Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х. — Под ред.
Г.Н. Яковлева. — М.: Наука, Физматлит, 1981. — 608 с.
Пособие написано преподавателями кафедры высшей математики
Московского физико-технического института. Теоретический материал
сопровождается подробным рассмотрением большого количества примеров
различной степени трудности. Содержит более 2000 задач, из которых
около трети даны с решениями. Значительная часть задач предлагалась
на вступительных экзаменах в различных вузах. Книга написана в
соответствии с программой по математике для средних школ, и в ней
используются терминология и обозначения, принятые сейчас в школе.
Пособие не содержит систематического изложения школьного курса
математики и не может заменить школьные учебники. Тем не менее все
основные и важные, по мнению авторов, вопросы освещены достаточно
подробно. В некоторых случаях добавлен материал, несколько
выходящий за рамки ныне действующей программы для поступающих в
вузы.
Авторы считают, что изучение этого материала будет способствовать
развитию математической культуры учащихся, а также принесет пользу
при дальнейшем обучении в вузах.
Множества. Понятие функции и обратной функции.
Числовые множества.
Понятие функции.
Координатная плоскость. График функции.
Обратная функция. Элементы логики. Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы. Метод математической индукции.
Высказывания. Операции над высказываниями.
Предложения, зависящие от переменной.
Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы. Необходимые и достаточные условия.
Метод математической индукции. Уравнения и системы уравнений.
Уравнения с одним и несколькими переменными.
Системы уравнений.
Системы линейных уравнений.
Задачи на составление уравнений. Алгебраические неравенства.
Функциональные неравенства Понятие равносильности неравенств.
Рациональные неравенства Метод интервалов.
Иррациональные неравенства.
Неравенства с модулем.
Неравенства с параметрами.
Доказательство неравенств.
Приложение неравенств к задачам на наибольшие и наименьшие значения. Последовательности. Предел последовательности. Предел функции. Производная.
Бесконечные последовательности. Последовательности ограниченные и неограниченные.
Предел последовательности. Теоремы о сходящихся последовательностях.
Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрассп.
Геометрическая прогрессия.
Предел функции. Непрерывность функции.
Производная, ее геометрический смысл.
Предел функции на бесконечности.
Односторонние пределы. Бесконечные пределы. Исследование функций и построение их графиков.
Четные и нечетные функции.
Периодические функции.
Асимптоты.
Элементарные функции и их графики.
Построение графиков функций.
Применение производной к исследованию функций и построению их графиков.
Наибольшее и наименьшее значения функции. Векторы.
Некоторые необходимые определения и обозначения.
Векторы, их обозначение и изображение.
Коллинеарные и компланарные векторы.
Умножение вектора на число. Признак коллинеарности.
Условие компланарности векторов. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.
Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.
Базис. Координаты вектора. Действия над векторами, заданными своими координатами.
Прямоугольная система координат. Уравнение плоскости. Комплексные числа.
Определение комплексных чисел.
Свойства операций сложения и умножения.
Алгебраическая форма записи комплексных чисел. Правила действий с комплексными числами, записанными в алгебраической форме.
Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргументы комплексного числа.
Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.
Возведение в степень и извлечение корня.
Алгебраические уравнения.
Тригонометрические уравнения.
Системы тригонометрических уравнений.
Тригонометрические неравенства. Показательные и логарифмические уравнения, системы и неравенства.
Показательные уравнения.
Логарифмические уравнения.
Разные примеры уравнений.
Система показательных и логарифмических уравнений. Комбинаторика. Формула Ньютона для степени бинома. Случайные события и их вероятности.
Размещения, перестановки, сочетания.
Случайные события и их вероятности. Интеграл.
Первообразная и неопределенный интеграл.
Интеграл и формула Ньютона — Лейбница.
Площадь криволинейной трапеции. Решение планиметрических задач.
Разные задачи.
Подобие треугольников. Теоремы синусов и косинусов.
Свойства хорд, секущих и касательных.
Алгебраические и тригонометрические методы решения. Применение векторной алгебры. Множества точек на плоскости и в пространстве. Задачи на построение.
Множества точек, обладающих заданным свойством.
Применение метода координат.
Задачи на построение.
Сечения многогранников.
Применение критериев коллинеарности и компланарности векторов в решении задач.
Угол между прямыми в пространстве. Стереометрия (часть II).
Перпендикулярные прямые и плоскости.
Об изображении на рисунках перпендикулярных прямых и плоскостей. Построение сечений, перпендикулярных прямой или плоскости.
Угол между прямой и плоскостью.
Расстояние от точки до плоскости, расстояние между прямыми и плоскостями.
Двугранный угол. Угол между плоскостями. Биссектор. Трехгранный угол.
О вычислении объемов многогранников и их частей.
Задачи на комбинации многогранников. Фигуры вращения.
Цилиндр.
Конус.
Сфера.
Комбинации сферы, конуса и цилиндра. Приложение. Образцы вариантов, предлагавшихся в 1977-1979 гг. на письменных вступительных экзаменах по математике.
Числовые множества.
Понятие функции.
Координатная плоскость. График функции.
Обратная функция. Элементы логики. Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы. Метод математической индукции.
Высказывания. Операции над высказываниями.
Предложения, зависящие от переменной.
Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы. Необходимые и достаточные условия.
Метод математической индукции. Уравнения и системы уравнений.
Уравнения с одним и несколькими переменными.
Системы уравнений.
Системы линейных уравнений.
Задачи на составление уравнений. Алгебраические неравенства.
Функциональные неравенства Понятие равносильности неравенств.
Рациональные неравенства Метод интервалов.
Иррациональные неравенства.
Неравенства с модулем.
Неравенства с параметрами.
Доказательство неравенств.
Приложение неравенств к задачам на наибольшие и наименьшие значения. Последовательности. Предел последовательности. Предел функции. Производная.
Бесконечные последовательности. Последовательности ограниченные и неограниченные.
Предел последовательности. Теоремы о сходящихся последовательностях.
Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрассп.
Геометрическая прогрессия.
Предел функции. Непрерывность функции.
Производная, ее геометрический смысл.
Предел функции на бесконечности.
Односторонние пределы. Бесконечные пределы. Исследование функций и построение их графиков.
Четные и нечетные функции.
Периодические функции.
Асимптоты.
Элементарные функции и их графики.
Построение графиков функций.
Применение производной к исследованию функций и построению их графиков.
Наибольшее и наименьшее значения функции. Векторы.
Некоторые необходимые определения и обозначения.
Векторы, их обозначение и изображение.
Коллинеарные и компланарные векторы.
Умножение вектора на число. Признак коллинеарности.
Условие компланарности векторов. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.
Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.
Базис. Координаты вектора. Действия над векторами, заданными своими координатами.
Прямоугольная система координат. Уравнение плоскости. Комплексные числа.
Определение комплексных чисел.
Свойства операций сложения и умножения.
Алгебраическая форма записи комплексных чисел. Правила действий с комплексными числами, записанными в алгебраической форме.
Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргументы комплексного числа.
Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.
Возведение в степень и извлечение корня.
Алгебраические уравнения.
Тригонометрические уравнения.
Системы тригонометрических уравнений.
Тригонометрические неравенства. Показательные и логарифмические уравнения, системы и неравенства.
Показательные уравнения.
Логарифмические уравнения.
Разные примеры уравнений.
Система показательных и логарифмических уравнений. Комбинаторика. Формула Ньютона для степени бинома. Случайные события и их вероятности.
Размещения, перестановки, сочетания.
Случайные события и их вероятности. Интеграл.
Первообразная и неопределенный интеграл.
Интеграл и формула Ньютона — Лейбница.
Площадь криволинейной трапеции. Решение планиметрических задач.
Разные задачи.
Подобие треугольников. Теоремы синусов и косинусов.
Свойства хорд, секущих и касательных.
Алгебраические и тригонометрические методы решения. Применение векторной алгебры. Множества точек на плоскости и в пространстве. Задачи на построение.
Множества точек, обладающих заданным свойством.
Применение метода координат.
Задачи на построение.
Сечения многогранников.
Применение критериев коллинеарности и компланарности векторов в решении задач.
Угол между прямыми в пространстве. Стереометрия (часть II).
Перпендикулярные прямые и плоскости.
Об изображении на рисунках перпендикулярных прямых и плоскостей. Построение сечений, перпендикулярных прямой или плоскости.
Угол между прямой и плоскостью.
Расстояние от точки до плоскости, расстояние между прямыми и плоскостями.
Двугранный угол. Угол между плоскостями. Биссектор. Трехгранный угол.
О вычислении объемов многогранников и их частей.
Задачи на комбинации многогранников. Фигуры вращения.
Цилиндр.
Конус.
Сфера.
Комбинации сферы, конуса и цилиндра. Приложение. Образцы вариантов, предлагавшихся в 1977-1979 гг. на письменных вступительных экзаменах по математике.