет положение равновесия системы.

Если в качестве начальных условий для решения системы (4.3.10) вы-

брать (x

, y

), то численности m

(t), n

(t) не будут изменяться и решение

системы (4.3.10) не будет зависеть от времени.

Действительно, при n

(t)=y

функция h(y) = 0 и правая часть первого

уравнения в системе (4.3.10) принимает нулевое значение. Аналогично,

при m

(t) = x

обращается в ноль правая часть второго уравнения:

)(

tdn

tdm

Следовательно, независимо от времени, имеем:

0101

)(,)( ytnxtm ≡≡

(4.4.1)

Если при иных начальных условиях с течением времени точка r(t) не-

ограниченно будет приближаться к этой точке, то рассматриваемая систе-

ма имеет устойчивое статическое решение.

Решение системы не будет устойчивым, если с течением времени точ-

ка r(t) будет удаляться от точки (x

, y

В общем случае возможны три варианта:

a. после одного «оборота» точка r(t), соответствующая решению

системы (4.3.10), окажется ближе к точке (x

, y

);

b. после одного «оборота» точка r(t) решения системы окажется

дальше от точки (x

, y

);

c. после одного «оборота» точка r(t) решения системы в точности

вернется к своему начальному положению.

В последнем случае все последующие обороты точки r(t) будут совер-

шаться по одной и той же замкнутой траектории. Такой путь в теории диф-

ференциальных уравнений называется циклом.

Рассмотрим варианты дальнейшего развития процесса, изображенного

на рис. 4.4.1 .

Следующий оборот

точки r(t) вокруг положения равновесия еще

больше приблизит ее к точке (x

, y

), и с каждым следующим оборотом

точка r(t) будет все больше приближаться к положению равновесия, т.е. к

точке (x

, y

Здесь возможны два варианта:

- точка r(t), соответствующая решению системы (4.3.10), будет неогра-

ниченно приближаться к положению равновесия (к точке (x

, y

)), в этом

случае положение равновесия будет устойчивым;