Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. Решебник
Подождите немного. Документ загружается.
10 Предисловие
Подчеркнем, что для использования пакета РЕШЕБНИК.ВМ надо
уметь пользоваться только MS Word. Все остальные навыки вырабо-
таются сами собой по мере изучения математики.
Студенты могут применять пакет и для решения задач по физике
и другим точным наукам, а также для оформления отчетов по лабо-
раторным и курсовым работам.
По истечении полутора-двух лет оказывается, что студенты уме-
ют решать всевозможные задачи самостоятельно и с использованием
мош;нейшего пакета "Суперсистема символьной математики", кото-
рый сформировался на их компьютерах в процессе учебы с помощью
пакета РЕШЕБНИК.ВМ.
Преподаватели могут использовать пакет РЕШЕБНИК.ВМ при
подготовке занятий, контрольных мероприятий, методической лите-
ратуры, статей и для организации автоматического контроля знаний
студентов.
Объем пакета РЕШЕБНИК.ВМ не превосходит 500 К.
Подробная информация о пакете РЕШЕБНИК.ВМ и сам пакет
размеш;ены на сайте Интернет www.AcademiaXXI.ru.
Авторы будут благодарны всем приславшим свои замечания о
комплексе РЕШЕБНИК "Высшая математика" и предложения по ад-
ресу:
111250 Москва, ул. Красноказарменная, д. 14, Московский энер-
гетический институт (ТУ), кафедра высшей математики.
E-mail: KirillovAI@mpei.ru.
Глава 1
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
При изучении темы АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ вы научи-
тесь решать задачи векторной алгебры и использовать свойства ли-
нейных операций с геометрическими векторами, скалярного, вектор-
ного и смешанного произведений векторов для решения геометричес-
ких задач. Вы научитесь решать задачи аналитической геометрии,
связанные с различными видами уравнений плоскости и прямой и их
взаимным расположением.
С помош;ью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете решить системы
уравнений, вычислить определители, выполнить все численные рас-
четы и проверить правильность полученных вами результатов.
1.1. Разлож:ение вектора по базису
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти разлоэюение вектора x={xi,
Х2,
хз}
по векторам р = {р1,р2,рз}, q = {qi,q2,q3} wf
==
{г1,Г2,гз}.
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1.
Искомое разложение вектора х имеет вид
X
= ар-\- Pq + jf.
2.
Это векторное уравнение относительно си,/3,^ эквивалентно си-
стеме трех линейных уравнений с тремя неизвестными
P2«-b ^2/?+ 7-27 = X2,
Рза + 9з/3 + гз7 = хз.
3.
Решаем эту систему уравнений относительно а, /3 и 7 и таким
образом определяем коэффициенты разложения вектора х по векто-
рам р, ди г. Записываем ответ в виде х = ар-\-
l3q-{-
"уг.
12 Гл.
1.
Аналитическая геомещрил
ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ система уравнений не имеет решений (векторы
р,
q л г лежат в одной плоскости, а вектор х ей не принадлежит),
то вектор X нельзя разложить по векторам р, q и г. Если система
уравнений имеет бесчисленное множество решений (векторы р, q, г
и вектор X лежат в одной плоскости), то разложение вектора х по
векторам
р.,
qvir неоднозначно.
ПРИМЕР. Найти разложение вектора х = {3,-1,2} по векторам
р = {2,0,1}, д = {1,-1,1} иг = {1,-1,-2}.
РЕШЕНИЕ.
1.
Искомое разложение вектора х имеет вид
X = ар-\-
/3q-\-
jr.
2.
Это векторное уравнение относительно а, /3 и 7 эквивалентно
системе трех линейных уравнений с тремя неизвестными
2а + р+ 7= 3,
а
4-
/3
- 27 = 2.
3.
Система имеет единственное решение а = 1,/3 = 1, 7 = 0-
Ответ. X = р-\- q.
Условия ЗАДАЧ. Написать разлооюение вектора х по векторам
р,
q и г.
р={0,-1,2},
д={1,0,-1}, г={-1,2,4}.
р={1,-3,0},
д-
=
{1,-1,1},
г={0,-1,2}.
р ={3,1,-1}, 9 ={0,-3,1}, F =
{1,1,1}.
р={2,1,1},
g ={-2,0,-3},
г-
= {-1,2,1}.
р ={2,0,1}, g ={1,2,-1}, f = {0,4,-1}.
р={-1,1,0},
q={2,-l,3}, f = {l,0,l}.
р ={0,-1,1}, g ={2,0,1}, f = {3,-1,0}.
p ={2,0,2}, g={0,-l,l}, f =
{3,-1,4}.
p={l,l,0},
g={-l,0,l}, f = {-l,0,2}.
p ={-2,2,1}, g ={2,0,1}, f =
{1,1,1}.
Ответы. 1. {2,-1,1}. 2. {4,1,-1}. 3. {-1,0,3}. 4. {-1,-1,3}.
5.
{1,-3,1}. 6. {3,1,-4}. 7. {2,5,-3}. 8. {1,-2,1}. 9. {1,1,-1}.
10.
{2,-1,3}.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10
f = {-2,0,9},
f = {5,-12,-1}
ж
={0,2,4},
f = {-1,5,5},
X
={-1,-2,3},
f = {-5,2,-l}.
f =
{l,-5,7},
f =
{5,l,4}.
f =
{l,l,-l}.
.f = {-3,7,4},
1.2. Коллинеарность векторов 13
1.2. Коллинеарность векторов
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Коллинеарны ли векторы р = Aia + Л26 и
q = /iia + /i2^, где а = {а1,а2,аз} иЬ = {bi,62,63}?
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Векторы коллинеарны тогда и только тогда, ко-
гда существует число а такое, что р = aq. Иными словами, векторы
коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорцио-
нальны,
1.
Находим координаты векторов р и q^ пользуясь тем, что при
сложении векторов их координаты складываются, а при умножении
на число координаты умножаются на это число.
2.
Если координаты векторов р = {р1^Р2,Рз} ^ Q = {QI^Q2IQ3}
пропорциональны, т.е.
Pi.
_ Р2 _ РЗ
Qi Q2 Яз '
то векторы pnq коллинеарны. Если равенства
Pi^
_ Р2 _ Рз
Qi
Я2 Яз
не выполняются, то векторы pnq неколлинеарны.
ПРИМЕР. Коллинеарны ли векторы р = 4а
—
36, q = %
—
12а, где
а =
{-1,2,8}
и 6 = {3,7,-1}?
РЕШЕНИЕ.
1.
Находим координаты векторов р
w.
q, пользуясь тем, что при
сложении векторов их координаты складываются, а при умножении
на число координаты умножаются на это число:
р = {-13,-13,35}, д = {39,39,-105}.
2.
Так как
-13 -13 35
39 39 -105 '
то координаты пропорциональны. Следовательно, векторы р и g кол-
линеарны.
Ответ. Векторы
р*
и
д*
коллинеарны.
14
Гл.
1.
Аналитическая геометрия
Условия ЗАДАЧ. Коллинеарны ли
1.
а-{1,2,-3},
2.
а={2,0,1},
3.
а-{-2,2,1},
4.
а={-1,2,3},
5.
а={2,5,1},
6. а-{1,2,-2},
7.
а-{1,2,3},
8. а=:{1,3,-1},
9. а={-1,-2,2},
10.
а={1,3,2},
6={1,0,-1},
6-{-2,3,1},
Ь={-1,-2,2},
6={2,1,1},
Ь={5,0,2},
Ь-{1,3,-1},
6-{2,-1,0},
Ь^
=
{2,1,3},
6^
=
{1,0,2},
6-{1,-2,6},
векторы р и q
р = За + 66,
р = 2а + 26,
р =г а + 36,
р = 2а + 36,
р=-а +
Ь,
р=а-\-Ь,
р = 63— 26,
р = 6а- 36,
р = а -f 36,
p=a
—
b^
?
g=-a + 26.
q = 3d-2b,
q
—
2d-h.
q=a
—
6.
^ = a
—
36.
q=a-\-2b.
g*=—3a-f a.
g*=:-4a + 2a.
q—~2a
—
66.
g =:-6a + 66.
Ответы. 1. Нет. 2. Нет. 3. Нет. 4. Нет. 5. Нет. 6. Нет. 7. Да.
Да. 9. Да. 10. Да.
1.3. Угол между векторами
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Даны точки A(a;i,t/i,zi), В{х2^у2^^2) и
С{хз,Уз^^з)-
Найти косинус угла между векторами АВ и АС.
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Косинус угла
ip
между векторами АВ и АС оп-
ределяется формулой
COS(/? =
{АВ.АС)
\АВ\
' \АС\
(1)
1.
Чтобы вычислить длины векторов \АВ\ и \АС\ и скалярное
произведение {АВ^АС), находим координаты векторов:
АВ = {х2 -Х1,у2 -yi,Z2 - zi), AC = {хз -Х1,уз -yi,Z3 ~ zi}.
2.
По формулам для длины вектора и скалярного произведения
векторов имеем
\АВ\
-
y/{X2-Xi)^
+ {y2-yi)^ + {z2-Zi)^,
\АС\ - V(^3 - xi)2 + (уз - yi)2 + (^3 - zi)2,
(АВ,
AC) = {х2 - xi){x3 - xi) + (2/2 -
У1){уз
- 2/i) + (^2 - Zi){z3 - zj).
3.
Вычисляем cosi/? no формуле (1) и записываем ответ.
1.4. Площадь параллелограмма 15
ПРИМЕР. Даны точки А(-2,4,-6), Б(0,2,-4) и С(-6,8,-10).
Найти косинус угла между векторами АВ и АС.
РЕШЕНИЕ.
1.
Находим координаты векторов АВ = {2,-2,2} и АС = {-4,4,-4}.
2.
По формулам для длины вектора и скалярного произведения
векторов имеем
\АВ\
= ^2^ + (-2)' + 2' = 2v^, 1^1 =V(-4)2 + 42 + (-4)2 = 4^3,
(АВ,
AC) = 2
•
(-4) 4- (-2)
•
4 + 2
•
(-4) = -24.
3.
Вычисляем cos<^ по формуле (1):
-24 ^
COS (f = -1=
-7=
= —1 .
2\/3
•
4\/3
Ответ. Косинус угла между векторами АВ и АС равен
—1.
Условия ЗАДАЧ. Найти косинус угла
меоюду
векторами АВ и АС.
1.
А{2,-2,3), В{1,-1,2), С(4,-4,5).
2.
А(0,-2,6), В(-12,-2,-3), С(-9,-2,-б).
3.
А{2,г,-1), 5(4,5,-2), С(3,1,1).
4.
А(-1,2,-2), 5(3,4,-5), С(1,1,0).
5.
У1(-2,-2,0), В(1,-2,4), С(5,-2,1).
6. А(3,3,-1), В(3,2,0), С(4,4,-1).
7.
Л(-1,-7,-4), В(2,-1,-1), С(4,3,1).
8. А(2,-2,6), 5(0,0,4), С(б,-6,10).
9. Л(0,1,0), 5(3,1,4), С(4,1,3).
10.
Л(3,2,0), 5(1,4,-1), С(4,0,2).
Ответы, l.cosy) = -1. 2.cos^ = 24/25. Z.cos^p = -4/9. 4.cos(p =0.
5.
cos (f =
-^/2/2.
6. cos
ip
= 1/2. 7. cos
y;
= 1. 8. cos ^ =
-1.
9. cos
ip
= 24/25.
10.cosv? = -8/9.
1.4. Площадь параллелограмма
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить площадь параллелограмма, по-
строенного на векторах а = aip
+
a2q ub = /3ip'+/329, если известно,
что \р\ = ро, \q\=
qo
и угол между векторами р и q равен ip.
16 Гл.
1.
Аналитическал геометрия
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Площадь параллелограмма^ построенного на век-
торах а и 6, равна модулю их векторного произведения:
S=\la,b]\. (1)
1.
Вычисляем [а,
6],
используя свойства векторного произведения
[а,
Ь]
= [aip +
0L2q,liiP
+ p2q\ =
= Q^I/?I[P,P1 + a;i/?2[p,q\ +
o^2/3i[q,p\
-f a2/32[g,q\ =
= (ai/?2 -a2/?i)[p,g].
2.
Вычисляем модуль векторного произведения
I
[а,
6] I
= |ai/?2 - «2^1
\p\
l^simp
{simp > 0, так как
О
<
(p
<
тг).
3.
Находим площадь параллелограмма, используя формулу (1)
5 =
|[а,Ь]|
= \aiP2 -Q:2/?i||plMsin<^.
ПРИМЕР. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на
векторах а
—
Зр~\-
2диЬ = 2р
—
д, если известно, что |р| = 4, |gl = 3 и
угол между векторами рид равен 37г/4.
РЕШЕНИЕ.
1.
Вычисляем [а,
6],
используя свойства векторного произведения
[а,Ь] = [3^+ 2q,2p^ q\ = 6[р,Й - 3[p,g] + 4[q,p\ - 2%^ = -7[р,^.
2.
Вычисляем модуль векторного произведения
|[5,
Ь]|
=
I
- 7[р,gll = 7|pl|9l sin ^ = 42ч/2.
3.
Находим площадь параллелограмма, используя формулу (1)
5=:|[а,Ь]|=:42\/2.
Ответ. Площадь параллелограмма равна 42\/2 (ед. длины)^.
1.5. Компланарность векторов 17
Условия ЗАДАЧ. Вычислить площадь параллелограмма, постро-
енного на векторах а иЪ {pq — угол
меоюду
векторами р и q).
1.
a = p + 3g, b^=2p-q, |р| = 2, \q\ = I, р£=7г/6.
2.
a = 2p-\-q, b = p - 3q, \p\ = 2, |^ = 2, р£ = 7г/А.
3.
a = p-2q, b^^p + Sq, \p\ = 1, \q\ = 2, p| = 7г/2.
4.
a=:3p-5g*, b =
p~\-2q,
|p| = 2, |gl = 1, pq=bn/6.
5.
a=p-q, b = 2p4-2g, |p1 = 1, |gl = 6, pg = 37г/4.
6. a=p + 2q, b = 3p-2q, |p| = 3, |gl = 2, pq^zn/S
7.
a = 2p-2q,
b^
= p + q, \p\ = 2, |gl = 3, pg = 7г/2
8. a =
p-\-q,
b = p-iq, |p| = 7, |g| = 4, pg = 7г/4
9. a-4p-4g, b = p + 3g, |pl = 2, |g1 = 1, p| = тг/б
10.
a=p-bg, b = 2p-q, \p\ = 2, \q\ = 3, pq =7г/3
Ответы. 1. 5 = 7. 2. 5 = 14i/2. 3. 5 = 10. 4. 5 = 11. 5. 5 = 15\/2.
6. 5 =
24\/3.
7. 5 = 24. 8. 5 = 70v/2. 9. S = 16. 10. 5 = 9\/3.
1.5. Компланарность векторов
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Компланарны ли векторы а = {а1,а2,аз},
Ь
= {61,62,^3} txc = {с1,С2,сз}?
ПЛАН РЕШЕНИЯ. ДЛЯ ТОГО чтобы три йектора были компланарны
(лежали в одной плоскости или в параллельных плоскостях), необхо-
димо и достаточно, чтобы их смешанное произведение (а,Ь,с) было
равно нулю.
1.
Смешанное произведение векторов выражается через их коор-
динаты формулой
(а,
6,
с) =
СЦ ^2 ^3
bi 62 Ьз
Cl С2 Сз
2.
Если определитель в правой части этого равенства равен нулю,
то векторы компланарны, если определитель не равен нулю, то век-
торы некомпланарны.
ПРИМЕР. Компланарны ли векторы а =
{7,4,6},
Ь
= {2,1,1} и
с = {19,11,17}?
18 Гл.
1.
Аналитическая геометрия
РЕШЕНИЕ.
1.
Вычисляем смешанное произведение векторов:
(а,
6,
с) =
7 4 6
2 1 1
19 11 17
= 0.
2.
Так как (а,
Ь,
с*)
= О, векторы а,
Ь
и с компланарны.
Ответ. Векторы а, 6 и с компланарны.
Условия ЗАДАЧ. Компланарны ли векторы а,Ь и с7
1.
а = {1,3,0}, 6 = {-1,0,-1}, с = {1,2,1}.
2.
5= {3,2,1}, 6= {5,5,5}, с= {0,-1,-2}.
3.
а = {0,6,1}, 6 = {0,2,0}, с = {1,1,1}.
4.
а = {4,1,-2}, 6 = {3,2,1}, с= {5,5,5}.
5.
а = {2,5,0}, 6 = {2,-1,2}, с = {1,1,1}.
6. а = {1,0,-1}, 6 = {-2,-1,0}, с= {3,1,-1}.
7.
а = {4,3,1}, 6 = {5,1,2}, с ={2,1,-1}.
8. а = {-2,4,3}, Ь= {4,7,5}, с ={2,0,-1}.
9. а = {2,5,8}, 6 = {1,-3,-7}, с = {0,5,10}.
10.
а = {1,5,1}, 6 = {1,7,1}, с = {2,2,1}.
Ответы. 1. Нет. 2. Да. 3. Нет. 4. Да. 5. Нет. 6. Да. 7. Нет.
8. Да. 9. Да. 10. Нет.
1.6. Объем и высота тетраэдра
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить объем тетраэдра с верши-
нами в точках Ai{xi,у 1,zi), Аз(жз,2/2,22), Аз{хз,уз,2з), ^4(^4,2/4,^4)
и его высоту, опущенную из вершины А^ на грань А1А2А3.
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1.
Из вершины Ai проведем векторы A\A2 = {x2—xi,y2—yi,Z2~zi},
Л1Л3 = {а;з-Х1,2/3-2/1,23-zi} и AiA4-{x4-xi,y4-yi,Z4-zi}.
В соответствии с геометрическим смыслом смешанного произве-
дения имеем
1 ,, 1
К. = ^
•
V„n. = ^ 1(^1^2,^1^3,^1^4)1, (1)
О о
1.6. Объем
и
высота тетраэдра
19
объемы тетраэдра
и
параллелепипеда, построенных
где
FT. И УПГ
на векторах Л1Л2, AiAs
и А1А4)
С другой стороны,
где согласно геометрическому смыслу векторного произведения
(2)
SAABC
= ^\[AiA2,AiA3]l
Сравнивал формулы
(1) и (2),
получаем
h
=
1(^1^2,
Ai
Аз,
AiA4)|
SAA1A2A3 |[AiA2,AiA3]|
2.
Вычисляем смешанное произведение:
Х2
-XI 2/2 -
2/1 Z2
- Zi
хъ
-XI Уз-
2/1 Z3
- zi
Х4
-Xi У4-
2/1
Z4 - Zi
(AiA2,AiA3,AiA4)
=
и находим объем тетраэдра
по
формуле
(1).
3.
Вычисляем координаты векторного произведения:
(3)
[AiA2,AiA3]
=
Л
1
i
Х2
~ Xi
Хз
- XI
2/2
-
2/1
Z2- Zi
2/3
-
2/1
Z3
-
zi
?
J
к
2/2
-
2/1
Z2~ zx
2/3
-
2/1 2:3
- zi
zzz
X2 —
X\ Z2— Zi
X3
- xi Z3- zx
)
X2
-
Х3
-
-xx
-xx
У2
2/3
-2/1
-2/1
и
его
модуль.
4.
Находим высоту
h по
формуле
(3).
ПРИМЕР.
ВЫЧИСЛИТЬ
объем тетраэдра
с
вершинами Ai(2,3,l),
^2(4,1,-2),
Аз(6,
3, 7) и
А4(-5,-4,8)
и его
высоту, опущенную
из
вершины
А4 на
грань А1А2А3.
РЕШЕНИЕ.
1.
Из
вершины
Ах
проведем векторы
А1А2 =
{2, —2,
—3},
АхАз
=
{4,0,6}
и Ат=
{-7,-7,7}.