Московский Физико-Технический Институт, Независимый Московский
Университет, 2014, 171 с.
Алгебраическая топология является фундаментальной частью математики и имеет применения за ее пределами. Как и для любой фундаментальной части науки, ее основные мотивировки и идеи можно доступно изложить человеку, не имеющему глубоких специальных познаний.Такому изложению посвящена настоящая книга. Ее особенность — возможность познакомиться с этими мотивировками и идеями на ‘олимпиадных’ примерах, т.е. на простейших маломерных частных случаях, свободных от технических деталей, и со сведением к необходимому минимуму алгебраического языка. Так я надеюсь сделать алгебраическую топологию более доступной неспециалистам — в первую очередь студентам и математикам, работающим в других областях. Введение.
Зачем эта книга.
Содержание и используемый материал.
Для специалистов.
Благодарности.
Словарик по теории графов.
Примеры поверхностей.
Наглядные задачи о поверхностях.
Наглядные задачи о графах на поверхностях.
Применения неравенства Эйлера.
Наглядные задачи о разрезаниях.
Топологическая эквивалентность (гомеоморфность).
Топологическая эквивалентность дисков с ленточками.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Векторные поля на плоскости.
Интересные примеры и теоремы.
Гомотопность векторных полей и непрерывных отображений.
Число оборотов вектора и его применения.
Гомотопическая классификация векторных полей.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Векторные поля на поверхностях.
Касательные векторные поля для сферы.
Нормальные векторные поля и гомотопии для сферы.
Векторные поля и гомотопии для тора.
Векторные поля и гомотопии для других поверхностей.
Обобщение на двумерные подмногообразия.
Касательные векторные поля общего положения.
Построение касательных векторных полей по триангуляции.
Нормальные векторные поля для двумерных поверхностей.
Построение гомологического инварианта векторных полей.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Двумерные многообразия.
Гомеоморфность графов.
Двумерные симплициальные комплексы и их гомеоморфность.
Локально евклидовы двумерные комплексы.
Ориентируемость локально-евклидовых 2-комплексов.
Эйлерова характеристика 2-комплексов.
Классификация двумерных многообразий.
Препятствие Уитни к вложимости.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Гомологии двумерных многообразий.
Критерий ориентируемости.
Ориентируемость: циклы.
Ориентируемость: гомологичность циклов.
Ориентируемость: гомологии и первый класс Штифеля-Уитни.
Форма пересечений.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Инволюции.
Примеры инволюций.
Классификация инволюций.
Другое доказательство теоремы классификации инволюций.
Векторные поля на многомерных поверхностях.
Векторные поля на подмножествах евклидова пространства.
Поверхности и векторные поля на них.
Отображения трехмерной сферы в двумерную.
Классификация касательных векторных полей.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Параллелизуемость трехмерных поверхностей.
Исторические замечания и формулировки результатов.
Идея доказательства теоремы Штифеля на примерах.
Характеристические классы для 3-многообразий.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Трехмерные многообразия.
Трехмерные комплексы и их гомеоморфность.
Трехмерные многообразия.
Край, ориентируемость, эйлерова характеристика.
Гомологии трехмерных многообразий.
Фундаментальная группа и накрытия (набросок).
Конструкции трехмерных многообразий.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Наборы векторных полей.
О существовании наборов касательных полей.
Характеристические классы для 4-многообразий.
Определение групп гомологий и формы пересечений.
Характеристические классы для n-многообразий.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Непогружаемость и невложимость.
Основные результаты о невложимости.
Доказательства непогружаемости и невложимости.
Нормальные классы Уитни.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Расслоения и их применения.
Простейшие расслоения.
Векторные расслоения.
Степени двойки и классы Штифеля-Уитни (набросок).
Классификация расслоений.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Общие свойства гомологий (набросок).
Простейшие свойства.
Гомологии пары, вырезание и точная последовательность.
Другие точные последовательности.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Двойственности Пуанкаре и Александера-Понтрягина.
Простая часть двойственности Пуанкаре.
Сложная часть двойственности Пуанкаре.
Двойственность Александера и ее применения.
Двойственности Александера и Понтрягина.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Препятствия к кобордантности.
Введение.
Эйлерова характеристика.
Сигнатура.
Числа Штифеля-Уитни.
Числа Понтрягина и формула Хирцебруха.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Гомотопическая классификация отображений.
Определения и исторические замечания.
Групповая структура.
Теорема Фрейденталя о надстройке.
Точная последовательность расслоения.
Точная последовательность вложения (или Баррата-Пуппе).
Реализация циклов подмногообразиями (набросок).
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Классификация погружений.
Выворачивание сфер наизнанку и классификация погружений.
Набросок доказательства теоремы Кервера.
Вложения и заузливания.
Введение: проблемы вложимости и заузливания.
Общее положение.
Идея дополнения.
Общий инвариант дополнения.
Комбинация инвариантов дополнения и окрестности.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Нестандартные гомотопические сферы.
Пример нестандартной гомотопической сферы.
Конечность множества гомотопических сфер (набросок).
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Приложение: Классификация сечений и интегрируемые системы.
Классификация сечений и зейфертовых сечений.
Применение к интегрируемым гамильтоновым системам.
Алгебраическая топология является фундаментальной частью математики и имеет применения за ее пределами. Как и для любой фундаментальной части науки, ее основные мотивировки и идеи можно доступно изложить человеку, не имеющему глубоких специальных познаний.Такому изложению посвящена настоящая книга. Ее особенность — возможность познакомиться с этими мотивировками и идеями на ‘олимпиадных’ примерах, т.е. на простейших маломерных частных случаях, свободных от технических деталей, и со сведением к необходимому минимуму алгебраического языка. Так я надеюсь сделать алгебраическую топологию более доступной неспециалистам — в первую очередь студентам и математикам, работающим в других областях. Введение.
Зачем эта книга.
Содержание и используемый материал.
Для специалистов.
Благодарности.
Словарик по теории графов.
Примеры поверхностей.
Наглядные задачи о поверхностях.
Наглядные задачи о графах на поверхностях.
Применения неравенства Эйлера.
Наглядные задачи о разрезаниях.
Топологическая эквивалентность (гомеоморфность).
Топологическая эквивалентность дисков с ленточками.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Векторные поля на плоскости.
Интересные примеры и теоремы.
Гомотопность векторных полей и непрерывных отображений.
Число оборотов вектора и его применения.
Гомотопическая классификация векторных полей.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Векторные поля на поверхностях.
Касательные векторные поля для сферы.
Нормальные векторные поля и гомотопии для сферы.
Векторные поля и гомотопии для тора.
Векторные поля и гомотопии для других поверхностей.
Обобщение на двумерные подмногообразия.
Касательные векторные поля общего положения.
Построение касательных векторных полей по триангуляции.
Нормальные векторные поля для двумерных поверхностей.
Построение гомологического инварианта векторных полей.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Двумерные многообразия.
Гомеоморфность графов.
Двумерные симплициальные комплексы и их гомеоморфность.
Локально евклидовы двумерные комплексы.
Ориентируемость локально-евклидовых 2-комплексов.
Эйлерова характеристика 2-комплексов.
Классификация двумерных многообразий.
Препятствие Уитни к вложимости.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Гомологии двумерных многообразий.
Критерий ориентируемости.
Ориентируемость: циклы.
Ориентируемость: гомологичность циклов.
Ориентируемость: гомологии и первый класс Штифеля-Уитни.
Форма пересечений.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Инволюции.
Примеры инволюций.
Классификация инволюций.
Другое доказательство теоремы классификации инволюций.
Векторные поля на многомерных поверхностях.
Векторные поля на подмножествах евклидова пространства.
Поверхности и векторные поля на них.
Отображения трехмерной сферы в двумерную.
Классификация касательных векторных полей.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Параллелизуемость трехмерных поверхностей.
Исторические замечания и формулировки результатов.
Идея доказательства теоремы Штифеля на примерах.
Характеристические классы для 3-многообразий.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Трехмерные многообразия.
Трехмерные комплексы и их гомеоморфность.
Трехмерные многообразия.
Край, ориентируемость, эйлерова характеристика.
Гомологии трехмерных многообразий.
Фундаментальная группа и накрытия (набросок).
Конструкции трехмерных многообразий.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Наборы векторных полей.
О существовании наборов касательных полей.
Характеристические классы для 4-многообразий.
Определение групп гомологий и формы пересечений.
Характеристические классы для n-многообразий.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Непогружаемость и невложимость.
Основные результаты о невложимости.
Доказательства непогружаемости и невложимости.
Нормальные классы Уитни.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Расслоения и их применения.
Простейшие расслоения.
Векторные расслоения.
Степени двойки и классы Штифеля-Уитни (набросок).
Классификация расслоений.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Общие свойства гомологий (набросок).
Простейшие свойства.
Гомологии пары, вырезание и точная последовательность.
Другие точные последовательности.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Двойственности Пуанкаре и Александера-Понтрягина.
Простая часть двойственности Пуанкаре.
Сложная часть двойственности Пуанкаре.
Двойственность Александера и ее применения.
Двойственности Александера и Понтрягина.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Препятствия к кобордантности.
Введение.
Эйлерова характеристика.
Сигнатура.
Числа Штифеля-Уитни.
Числа Понтрягина и формула Хирцебруха.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Гомотопическая классификация отображений.
Определения и исторические замечания.
Групповая структура.
Теорема Фрейденталя о надстройке.
Точная последовательность расслоения.
Точная последовательность вложения (или Баррата-Пуппе).
Реализация циклов подмногообразиями (набросок).
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Классификация погружений.
Выворачивание сфер наизнанку и классификация погружений.
Набросок доказательства теоремы Кервера.
Вложения и заузливания.
Введение: проблемы вложимости и заузливания.
Общее положение.
Идея дополнения.
Общий инвариант дополнения.
Комбинация инвариантов дополнения и окрестности.
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Нестандартные гомотопические сферы.
Пример нестандартной гомотопической сферы.
Конечность множества гомотопических сфер (набросок).
Ответы, указания и решения к некоторым задачам.
Приложение: Классификация сечений и интегрируемые системы.
Классификация сечений и зейфертовых сечений.
Применение к интегрируемым гамильтоновым системам.