Засядко А.А., Петров А.В. Решебник. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы

Подождите немного. Документ загружается.

где f(x) –плотность распределения случайной величины Х. Предполагается, что интеграл

сходится абсолютно.

В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу (а, b)

,dx)x(fx)X(M

∫

⋅⋅=

Все свойства математического ожидания, указанные выше для дискретных случайных

величин (см. п.4.1), сохраняются и для непрерывных величин.

Если Y = φ(X) - функция случайного аргумента Х, возможные значения которого при-

надлежат всей оси Ох, то

[ ]

.dx)x(f)x()X(M

∫

+∞

∞

−

⋅⋅ϕ=ϕ

В частности, если возможные значения Х принадлежат интервалу (а,b), то

[ ]

.dx)x(f)x()X(M

∫

⋅⋅ϕ=ϕ

Если математическое ожидание М(Х) существует и кривая распределения симмет-

рична относительно прямой х = С, то М(Х) = С.

Модой М

(Х) непрерывной случайной величины Х называют то ее возможное значе-

ние, которому соответствует локальный максимум плотности распределения. В частности,

если распределение имеет два одинаковых максимума, то его называют бимодальным.

Медианой М

(Х) непрерывной случайной величины Х называют то ее возможное зна-

чение, которое определяется равенством

Р[ X< М

(Х) ] = P[ X > М

(Х) ].

Геометрически медиану можно истолковать как точку, в которой ордината f(x) делит

пополам площадь, ограниченную кривой распределения.

Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принад-

лежат всей оси Ох, определяется равенством

[ ]

∫

+∞

∞

−

⋅⋅−= dx)x(f)X(MX)X(D

или равносильным равенством

).X(Mdx)x(fX)X(D

−













⋅⋅=

∫

∞+

∞−

В частности, если все возможные значения Х принадлежат интервалу (а, b), то

[ ]

∫

⋅⋅−=

dx)x(f)X(MX)X(D или ).X(Mdx)x(fX)X(D

−













⋅⋅=

∫

Все свойства дисперсии, указанные выше для дискретных случайных величин (см.

тема 4, §3), сохраняются и для непрерывных величин.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется

так же, как и для дискретной величины:

.)X(D)X( =σ

Если Y = φ (X) - функция случайного аргумента Х, причем возможные значения Х

принадлежат всей оси Ох, то

[] [][ ]

∫

+∞

∞

−

⋅⋅ϕ−ϕ=ϕ dx)x(f)X(M)X()X(D

или

[ ] [ ]

.)X(Mdx)x(f)X()X(D

ϕ−













⋅⋅ϕ=ϕ

∫

∞+

∞−

В частности, если все возможные значения Х принадлежат интервалу (а, b), то

[ ] [ ][ ]

∫

⋅⋅ϕ−ϕ=ϕ

dx)x(f)X(M)X()X(D

или

[ ] [ ]

.)X(Mdx)x(f)X()X(D

ϕ−













⋅⋅ϕ=ϕ

∫

Начальный теоретический момент порядка k непрерывной случайной величины Х оп-

ределяется равенством

.dx)x(fx

∫

+∞

∞

−

⋅⋅=ν

Центральный теоретический момент порядка k непрерывной случайной величины Х

определяется равенством

[ ]

∫

+∞

∞

−

⋅⋅−=µ dx)x(f)X(MX

В частности, если все возможные значения Х принадлежат интервалу (а, b), то

∫

⋅⋅=ν

dx)x(fx и

[ ]

.dx)x(f)X(MX

∫

⋅⋅−=µ

Очевидно, что если k =1, то ν

= М(Х), μ

=0; если k=2, то μ

=D(X).

Центральные моменты выражаются через начальные моменты по формулам:

= ν

-ν

²,

= ν

- 3ν

⋅ν2

+ 2ν

= ν

–4ν

⋅ν

+ 6ν²

⋅ν

–3ν

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ.

1. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x) =2x в интервале (0,1);

вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание величины Х.

Решение.

Используем формулу

,dx)x(fx)X(M

∫

⋅⋅=

подставив а =0, b = 1, f(x) =2x, получим

dxx2)X(M

=⋅⋅=

∫

Ответ: 2/3.

2. Найти математическое ожидание случайной величины Х, заданной функцией рас-

пределения











≤<

≤

.4 xпри ,1

,4x0 при ,

,0 xпри ,0

)X(F

Решение.

Найдем плотность распределения величины Х:











≤<

≤

.4 xпри ,0

,4x0 при ,

,0 xпри ,0

)X('F)x(f

Искомое математическое ожидание:

.2dx

x)X(M

=⋅⋅=

∫

Ответ: 2.

3. Случайная величина Х в интервале (-3,3) задана плотностью распределения

)x(f

−

= ; вне этого интервала f(x) = 0. Найти дисперсию Х.

Решение.

Найдем дисперсию по формуле

[ ]

∫

⋅⋅−=

dx)x(f)X(MX)X(D .

Подставляя М(Х) =0 (кривая симметрична относительно прямой х=0), а = -3, b =3,

)x(f

−

= , получим

∫

−

=⋅

−

⋅=

dх

)X(D

Ответ: 4,5.

4. Случайная величина Х в интервале (-3,3) задана плотностью распределения

)x(f

xn −

⋅

= при х ≥ 0; f(x)= 0 при х < 0. Найти: а) математическое ожидание; б) диспер-

сию Х.

Решение.

а) Найдем математическое ожидание:

.dxex

)X(M

x1n

∫

+∞

−+

⋅⋅⋅=

Воспользуемся так называемой гамма-функцией, которая определяется равенством:

.dxex)n(

x1n

∫

+∞

−−

⋅⋅=Γ (*)

Как видим, аргумент (целое число n), стоящий под знаком гамма-функции, на едини-

цу больше показателя степени буквы х, стоящей под знаком интеграла. Следовательно,

.dxex)2n(

x1n

∫

+∞

−+

⋅⋅=+Γ (*)

Подставив (**) в (*), получим

)2n(

)X(M

= (***)

Воспользуемся следующими свойствами гамма-функции:

Г(n) = (n-1)!

Как видим, гамма-функция от целого аргумента равна факториалу от аргумента,

уменьшенного на единицу. Следовательно,

Г(n+2) = (n-1)! (****)

Подставив (****) в (***), получим

.1n

)1n(!n

)!1n(

)X(M +=

⋅

б) Найдем дисперсию. Учитывая, что

М(Х) = n+1 и ,dxex)3n(

x2n

∫

+∞

−+

⋅⋅=+Γ

получим

.1n)!1n(

2)!(n

)1n(

)3n(

)1n(dxex

)X(Mdx)x(fx)X(D

x2n2

+=+−

=+−

+Γ

=+−













⋅⋅⋅=−













⋅⋅=

∫∫

∞+

−+

∞+

Итак, D(X) = n+1.

Ответ: М(Х) =n+1, D(X) =n+1.

5. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x) =0,5x в интервале

(0,2); вне этого интервала f(x)=0. Найти начальные и центральные моменты первого, второго,

третьего и четвертого порядков.

Решение.

По формуле

∫

⋅⋅=ν

dx)x(fx .

Найдем начальные моменты:

dxx5,0x

=⋅⋅⋅=ν

∫

=⋅⋅⋅=ν

2dxx5,0x ,

∫

=⋅⋅⋅=ν

2,3dxx5,0x ,

∫

=⋅⋅⋅=ν

dxx5,0x .

Найдем центральные моменты. Центральный момент первого порядка любой случай-

ной величины равен нулю.

Воспользуемся формулами, выражающими центральные моменты через начальные:

= ν

-ν

²,

= ν

- 3ν

⋅ν

+ 2ν

= ν

–4ν

⋅ν

+ 6ν²

⋅ν

–3ν

Подставив в эти формулы ранее найденные начальные моменты, получим:

= 2/9; μ

= -8/135; μ

= 16/135.

Ответ: ν

=4/3; ν

=2; ν

= 3,2; ν

= 16/3; μ

= 0; μ

= 2/9; μ

= -8/135; μ

= 16/135.

6.4. Равномерное распределение.

Краткие теоретические сведения.

Равномерным называется распределение вероятностей непрерывной случайной вели-

чины Х, если на интервале (а, b), которому принадлежат все возможные значения Х, плот-

ность сохраняет постоянное значение, а именно f(x) = 1/(b-a); вне этого интервала f(x) = 0.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

1. Найти математическое ожидание случайной величины Х, распределенной равно-

мерно в интервале (2,8).

Решение.

График плотности равномерного распределения симметричен относительно прямой

х=(2+8)/2 =5, поэтому М(Х) = 5.

Итак, математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной в

интервале (2,8) равно полусумме этого интервала.

Ответ: 5.

6.5. Нормальное распределение.

Краткие теоретические сведения.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величи-

ны Х, плотность которого имеет вид

)x(f

)ax(

σ⋅

−

⋅

π⋅⋅σ

где а - параметр, равный математическому ожиданию,

σ - параметр, равный среднему квадратическому отклонению.

Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α, β),

( )













−α

Φ−













−β

Φ=β<<α

где

∫

⋅⋅

π⋅

=Φ

−

dze

)x(

- функция Лапласа.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного чис-

ла δ,

Р(|X - a| < δ) = 2Ф (δ /σ).

В частности, при а =0 справедливо равенство

Р(|X < δ) = 2Ф (δ /σ).

Асимметрия, эксцесс, мода и медиана нормального распределения соответственно

равны: А

=0, E

=0, M

=a, где а =М(Х).

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

1. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально рас-

пределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того,

что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (15, 25).

Решение.

Воспользуемся формулой

( )













−α

Φ−













−β

Φ=β<<α

Подставив α =15, β =25, а= 20 и σ =5, получим Р(15 < X <25) = Ф(1) - Ф(-1). По табли-

це приложения 2 из [1] находим: Ф(1) =0,3413. Следовательно, Р(15 < X <25) = 0,6826.

Ответ: 0,6826.

7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО И ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ.

7.1. Функция одного случайного аргумента.

Цель: уяснить основные определения, применение функции одного и двух случайных

аргументов в теории вероятностей.

Краткие теоретические сведения.

Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно воз-

можное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента Х и

записывают Y=φ(Х).

Если Х - дискретная случайная величина и функция Y=φ(Х) монотонна, то различным

значениям Х соответствуют различные значения Y, причем вероятности соответствующих

значений Х и Y одинаковы. Другими словами, возможные значения Y находят из равенства

= φ(x

где х

–возможные значения Х; вероятности возможных значений Y находят из равенства

Р(Y = y

) = P(X = x

Если же Y=φ(Х) - немонотонная функция, то, вообще говоря, различным значениям Х

могут соответствовать одинаковые значения Y (так будет, если все возможные значения Х

попадут в интервал, в котором функция φ(Х) не монотонна). В этом случае для отыскания

вероятностей возможных значений Y следует сложить вероятности тех возможных значений

Х, при которых Y принимает одинаковые значения. Другими словами, вероятность повто-

ряющегося значения Y равна сумме вероятностей тех возможных значений Х, при которых Y

принимает одно и то же значение.

Если Х - непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения f(x),

и если у=φ(х) - дифференцируемая строго возрастающая или строго убывающая функция,

обратная функция которой х=ψ(у), то плотность распределения g(у) случайной величины Y

находят из равенства

g(y) = f [ψ(y)] * [ψ’(y)].

Если функция у = φ(х) в интервале возможных значений Х не монотонна, то следует

разбить этот интервал на такие интервалы, в которых функция φ(х) монотонна, и найти

плотности распределений g

(у) для каждого из интервалов монотонности, а затем предста-

вить g(y) в виде суммы:

g(y) = ∑g

(y).

Например, если функция φ(х) монотонна в двух интервалах, в которых соответст-

вующие обратные функции равны ψ

(у) и ψ

(у), то

g(y) = f [ψ

(y)] * |ψ

’(y)| + f[ψ

(y)] * |ψ

’(y)|.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

1 3 5

P 0,4

0,1

0,5

Найти закон распределения случайной величины Y = 3⋅X.

Решение.

Найдем возможные значения величины Y=3⋅X. Имеем у

=3; у

=9; у

=15. Видим, что

различным возможным значениям Х соответствуют различные значения Y. Это объясняется

тем, что функция у = φ(х) = 3⋅х монотонна. Найдем вероятности возможных значений Y. Для

того, чтобы Y=у

=3 достаточно, чтобы величина Х приняла значение х

=1. Вероятность же

события Х =1 по условию равна 0,4; следовательно, и вероятность события Y = у

=3 также

равна 0,4.

Аналогично получим вероятности остальных возможных значений Y:

Р(Y = 9) = P (X = 3) = 0,1;

P(Y = 15) = Р (Х = 5) = 0,5.

Напишем искомый закон распределения Y:

Ответ:

3 9 15

P 0,4

0,1

0,5

2. Задана плотность распределения f(x) случайной величины Х, возможные значения

которой заключены в интервале (a,b). Найти плотность распределения случайной величины

Y = 3⋅Х.

Решение.

Так как функция у = 3⋅х дифференцируемая и строго возрастает, то применима фор-

мула

g(y) = f [ψ(y)] * [ψ ' (y)], (*)

где ψ(y) - функция, обратная функция у = 3⋅х.

Найдем ψ(y):

ψ(y) = х = у/3.

Найдем f [ψ(y)]:

f [ψ(y)] = f (у/3). (**)

Найдем производную ψ’(y):

ψ ' (y) = (у/3) ' = 1/3.

Очевидно, что

| ψ ' (y)| = 1/3. (***)

Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим (**) и (***) в (*):

g(y) = (1/3) f ' (y/3).

Так как х изменяется в интервале (а, b) и у= 3⋅х, то 3a < y < 3b.

Ответ: g(y) = (1/3) f ' (y/3).

3. Задана плотность распределения f(x) случайной величины Х, возможные значения

которой заключены в интервале (0, ∞). Найти плотность распределения g(y) случайной вели-

чины Y, если: а) Y= е

–х

; б) Y =ln(X); в) Y= Х

; г) Y=1/Х²; д) Y=

Решение.

а) Применим формулу

g(y) = f [ψ(y)] * [ψ ' (y)],

Найдем ψ(y):

ψ(y) = х = ln (y).

Найдем f [ψ(y)]:

f [ψ(y)] = f [ln (y)]. (**)

Найдем производную ψ ' (y):

ψ ' (y) = [ln(у)] ' = 1/y.

Очевидно, что

| ψ ' (y)| = 1/y. (***)

Найдем искомую плотность распределения:

lnf)yln()y(g

























⋅=

Так как х изменяется в интервале (0, ∞) и Y= е

–х

, то (0< y< 1).

Аналогично найдем плотности распределения для остальных вариантов:

б) );y(- ],e[fe)y(g

+∞<<∞⋅=

в) );y(0 ,yfy

)y(g

+∞<<













⋅⋅=

г) );y(0 ,

fyy

)y(g +∞<<













⋅⋅⋅=

д)

[

]

).y(0 ,yfy

)y(g

+∞<<⋅⋅=

Ответ: а)

lnf)yln()y(g

























⋅=

б)

[

]

);y(- ,efe)y(g

+∞<<∞⋅=

в) );y(0 ,yfy

)y(g

+∞<<













⋅⋅=

г) );y(0 ,

fyy

)y(g +∞<<













⋅⋅⋅=

д)

[

]

).y(0 ,yfy

)y(g

+∞<<⋅⋅=

4. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием, рав-

ным а, и среднеквадратическим отклонением, равным σ. Доказать, что линейная функция Y

= A·X + B также распределена нормально, причем

М(Y) = A·a + B, σ(Y) = |A|·σ.

Решение.

Напишем плотность распределения случайной величины Х:

.е

)x(f

)ax(

σ⋅

−

⋅

π⋅⋅σ

Функция у = Ах +В монотонна, поэтому применима формула

g(y) = f [ψ(y)] · |ψ ' (y)|. (*)

Найдем х = ψ(y) из уравнения у = А·х + В:

)y(

−

=ψ

Найдем f [ψ(y)]:

[ ]

[

]

( )

B)a(A-y

p где ,e

)y(f

σ⋅⋅

+⋅

=⋅

π⋅⋅σ

=ψ

−

(**)

Найдем ψ '(y):

)y('













−

=ψ

Найдем |ψ ' (y)|:

)y(' =ψ | (***)

Подставляя (**) и (***) в (*), имеем

[

]

( )

B)a(A-y

p где ,e

)y(g

σ⋅⋅

+⋅

=⋅

π⋅⋅σ⋅

−

Отсюда видно, что линейная функция Y = A·X + B распределена нормально, причем

M(Y) = A·a + B и σ(Y) = |A|·σ, что и требовалось доказать.

Ответ: функция Y = A·X + B распределена нормально, причем M(Y) = A·a + B и

σ(Y) = |A|·σ, что и требовалось доказать.

7.2. Функция двух случайных аргументов.

Краткие теоретические сведения.

Если каждой паре возможных значений случайных величин Х и Y соответствует одно

возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргу-

ментов X и Y и пишут

Z = φ(X,Y).

Если Х и Y - дискретные независимые случайные величины, то, для того, чтобы найти

распределение функции Z=X+Y, надо найти все возможные значения Z, для чего достаточно

сложить каждое возможное значение X со всеми возможными значениями Y; вероятности

найденных возможных Z равны произведениям вероятностей складываемых значений X и Y.

Если Х и Y - непрерывные независимые случайные величины, то плотность распреде-

ления g(z) суммы Z=X+Y (при условии, что плотность распределения хотя бы одного из ар-

гументов задана в интервале (-∞, ∞) одной формулой) может быть найдена по формуле:

∫

+∞

∞

−

⋅−⋅= ,dx)xz(f)x(f)z(g

либо по равносильной формуле

∫

+∞

∞

−

⋅−⋅= ,dy)yz(f)y(f)z(g

где f

и f

–плотности распределения аргументов; если возможные значения аргументов не-

отрицательны, то плотность распределения g(z) величины Z=X+Y находят по формуле:

∫

⋅−⋅=

,dx)xz(f)x(f)z(g

либо по равносильной формуле

∫

⋅−⋅=

.dy)yz(f)y(f)z(g

В том случае, когда обе плотности f

(х) и f

(х) заданы на конечных интевалах, для

отыскания плотности g(z) величины Z=X+Y целесообразно сначала найти функцию распре-

деления G(z), а затем продифференцировать ее по z:

g(z) = G’(z).

Если Х и Y - независимые случайные величины, заданные соответствующими плот-

ностями распределения f

(х) и f

(х), то вероятность попадания случайной точки (Х,Y) в об-

ласть D равна двойному интегралу по этой области от произведения плотностей распределе-

ния:

(

)

[

]

.dydx)y(f)x(fDY,XP

∫∫

⋅⋅⋅=⊂

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

1. Дискретные независимые случайные величины Х и Y заданы распределениями:

1 3 Y

2 4

P 0,3

0,7

P 0,6

0,4

Найти распределение случайной величины Z = X +Y.