М.: МНЦМО, 2009. — 384 с.
Книга состоит из десяти глав, названия большинства из которых
вполне традиционны для книг, предназначенных для факультативных
занятий по математике. В книге приведены более трехсот задач,
большая часть которых предлагается читателю для самостоятельного
решения. Однако в каждой из глав рассматриваются не только
элементарные задачи, но и связанная с ними теория.
Для старшеклассников школ с углубленным изучением математики и их учителей, студентов математических факультетов университетов и их преподавателей, а также всех, кто интересуется математикой и ее преподаванием. Индукция.
Рассуждения «по индукции».
Метод математической индукции.
Принцип математической индукции.
Аксиоматика Пеано.
Сложение, порядок и умножение.
Число элементов множества.
Комбинаторика.
Элементарные задачи.
Числа сочетаний и рекуррентные соотношения.
Задача о перечислении графов.
Перестановки, размещения, сочетания.
Метод производящих функций.
Рекуррентные соотношения и свойства степенных рядов.
Теорема Эйлера.
Числа Каталана.
Число ячеек n-мерного пространства.
Целые числа.
Элементарные задачи на делимость.
Алгоритм Евклида.
Сравнения по модулю и кольца вычетов.
Теоремы Ферма и Эйлера.
Распределение простых чисел.
Арифметические функции.
Алгебраические уравнения над кольцами вычетов.
Шифры с открытым ключом.
Множество целых чисел.
Кольца, поля, группы.
Геометрические преобразования.
Параллельный перенос, поворот и симметрии в задачах.
Композиции в задачах.
Группа движений плоскости.
Алгебраические свойства геометрических фигур.
Координатные представления геометрических преобразований.
Орнаменты.
Неравенства.
Средние двух чисел.
Неравенства и тождественные преобразования.
Неравенство Коши—Буняковского.
Неравенство Коши.
Теорема Мюрхеда.
Различные доказательства неравенства Коши.
Неравенство Йенсена.
Классические неравенства и геометрия.
Нормы и шары в R.
Интегральные варианты классических неравенств.
Графы.
Начало теории графов.
Понятия и определения.
Паросочетания.
Деревья.
Формула Эйлера и эйлерова характеристика.
Формула Пика.
Теорема Жордана.
Графы для самых маленьких.
Двоичные кучи.
Принцип Дирихле.
Клетки и кролики.
Комбинаторные теоремы существования.
Плотные подмножества в R.
Лемма Минковского.
Суммы двух и четырех квадратов.
Комплексные числа и многочлены.
Многочлены: делимость и разложения на множители.
Определение поля комплексных чисел.
Комплексные числа в задачах.
Комплексные числа и геометрия.
Доказательство Конна теоремы Морли.
Основная теорема высшей алгебры и «единственность» поля С.
Формула Эйлера.
Быстрое преобразование Фурье.
Рациональные приближения.
Хорошие приближения числа V2
Задача о саде и ряды Фарея.
Цепные дроби.
Квадратичные иррациональности.
Поле Q и поля частных.
Числа алгебраические и трансцендентные.
Математика и компьютер.
Введение в предмет.
Визуализация математических фактов и методов.
Анализ результата, или: «Как сделать открытие».
Хаос, хаос.
Вместо заключения: обучение поиску решения задач, или фантазии в манере Пойа.
Решения дополнительных задач.
Для старшеклассников школ с углубленным изучением математики и их учителей, студентов математических факультетов университетов и их преподавателей, а также всех, кто интересуется математикой и ее преподаванием. Индукция.
Рассуждения «по индукции».
Метод математической индукции.
Принцип математической индукции.
Аксиоматика Пеано.
Сложение, порядок и умножение.
Число элементов множества.
Комбинаторика.
Элементарные задачи.
Числа сочетаний и рекуррентные соотношения.
Задача о перечислении графов.
Перестановки, размещения, сочетания.
Метод производящих функций.
Рекуррентные соотношения и свойства степенных рядов.
Теорема Эйлера.
Числа Каталана.
Число ячеек n-мерного пространства.
Целые числа.
Элементарные задачи на делимость.
Алгоритм Евклида.
Сравнения по модулю и кольца вычетов.
Теоремы Ферма и Эйлера.
Распределение простых чисел.
Арифметические функции.
Алгебраические уравнения над кольцами вычетов.
Шифры с открытым ключом.
Множество целых чисел.
Кольца, поля, группы.
Геометрические преобразования.
Параллельный перенос, поворот и симметрии в задачах.
Композиции в задачах.
Группа движений плоскости.
Алгебраические свойства геометрических фигур.
Координатные представления геометрических преобразований.
Орнаменты.
Неравенства.
Средние двух чисел.
Неравенства и тождественные преобразования.
Неравенство Коши—Буняковского.
Неравенство Коши.
Теорема Мюрхеда.
Различные доказательства неравенства Коши.
Неравенство Йенсена.
Классические неравенства и геометрия.
Нормы и шары в R.
Интегральные варианты классических неравенств.
Графы.
Начало теории графов.
Понятия и определения.
Паросочетания.
Деревья.
Формула Эйлера и эйлерова характеристика.
Формула Пика.
Теорема Жордана.
Графы для самых маленьких.
Двоичные кучи.
Принцип Дирихле.
Клетки и кролики.
Комбинаторные теоремы существования.
Плотные подмножества в R.
Лемма Минковского.
Суммы двух и четырех квадратов.
Комплексные числа и многочлены.
Многочлены: делимость и разложения на множители.
Определение поля комплексных чисел.
Комплексные числа в задачах.
Комплексные числа и геометрия.
Доказательство Конна теоремы Морли.
Основная теорема высшей алгебры и «единственность» поля С.
Формула Эйлера.
Быстрое преобразование Фурье.
Рациональные приближения.
Хорошие приближения числа V2
Задача о саде и ряды Фарея.
Цепные дроби.
Квадратичные иррациональности.
Поле Q и поля частных.
Числа алгебраические и трансцендентные.
Математика и компьютер.
Введение в предмет.
Визуализация математических фактов и методов.
Анализ результата, или: «Как сделать открытие».
Хаос, хаос.
Вместо заключения: обучение поиску решения задач, или фантазии в манере Пойа.
Решения дополнительных задач.