Москва; Ленинград: Государственное технико-теоретическое
издательство, 1933. — 196 с.
Введение.
Предварительные определения. Замена переменных в дифференциальных выражениях. Непрерывность. Дифференцируемость. Огибающие. Смысл дифференциального уравнения и его решения.
Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка. Число различных решений уравнения первого порядка. Геометрическая интерпретация дифференциальных уравнений второго порядка. Число решений уравнений порядка выше первого. Граничные условия. Доказательство существования. Источники дифференциальных уравнений.
Источники дифференциальных уравнений. Образование дифференциального уравнения из его примитивной. Получение дифференциальных уравнений из физических законов. Пример 1: закон действия масс. Пример 2: кривая провеса гибкой нерастяжимой нити. Пример 3: течение тока в электрической цепи. Пример 4: распространение тепла. Пример 5: безвихревое течение идеальной жидкости. Пример 6: уравнение распределения потенциала в пустотной трубке. Методы решения уравнений первого порядка.
Случай, когда не входит зависимое переменное. Случай, когда не входит независимое переменное. Разделение переменных. Численное интегрирование. Интегрирование при помощи рядов. Графическое интегрирование. Интеграф. Разделение переменных с помощью подстановки; однородное уравнение. Точные дифференциалы. Линейные уравнения. Уравнения, приводимые к линейным. Уравнения, разрешимые относительно икс или относительно игрек. Уравнения второго порядка, сводимые к уравнениям первого порядка. Особые решения.
Определение особого решения. Геометрические места точек заострения и точек прикосновения. Нахождение особых решений. Практические приложения дифференциальных уравнений.
Введение. Распространение теплоты в стержне. Поток теплоты внутри шарового слоя. Кривая постоянной кривизны. Траектории. Свободно падающее тело. Изгиб балки. Изгиб строительных колонн. Колебание струны. Колебание мембраны. Поверхность вращения наименьшей площади. Брахистохрона. Геодезические линии на кривой поверхности. Задача Дидоны. Задача на вероятности. Линейные уравнения высших порядков.
Вводные замечания. Принцип наложения. Принцип разложения. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами; показательные функции как решения. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами; решения в тригонометрических функциях. Уравнения электрических цепей; "переходное" и "устойчивое" состояния в простом контуре. Уравнения для цепи; кажущееся сопротивление. Метод операторов; разложение их на множители. Операторный метод; применение разложения на множители к решению линейных уравнений. Операторный метод; применение простейших дробей к решению линейных уравнений. Кратные корни. Исключительный случай решения, зависящего от показательной функции. Особенность формул (186) и (195). Неинтегрируемые функции. Системы линейных уравнений.
Общая идея метода решения систем линейных уравнений. Второй принцип наложения. Соотношение между одним линейным уравнением и системой уравнений. Доказательство правильности общего операторного решения. Решение системы дифференциальных уравнений при граничном условии, что все переменные обращаются в нуль в одной и той же точке. Частный случай f(x) = e^(px). Теорема Хевисайда. Переходное и установившееся состояние в электрической цепи. Решение задач на установившееся состояние. Другие типы уравнений высших порядков.
Введение. Искусственный прием. Решение с помощью рядов. Опасности, связанные с употреблением рядов. Уравнение Бесселя. Понижение порядка линейного уравнения.
Предварительные определения. Замена переменных в дифференциальных выражениях. Непрерывность. Дифференцируемость. Огибающие. Смысл дифференциального уравнения и его решения.
Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка. Число различных решений уравнения первого порядка. Геометрическая интерпретация дифференциальных уравнений второго порядка. Число решений уравнений порядка выше первого. Граничные условия. Доказательство существования. Источники дифференциальных уравнений.
Источники дифференциальных уравнений. Образование дифференциального уравнения из его примитивной. Получение дифференциальных уравнений из физических законов. Пример 1: закон действия масс. Пример 2: кривая провеса гибкой нерастяжимой нити. Пример 3: течение тока в электрической цепи. Пример 4: распространение тепла. Пример 5: безвихревое течение идеальной жидкости. Пример 6: уравнение распределения потенциала в пустотной трубке. Методы решения уравнений первого порядка.
Случай, когда не входит зависимое переменное. Случай, когда не входит независимое переменное. Разделение переменных. Численное интегрирование. Интегрирование при помощи рядов. Графическое интегрирование. Интеграф. Разделение переменных с помощью подстановки; однородное уравнение. Точные дифференциалы. Линейные уравнения. Уравнения, приводимые к линейным. Уравнения, разрешимые относительно икс или относительно игрек. Уравнения второго порядка, сводимые к уравнениям первого порядка. Особые решения.
Определение особого решения. Геометрические места точек заострения и точек прикосновения. Нахождение особых решений. Практические приложения дифференциальных уравнений.
Введение. Распространение теплоты в стержне. Поток теплоты внутри шарового слоя. Кривая постоянной кривизны. Траектории. Свободно падающее тело. Изгиб балки. Изгиб строительных колонн. Колебание струны. Колебание мембраны. Поверхность вращения наименьшей площади. Брахистохрона. Геодезические линии на кривой поверхности. Задача Дидоны. Задача на вероятности. Линейные уравнения высших порядков.
Вводные замечания. Принцип наложения. Принцип разложения. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами; показательные функции как решения. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами; решения в тригонометрических функциях. Уравнения электрических цепей; "переходное" и "устойчивое" состояния в простом контуре. Уравнения для цепи; кажущееся сопротивление. Метод операторов; разложение их на множители. Операторный метод; применение разложения на множители к решению линейных уравнений. Операторный метод; применение простейших дробей к решению линейных уравнений. Кратные корни. Исключительный случай решения, зависящего от показательной функции. Особенность формул (186) и (195). Неинтегрируемые функции. Системы линейных уравнений.
Общая идея метода решения систем линейных уравнений. Второй принцип наложения. Соотношение между одним линейным уравнением и системой уравнений. Доказательство правильности общего операторного решения. Решение системы дифференциальных уравнений при граничном условии, что все переменные обращаются в нуль в одной и той же точке. Частный случай f(x) = e^(px). Теорема Хевисайда. Переходное и установившееся состояние в электрической цепи. Решение задач на установившееся состояние. Другие типы уравнений высших порядков.
Введение. Искусственный прием. Решение с помощью рядов. Опасности, связанные с употреблением рядов. Уравнение Бесселя. Понижение порядка линейного уравнения.