М.: Просвещение, 1990. — 416 с.
В книге в конспективной форме изложен теоретический материал по
алгебре и началам анализа. По каждому пункту теоретического
материала приведены упражнения с решениями и упражнения трех
уровней сложности для самостоятельного решения. Она может быть
использована при подготовке к экзаменам в высшие учебные заведения.
Предисловие.
Натуральные числа и действия над ними.
Сложение и законы сложения.
Вычитание.
Умножение и законы умножения.
Деление.
Признаки делимости чисел.
Понятие множества.
Операции над множествами.
Взаимно однозначное соответствие.
Простые и составные числа.
Наибольший общий делитель.
Наименьшее общее кратное.
Контрольные вопросы. Обыкновенные дроби.
Правильные и неправильные дроби.
Основное свойство дроби.
Сложение и вычитание дробей.
Умножение дробей.
Деление дробей.
Десятичные дроби.
Обращение десятичной дроби в обыкновенную и обыкновенной в десятичную. Периодические дроби.
Отношение. Пропорция.
Свойства пропорции.
Процент. Основные задачи на проценты.
Деление числа на части, прямо и обратно пропорциональные данным числам.
Контрольные вопросы. Координатная прямая.
Множество целых чисел.
Множество рациональных чисел.
Модуль числа.
Сравнение рациональных чисел.
Сложение и вычитание рациональных чисел.
Умножение и деление рациональных чисел.
Возведение рациональных чисел в степень с натуральным показателем.
Контрольные вопросы. Свойства степени с натуральным показателем.
Числовые выражения.
Выражения с переменными.
Тождественно равные выражения.
Одночлены.
Многочлены.
Преобразование суммы и разности многочленов.
Умножение многочлена на одночлен и многочлена на многочлен.
Разложение многочлена на множители способам вынесения общего множителя за скобки.
Разложение многочлена на множители способом группировки.
Формулы сокращенного умножения.
Контрольные вопросы. Дробь.
Целые и дробные выражения.
Тождественное преобразование суммы и разности двух дробей.
Тождественное преобразование произведения и частного двух дробей.
Степень дроби.
Контрольные вопросы. Понятие об иррациональном числе.
Развитие понятия о числе. Множество действительных чисел.
Корень k-й степени из действительного числа.
Алгоритм извлечения квадратного корня из числа.
Арифметические действия с действительными числами.
Преобразования арифметических корней.
Степень с целым и дробным показателем.
Контрольные вопросы. Уравнения с одной переменной.
Понятие о равносильности уравнений.
Свойства числовых равенств и теоремы о равносильности уравнений.
Линейное уравнение с одной переменной, содержащее параметр.
Контрольные вопросы. Понятие функции.
Способы задания функции.
Монотонность функции.
Четные и нечетные функции.
Периодические функции.
Промежутки знакопостоянства и корни функции.
Контрольные вопросы. Геометрические преобразования графиков функций.
Линейная функция и ее график.
Квадратичная функция и ее график.
Функция y = k/x и ее график.
Дробно-линейная функция и ее график.
Контрольные вопросы. Квадратные уравнения.
Теорема Виета.
Графический способ решения квадратных уравнений.
Уравнения со многими переменными.
Системы уравнений.
Контрольные вопросы. Неравенства.
Основные свойства неравенств.
Действия с неравенствами.
Доказательства неравенств.
Неравенства, содержащие переменную.
Решение линейных и квадратных неравенств.
Контрольные вопросы.
Системы и совокупности неравенств.
Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.
Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.
Решение рациональных неравенств методом промежутков.
Контрольные вопросы. Числовая последовательность.
Арифметическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия.
Сумма бесконечной геометрической профессии при |q|<1.
Контрольные вопросы. Градусное измерение угловых величин.
Радианное измерение угловых величин.
Синус и косинус числового аргумента.
Тангенс и котангенс числового аргумента. Секанс и косеканс числа α.
Основные тригонометрические тождества.
Дополнительные свойства тригонометрических функций.
Контрольные вопросы. Формулы приведения.
Формулы сложения.
Формулы двойного угла.
Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.
Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций.
Тригонометрические функции половинного аргумента.
Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.
Контрольные вопросы. Свойства функции y = sin x и ее график.
Свойства функции y = cos x и ее график.
Свойства функции y = tg х и ее график.
Свойства функции y = ctg x и ее график.
Нахождение периодов тригонометрических функций.
Контрольные вопросы. Арксинус и арккосинус.
Арктангенс и арккотангенс.
Контрольные вопросы. Решение уравнений вида cos x = a.
Решение уравнений вида sin x = a.
Решение уравнений вида tg x = a.
Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратному.
Решение однородных тригонометрических уравнений.
Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью формул сложения, понижения степени.
Решение систем тригонометрических уравнений.
Контрольные вопросы. Решение тригонометрических неравенств вида sin x > a, sin x < a.
Решение тригонометрических неравенств вида cos x > a, cos x < a.
Решение тригонометрических неравенств вида tgx > a, tgx < a.
Решение тригонометрических неравенств.
Контрольные вопросы. Приращение аргумента и приращение функции.
Предел функции.
Непрерывность функции.
Определение производной.
Производная суммы, произведения, частного.
Производная степенной и сложной функций.
Производные тригонометрических функций.
Контрольные вопросы.
Применение производной к нахождению промежутков монотонности функции.
Критические точки функции, ее максимумы и минимумы.
Общая схема исследования функции.
Задачи на нахождение наименьшего и наибольшего значения функции.
Контрольные вопросы. Формулы приближенных вычислений.
Касательная к графику функции.
Скорость и ускорение в данный момент времени.
Графики гармонических колебаний.
Контрольные вопросы. Потерянные и посторонние корни при решении уравнений (на примерах).
Посторонние корни иррационального уравнения (на примерах).
Решение иррациональных уравнений.
Решение иррациональных неравенств.
Контрольные вопросы. Показательная функция, ее свойства и график.
Показательные уравнения.
Показательные неравенства.
Системы показательных уравнений и неравенств.
Контрольные вопросы. Обратная функция.
Понятие логарифма.
Свойства логарифмов.
Логарифмическая функция, ее свойства и график.
Теоремы о логарифме произведения, частного и степени. Формула перехода к новому основанию.
Десятичные логарифмы и их свойства.
Логарифмирование и потенцирование.
Контрольные вопросы. Логарифмические уравнения.
Логарифмические неравенства.
Системы логарифмических уравнений и неравенств.
Производные логарифмической и показательной функций. Число е.
Контрольные вопросы.
Понятие первообразной функции.
Основное свойство первообразной функции.
Три правила нахождения первообразных.
Криволинейная трапеция и ее площадь.
Контрольные вопросы. Формула Ньютона-Лейбница.
Основные правила интегрирования.
Вычисление площадей с помощью интеграла.
Механические и физические приложения определенного интеграла.
Контрольные вопросы. Приложение.
Сложение и законы сложения.
Вычитание.
Умножение и законы умножения.
Деление.
Признаки делимости чисел.
Понятие множества.
Операции над множествами.
Взаимно однозначное соответствие.
Простые и составные числа.
Наибольший общий делитель.
Наименьшее общее кратное.
Контрольные вопросы. Обыкновенные дроби.
Правильные и неправильные дроби.
Основное свойство дроби.
Сложение и вычитание дробей.
Умножение дробей.
Деление дробей.
Десятичные дроби.
Обращение десятичной дроби в обыкновенную и обыкновенной в десятичную. Периодические дроби.
Отношение. Пропорция.
Свойства пропорции.
Процент. Основные задачи на проценты.
Деление числа на части, прямо и обратно пропорциональные данным числам.
Контрольные вопросы. Координатная прямая.
Множество целых чисел.
Множество рациональных чисел.
Модуль числа.
Сравнение рациональных чисел.
Сложение и вычитание рациональных чисел.
Умножение и деление рациональных чисел.
Возведение рациональных чисел в степень с натуральным показателем.
Контрольные вопросы. Свойства степени с натуральным показателем.
Числовые выражения.
Выражения с переменными.
Тождественно равные выражения.
Одночлены.
Многочлены.
Преобразование суммы и разности многочленов.
Умножение многочлена на одночлен и многочлена на многочлен.
Разложение многочлена на множители способам вынесения общего множителя за скобки.
Разложение многочлена на множители способом группировки.
Формулы сокращенного умножения.
Контрольные вопросы. Дробь.
Целые и дробные выражения.
Тождественное преобразование суммы и разности двух дробей.
Тождественное преобразование произведения и частного двух дробей.
Степень дроби.
Контрольные вопросы. Понятие об иррациональном числе.
Развитие понятия о числе. Множество действительных чисел.
Корень k-й степени из действительного числа.
Алгоритм извлечения квадратного корня из числа.
Арифметические действия с действительными числами.
Преобразования арифметических корней.
Степень с целым и дробным показателем.
Контрольные вопросы. Уравнения с одной переменной.
Понятие о равносильности уравнений.
Свойства числовых равенств и теоремы о равносильности уравнений.
Линейное уравнение с одной переменной, содержащее параметр.
Контрольные вопросы. Понятие функции.
Способы задания функции.
Монотонность функции.
Четные и нечетные функции.
Периодические функции.
Промежутки знакопостоянства и корни функции.
Контрольные вопросы. Геометрические преобразования графиков функций.
Линейная функция и ее график.
Квадратичная функция и ее график.
Функция y = k/x и ее график.
Дробно-линейная функция и ее график.
Контрольные вопросы. Квадратные уравнения.
Теорема Виета.
Графический способ решения квадратных уравнений.
Уравнения со многими переменными.
Системы уравнений.
Контрольные вопросы. Неравенства.
Основные свойства неравенств.
Действия с неравенствами.
Доказательства неравенств.
Неравенства, содержащие переменную.
Решение линейных и квадратных неравенств.
Контрольные вопросы.
Системы и совокупности неравенств.
Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.
Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.
Решение рациональных неравенств методом промежутков.
Контрольные вопросы. Числовая последовательность.
Арифметическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия.
Сумма бесконечной геометрической профессии при |q|<1.
Контрольные вопросы. Градусное измерение угловых величин.
Радианное измерение угловых величин.
Синус и косинус числового аргумента.
Тангенс и котангенс числового аргумента. Секанс и косеканс числа α.
Основные тригонометрические тождества.
Дополнительные свойства тригонометрических функций.
Контрольные вопросы. Формулы приведения.
Формулы сложения.
Формулы двойного угла.
Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.
Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций.
Тригонометрические функции половинного аргумента.
Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.
Контрольные вопросы. Свойства функции y = sin x и ее график.
Свойства функции y = cos x и ее график.
Свойства функции y = tg х и ее график.
Свойства функции y = ctg x и ее график.
Нахождение периодов тригонометрических функций.
Контрольные вопросы. Арксинус и арккосинус.
Арктангенс и арккотангенс.
Контрольные вопросы. Решение уравнений вида cos x = a.
Решение уравнений вида sin x = a.
Решение уравнений вида tg x = a.
Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратному.
Решение однородных тригонометрических уравнений.
Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью формул сложения, понижения степени.
Решение систем тригонометрических уравнений.
Контрольные вопросы. Решение тригонометрических неравенств вида sin x > a, sin x < a.
Решение тригонометрических неравенств вида cos x > a, cos x < a.
Решение тригонометрических неравенств вида tgx > a, tgx < a.
Решение тригонометрических неравенств.
Контрольные вопросы. Приращение аргумента и приращение функции.
Предел функции.
Непрерывность функции.
Определение производной.
Производная суммы, произведения, частного.
Производная степенной и сложной функций.
Производные тригонометрических функций.
Контрольные вопросы.
Применение производной к нахождению промежутков монотонности функции.
Критические точки функции, ее максимумы и минимумы.
Общая схема исследования функции.
Задачи на нахождение наименьшего и наибольшего значения функции.
Контрольные вопросы. Формулы приближенных вычислений.
Касательная к графику функции.
Скорость и ускорение в данный момент времени.
Графики гармонических колебаний.
Контрольные вопросы. Потерянные и посторонние корни при решении уравнений (на примерах).
Посторонние корни иррационального уравнения (на примерах).
Решение иррациональных уравнений.
Решение иррациональных неравенств.
Контрольные вопросы. Показательная функция, ее свойства и график.
Показательные уравнения.
Показательные неравенства.
Системы показательных уравнений и неравенств.
Контрольные вопросы. Обратная функция.
Понятие логарифма.
Свойства логарифмов.
Логарифмическая функция, ее свойства и график.
Теоремы о логарифме произведения, частного и степени. Формула перехода к новому основанию.
Десятичные логарифмы и их свойства.
Логарифмирование и потенцирование.
Контрольные вопросы. Логарифмические уравнения.
Логарифмические неравенства.
Системы логарифмических уравнений и неравенств.
Производные логарифмической и показательной функций. Число е.
Контрольные вопросы.
Понятие первообразной функции.
Основное свойство первообразной функции.
Три правила нахождения первообразных.
Криволинейная трапеция и ее площадь.
Контрольные вопросы. Формула Ньютона-Лейбница.
Основные правила интегрирования.
Вычисление площадей с помощью интеграла.
Механические и физические приложения определенного интеграла.
Контрольные вопросы. Приложение.