М.: Государственное издательство физико-математической литературы,
1958. — 193 с.
В настоящей книге интеграл Стильтьеса вводится на основании понятия
о пределе по С. Шатуновскому. Это определение шире классического и
в некоторых случаях удобнее его. Из теории интеграла Стильтьеса
получается как следствие теория интеграла Римана. В частности,
получаются известные правила интегрирования и дифференцирования под
знаком несобственного интеграла. В главе 3-й попутно излагаются
ряды Фурье и интеграл Фурье. Для понимания книги, кроме известного
математического развития, требуется лишь знакомство с теорией
пределов и началами дифференциального исчисления. Книга содержит
ряд приложений интеграла Стильтьеса и, в частности, приложения к
теории вероятностей. В связи с этим в главе 4-й вводится понятие об
интеграле Лебега — Стильтьеса и приводятся необходимые сведения из
теории меры.
Предисловие.
Функции ограниченной вариации.
Предварительные замечания.
Выделение функции скачков из неубывающей функции.
Функции ограниченной вариации.
Принцип выбора Хелли.
Интеграл Стильтьеса.
Определение интеграла Стильтьеса и простейшие следствия из определения
Общий признак существования интеграла
Основные свойства интеграла
Некоторые необходимые признаки существования интеграла
Сопоставление с классическим определением интеграла Стильтьеса.
Интеграл ∫ f dg для случая, когда g есть вещественная функция ограниченной вариации.
Основной признак существования интеграла.
Интегралы от произведения и частного. Интеграл от модуля функции. Свойства интегралов, выражаемые неравенствами.
Специальные достаточные признаки существования интеграла.
Интегралы, зависящие от параметра.
Интеграл Римана.
Интегралы по полусегменту и по интервалу.
Ряды Фурье.
Интеграл Фурье. Интеграл Фурье — Стильтьеса.
Предельный переход под знаком интеграла Стильтьеса. Прямая и обратная предельные теоремы для характеристических функций. Теорема Бохнера — Хинчина.
Дифференцирование под знаком интеграла Стильтьеса.
Интеграл Лебега —Стильтьеса.
Множества. Мера.
Измеримые функции.
Интеграл Лебега — Стильтьеса.
Приложение интеграла Лебега — Стильтьеса к теории вероятностей.
Дополнения. Криволинейный интеграл. Статический момент.
Функции ограниченной вариации.
Предварительные замечания.
Выделение функции скачков из неубывающей функции.
Функции ограниченной вариации.
Принцип выбора Хелли.
Интеграл Стильтьеса.
Определение интеграла Стильтьеса и простейшие следствия из определения
Общий признак существования интеграла
Основные свойства интеграла
Некоторые необходимые признаки существования интеграла
Сопоставление с классическим определением интеграла Стильтьеса.
Интеграл ∫ f dg для случая, когда g есть вещественная функция ограниченной вариации.
Основной признак существования интеграла.
Интегралы от произведения и частного. Интеграл от модуля функции. Свойства интегралов, выражаемые неравенствами.
Специальные достаточные признаки существования интеграла.
Интегралы, зависящие от параметра.
Интеграл Римана.
Интегралы по полусегменту и по интервалу.
Ряды Фурье.
Интеграл Фурье. Интеграл Фурье — Стильтьеса.
Предельный переход под знаком интеграла Стильтьеса. Прямая и обратная предельные теоремы для характеристических функций. Теорема Бохнера — Хинчина.
Дифференцирование под знаком интеграла Стильтьеса.
Интеграл Лебега —Стильтьеса.
Множества. Мера.
Измеримые функции.
Интеграл Лебега — Стильтьеса.
Приложение интеграла Лебега — Стильтьеса к теории вероятностей.
Дополнения. Криволинейный интеграл. Статический момент.