Асанов А.З. Введение в математическое моделирование динамических систем

Подождите немного. Документ загружается.

Центром масс (центром инерции) системы материальных точек

называется точка

, радиус-вектор которой связан с массами

и радиус-векторами

всех k точек систем соотношениями

(, ,)

ccc

Cx y z

∑

или

∑

Количеством движения (импульсом) материальной точки называется

вектор

, равный произведению массы точки на ее скорость :

iii

Количество движения системы материальных точек есть вектор k

равный геометрической сумме количеств движения всех точек системы:

==v

∑

Второй закон Ньютона. Первая производная по времени от количества

движения (импульса) материальной точки равна действующей на нее силе:

()

ii i i i

mv ma F

dt dt

Последнее уравнение, определяющее связь между ускорением

силой

, называется дифференциальным уравнением движения точки. В

проекциях на оси ортогональных систем координат это уравнение имеет вид:

iix ii ix

ma mx F==



;

iiy ii iy

ma my F



;

iiz ii iz

ma mz F



Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то

каждая сила сообщает точке ускорение, определяемое вторым законом

Ньютона. Результирующее ускорение точки можно определить или складывая

векторы отдельных ускорений, или непосредственно по второму закону

Ньютона, подставляя в него результирующую силу

∑

Второй закон Ньютона часто называют

основным законом динамики

поступательного движения.

Суть этого закона, по существу, является

обобщением закона Ньютона: производная по времени от количества

движения

материальной точки или системы материальных точек

относительно неподвижной (инерциальной) системы отсчета равна главному

вектору

всех внешних сил, приложенных к системе: F

, или

ma F

где

– ускорение центра инерции материальной системы, а – ее масса.

a m

В случае поступательного движения твердого тела с абсолютной

скоростью

скорость центра инерции

. Поэтому при рассмотрении

поступательного движения твердого тела это тело можно мысленно заменить

материальной точкой, совпадающей с центром инерции тела, обладающей

всей его массой и движущейся под действием главного вектора внешних сил,

приложенных к телу.

В проекциях на оси неподвижной прямоугольной декартовой системы

координат уравнения основного закона динамики поступательного движения

системы

имеют вид:

или

, ,

cx x

ma F=

cy y

ma F=

cz z

ma F

В частных случаях поступательного движения твердого тела по инерции

(

): , . 0F =

mv const=

0a =

При движении под действием постоянной силы:

()

mv F const

mv Ft mv

где

– количество движения тела в начальный момент времени .

0t =

В соприкасающейся плоскости ускорение материальной точки и

действующую на нее силу можно разложить на нормальные и

тангенциальные составляющие

(

)

iin i in i

ma a F F

+=+

, где

in i in

Fma

Нормальная сила определяется формулой

in i in

Fma

и направлена

к центру кривизны (

– радиус кривизны) траектории материальной точки

(поэтому сила часто называется

центростремительной силой).

В случае круговой траектории радиуса

сила

in iin i ii

ma m r

, где

– угловая скорость вращения точки.

Касательная сила определяется формулой

iiii

Fmamv

ττ



Третий закон Ньютона. Действия двух материальных точек друг на

друга численно равны и направлены в противоположные стороны:

ij ji

−

где

– сила, действующая на -ю точку со стороны -й точки, а

i j

– сила,

действующая

-ю точку со стороны -й точки. Эти силы приложены к

разным точкам и могут взаимно уравновешиваться только в том случае, когда

точки

и принадлежат одному и тому же абсолютно твердому телу.

j i

Пример 2.6.2. Рассмотрим элементарную механическую систему, состоящую из

груза с массой

m, подвешенного на пружинке с коэффициентом упругости k (рис.2.6.7.).

На груз воздействуют сила тяжести

, где –

ускорение свободного падания, и сила натяжения пружины

, пропорциональное растяжению пружины

Pmg=

пр

0пр

Fkx

В исходном состоянии эти силы уравновешивают друг

друга

g пр

или

пр g

−

, т.е. силы равны по

абсолютной величине и противоположны по направлению.

Модель состояния покоя, когда силы, воздействующие

на груз, уравновешивают друг друга, имеет вид

0mg kx

отсюда

=−

Рис. 2.6.7.

Закон сохранения количества движения: количество движения

замкнутой системы с течением времени не изменяется:

, или

mv const

∑

Это один из основных законов природы, вытекающий из однородности

пространства. В проекциях на оси неподвижной прямоугольной декартовой

системы координат он записывается в виде системы трех скалярных

уравнений:

∑



∑



∑



или

mx a

∑



my a

∑



mz a

∑



где



, , – проекции на оси , и вектора скорости -й точки

системы, a

, и – постоянные величины, равные проекциям на оси

координат вектора



v i

количества движения системы.

Закон сохранения количества движения показывает, что

взаимодействие тел, составляющих замкнутую систему, приводит только к

обмену количествами движения между этими телами, но не может изменить

движения системы как целого: при любом взаимодействии между телами,

образующими замкнутую систему, скорость движения центра инерции этой

системы не изменяется, т. е.

, или

222

ccc

dx dy dz

dt dt dt

где

– скорость центра инерции, а

, и – его декартовы

координаты.

Если система тел не замкнута, но проекция главного вектора F всех

внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция на эту ось вектора

количества движения системы не зависит от времени. Например, при

∑



, .

m x const

∑



Дифференциальное уравнение поступательного движения абсолютно

твердого тела, масса

которого зависит от времени, имеет вид:

()

mv F v

dt dt

где

– главный вектор всех сил, действующих на тело, a – скорость

изменяющейся массы до начала изменения.

Ускорение w тела переменной массы равно

(

)

aFF

, где

()

dm dm

Fvv u

dt dt

=− =

– реактивная сила, равная произведению производной

по времени от массы тела на относительную скорость

присоединяющейся или отделяющейся массы.

uv v=−

При движении материальных систем большое значение имеет учет

трения.

Различают два основных типа трения – внутреннее и внешнее.

Внутренним трением или вязкостью называется явление возникновения

касательных сил, препятствующих перемещению частей жидкости или газа

по отношению друг к другу.

Внешним трением называется взаимодействие между телами, возни-

кающее в месте их соприкосновения и препятствующее их относительному

перемещению. В зависимости от характера относительного движения тел

различают:

трение скольжения, возникающее при поступательном пе-

ремещении одного тела по поверхности другого, и

трение качения,

возникающее тогда, когда одно тело катится по поверхности другого.

Внешнее трение, происходящее между движущимися телами,

называется

кинематическим. Внешнее трение между взаимно неподвижными

телами называется

трением покоя. Трение скольжения между телами,

поверхности которых не подвергаются смазке, называется

сухим трением, а

трение между обильно и непрерывно смазываемыми телами –

жидкостным

трением.

Движение механических систем и тел сопряжено с изменением

энергетических характеристик.

Энергией называется единая мера различных форм движения. Энергия –

скалярная величина. Для количественной характеристики качественно

различных форм движения вводятся соответствующие им виды энергии:

механическая, внутренняя, электромагнитная, химическая, ядерная и др.

Закон сохранения и превращения энергии: при любых процессах,

происходящих в изолированной системе, ее полная энергия не изменяется.

Этот фундаментальный закон вытекает из однородности времени и

является одним из важнейших законов природы. Он свидетельствует о том,

что движение материи несотворимо и неуничтожимо: оно может лишь

переходить из одних форм в другие.

Если система незамкнутая, то изменение ее

энергии благодаря внешним

воздействиям численно равно и противоположно по знаку алгебраической

сумме изменений энергии всех внешних тел и полей, взаимодействующих с

системой.

Возможны два качественно различных способа передачи движения и

соответствующей ему энергии от одного макроскопического тела к другому –

путем совершения

работы и путем теплообмена.

Под процессом совершения работы понимается такой процесс

взаимодействия какого-либо тела с другими телами, в результате которого

изменяется механическое движение этого тела или его положение по

отношению к остальным телам. Таковы, например, процессы соударения

движущихся тел и их торможения вследствие явления трения, а также любые

процессы перемещения тел под влиянием

сил взаимодействия между ними.

Под процессом теплообмена понимается любой процесс обмена

энергией между телами, осуществляющийся путем непосредственного

взаимодействия либо между молекулами и атомами этих тел, либо между

молекулами и атомами одного тела и частицами (фотонами)

электромагнитного излучения, испускаемого другими телами (процесс

лучистого теплообмена).

Изменения энергии тела в процессах совершения работы и теплообмена

называются соответственно работой и теплотой или количеством тепла,

сообщенного телу.

Работа. Элементарная работа

силы , совершаемая при

перемещении

материальной точки под действием силы , равна

скалярному произведению векторов

и :

(

)

cos

Fdr Fds Fds

== =

или, в декартовых координатах

xyz

Fdx Fdy Fdz

, где – радиус-

вектор точки,

, и y

– ее декартовы координаты,

и – проекции

вектора силы на оси координат,

– угол между векторами и , F dr

ds dr=

–

элементарная длина пути точки вдоль траектории,

cosFF

– проекция

силы

на касательную к траектории. F

Механическая энергия. Механической энергией называется энергия

механического движения и взаимодействия тел. Она равна сумме

кинетической

T и потенциальной

энергий

Кинетическая энергия тела является мерой его механического движения

и измеряется той работой, которую может совершить это тело при его

торможении до полной остановки. Кинетическая энергия материальной точки

равна половине произведения массы

т точки на квадрат скорости ее

движения:

T =

Кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий всех

материальных точек, входящих в его состав.

Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то его кинетическая

энергия равна половине произведения момента инерции тела

относительно

оси вращения на квадрат угловой скорости

В самом общем случае кинетическая энергия системы материальных

точек равна сумме кинетической энергии поступательного движения системы

со скоростью

ее центра инерции и кинетической энергии системы в ее

относительном движении по отношению к поступательно движущейся

системе отсчета с началом в центре инерции:

ii c

mv mv

∑

, где

∑

, .

vvv=−

В частности, кинетическая энергия тела, которое движется

поступательно со скоростью

и одновременно вращается с угловой

скоростью

вокруг оси, проходящей через центр инерции тела, равна

mv J

Потенциальной энергией называется энергия, зависящая только от

взаимного расположения взаимодействующих материальных точек или тел.

Поэтому ее часто называют взаимной потенциальной энергией. Уменьшение

потенциальной энергии тела при его мгновенном перемещении из одного

положения в пространстве в другое измеряется той работой, которую совер-

шают при этом действующие на него потенциальные силы:

VV−

Закон сохранения механической энергии. Элементарное изменение

механической энергии системы материальных точек или тел равно

элементарной работе всех

сил , действующих на систему: k

()

dW A F dr

∑∑

Если силы

потенциальные, то полная производная по времени от

механической энергии системы равна частной производной по времени от

потенциальной энергии этой системы:

dW V

dt t

∂

Система тел (материальных точек) называется консервативной, если все

внешние силы, действующие на эти тела, являются стационарными и

потенциальными, а все внутренние силы потенциальны. Потенциальная энер-

гия консервативной системы не зависит явно от времени. Поэтому

, W T V const

+= .

Механическая энергия консервативной системы сохраняется

неизменной в процессе движения системы. Этот результат называется

законом сохранения механической энергии.

Аналогичные законы механики существуют и для вращательного

движения.

Момент силы. Моментом

силы относительно точки называется

векторное произведение радиус-вектора

, проведенного из точки в точку

приложения силы, на вектор силы

r O

[

]

iii

Проекции

вектора

на оси прямоугольной декартовой

системы координат с центром в точке

связаны с проекциями на эти оси

векторов

и соотношениями:

ix i iz i iy

yF zF=−

iy i ix i iz

zF xF

−

iz i iy i ix

xF yF

−

где

, , – координаты точки приложения силы .

Моментом силы относительно оси называется скалярная величина,

равная проекции на данную ось вектора момента силы относительно какой-

либо точки той же оси.

Главным моментом

системы сил называется вектор, равный сумме

векторов моментов всех сил системы относительно центра приведения

[]

∑∑

Моментом инерции тела относительно оси называется величина,

являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг этой

оси и равная сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их

расстояний от той же оси. Моменты инерции тела относительно осей

прямоугольной декартовой системы координат равны:

(

)

(

)

(

)

22 22 22

() () ()

mV V

J y z dm y z dV y z dxdydz

ρρ

=+ =+ = +

∫∫ ∫∫∫

(

)

(

)

(

)

22 22 22

() () ()

mV V

J x z dm x z dV x z dxdydz

ρρ

=+ =+ = +

∫∫ ∫∫∫

(

)

(

)

(

)

22 22 22

() () ()

mV V

J x y dm x y dV x y dxdydz

ρρ

=+ =+ = +

∫∫ ∫∫∫

где

, и – масса, плотность и объем тела, а V

, , и y

– координаты

элементарной частицы тела, имеющей объем

и массу . dV dm

Момент инерции зависит только от формы тела и расположения масс в нем.

Для дискретной системы

материальных точек

()

Jyz

∑

, ,

()

yii

Jxz

∑

()

Jxy

∑

Моментом количества движения (моментом импульса) материальной

точки относительно некоторой точки

(полюса) называется вектор

, равный

векторному произведению радиус-вектора

точки, проведенного из полюса,

на ее количество движения

[

]

iiii

Lrmv

Моментом количества движения или

кинетическим моментом системы

материальных точек относительно полюса называется вектор

, равный

геометрической сумме моментов количеств движения относительно того же

полюса всех

точек системы: k

[]

iii

rmv

∑

Центр инерции

С системы материальных точек обладает тем свойством,

что моменты количества движения этой системы относительно

С для

абсолютного движения точек (

) и для их относительного движения ( ) по

отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в

точке

С одинаковы: , т. е.

LL=

iii iii

rmv rmv

⎡

⎤⎡

⎤

⎣

⎦⎣

∑∑

⎦

где

и – скорости абсолютного и относительного движений точки

с массой

положение которой относительно С определяется радиус-

вектором

. Моменты количества движения системы относительно

ее центра инерции (

vvv=−

rr=−

) и неподвижного полюса (

) связаны соотношением

[

]

[

]

ccc

LLmrv LrK

−=−

где

– масса системы, – абсолютная скорость центра инерции

по отношению к полюсу, а

∑

– количество движения системы.

Основной закон динамики применительно к вращательному движению

формулируется следующим образом: производная по времени от момента

количества движения механической системы относительно неподвижной

точки или центра инерции системы равна главному моменту относительно

той же точки всех внешних сил, приложенных к системе:

, или, в

проекциях на координатные оси неподвижной (инерциальной) системы

отсчета:

Фундаментальный закон сохранения момента количества вращательного

движения: если главный момент внешних сил относительно неподвижной

точки или центра инерции механической системы тождественно равен нулю,

то момент количества движения системы относительно этой точки с течением

времени не изменяется:

const

В замкнутой системе внешние силы отсутствуют. Поэтому момент

количества движения

замкнутой системы относительно любой

неподвижной точки, а также геометрическая сумма

моментов количества

движения всех частей системы по отношению к ее центру инерции не зависят

от времени:

[]

iii

dL d

rmv

dt dt

∑

[]

iii

dL d

rmv

dt dt

∑

где

и – радиус-вектор и абсолютная скорость -й материальной точки

системы по отношению к неподвижной инерциальной системе координат

()

, а и – радиус-вектор и относительная скорость

той же точки по отношению к центру инерции системы.

rrr=−

c c

vvv=−

Для составления дифференциальных уравнений динамического процесса

регулирования, помимо приведенных выше основных физических законов

механики, продуктивно применение уравнений Лагранжа второго рода,

составленных для обобщенных координат системы. Этот метод

целесообразно использовать тогда, когда составление выражений

кинетической и потенциальной

энергии системы и диссипативной функции

не представляет затруднений.

Согласно вариационному принципу Гамильтона, всякая динамическая

система, находящаяся под влиянием консервативных сил, движется таким

образом, что минимизируется среднее значение по времени разности между

кинетической и потенциальной энергиями, т. е.

()

TVdt

−

∫

, (2.6.1)

где

– кинетическая энергия, - потенциальная энергия,

(,)

Txx



()

–