Учебное пособие. Оренбург, ГОУ ОГУ, 2004, 114 стр.
В данном учебном пособии рассмотрен один из разделов теории рядов:
"Числовые ряды". Наряду с полным изложением теории (основные
понятия, признаки сходимости числовых рядов), по каждой теме
приводятся образцы решения типовых примеров. Даются задания,
которые могут быть использованы для самостоятельной работы, а также
при составлении контрольных вариантов. Пособие предназначено для
студентов экономических и инженерно-технических специальностей всех
форм обучения. Подробнее чем обычно, рассмотрены способы
суммирования "n" первых членов ряда и вычисления сумм числовых
рядов. Большое внимание уделено признакам сходимости Дирихле и
Абеля. В пособии приведены таблицы, содержащие много полезной
информации для исследование числовых рядов на сходимость. Разобрав
приведенные к каждой теме примеры, студент откроит для себя ряд
(технических) приемов их решения. В пособии слито воедино изложение
теории, руководство по решению примеров, сборник задач и справочный
материал необходимый для их решения.
Учебное пособие предназначены для студентов экономических и инженерно-технических специальностей всех форм обучения. Способы нахождения суммы n первых членов последовательности, как функции от n.
Элементарные случаи суммирования.
Суммирование с помощью тождеств и методом математической индукции.
Суммирование с помощью преобразования Абеля.
Суммирование с помощью многочленов Бернулли.
Числа Бернулли.
Многочлены Бернулли.
Пример суммирования с помощью многочленов Бернулли.
Суммирование с помощью формулы Эйлера-Маклорена c остаточным членом.
Вычисление суммы числовых рядов.
Вычисление суммы ряда, общий член аn которого можно привести к виду f(n)–f(n+1).
Вычисление суммы ряда, общий член которого можно привести к виду f(n)–f(n+m), m 1 и m e N.
Нахождение суммы ряда, общий член которого содержит члены арифметической или геометрической прогрессии.
Действия с рядами. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости ряда.
Действия с числовыми рядами.
Свойства сходящихся рядов.
Необходимый признак сходимости ряда.
Достаточный признак расходимости числовых рядов.
Виды числовых рядов.
Сходимость произвольных рядов.
Критерий Коши сходимости произвольных числовых рядов.
Достаточные признаки сходимости знакопеременных рядов.
Признак Дирихле.
Признак Лейбница для знакочередующихся рядов.
Признак Абеля для знакопеременных рядов.
Достаточные признаки сходимости положительных рядов.
Критерий сходимости положительных рядов.
Признак сравнения.
Расширение множества сходящихся рядов с помощью утверждения 3 и следствий из него.
Исследования положительных рядов на сходимость с помощью следствий из утверждения 3.
Расширение множества расходящихся положительных рядов.
Таблица неравенств, используемых при исследовании рядов на сходимость с помощью признака сравнения.
Примеры исследования сходимости положительных рядов с помощью признака сравнения.
Исследование положительных рядов на сходимость с помощью предельного признака сравнения.
Предельный признак сравнения.
Метод замены бесконечно малых последовательностей эквивалентными.
Метод замены алгебраической суммы бесконечно малых последовательностей её главной частью.
Метод замены алгебраической суммы бесконечно больших последовательностей эквивалентными бесконечно большими последовательностями.
Интегральный признак сходимости Коши.
Терема (интегральный признак сходимости Коши).
Сочетание интегрального признака Коши с признаками сравнения.
Эквивалентность интегрального признака признаку сравнения Коши.
Признак Даламбера сходимости положительных рядов.
Признак Даламбера в предельной форме.
Примеры исследования рядов на сходимость с помощью признака Даламбера.
Сочетание признака Даламбера с признаками сравнения.
Радикальный признак Коши.
Примеры исследования рядов на сходимость с помощью радикального признака Коши.
Сочетание радикального признака Коши с признаками сравнения.
Сравнения предельных признаков Даламбера и радикального Коши.
Исследование на сходимость отрицательных, неотрицательных и неположительных рядов.
Знакопеременные ряды.
Знакочередующиеся ряды.
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов.
Абсолютная сходимость знакопеременных рядов.
Условная сходимость знакопеременных рядов.
Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.
Учебное пособие предназначены для студентов экономических и инженерно-технических специальностей всех форм обучения. Способы нахождения суммы n первых членов последовательности, как функции от n.
Элементарные случаи суммирования.
Суммирование с помощью тождеств и методом математической индукции.
Суммирование с помощью преобразования Абеля.
Суммирование с помощью многочленов Бернулли.
Числа Бернулли.
Многочлены Бернулли.
Пример суммирования с помощью многочленов Бернулли.
Суммирование с помощью формулы Эйлера-Маклорена c остаточным членом.
Вычисление суммы числовых рядов.
Вычисление суммы ряда, общий член аn которого можно привести к виду f(n)–f(n+1).
Вычисление суммы ряда, общий член которого можно привести к виду f(n)–f(n+m), m 1 и m e N.
Нахождение суммы ряда, общий член которого содержит члены арифметической или геометрической прогрессии.
Действия с рядами. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости ряда.
Действия с числовыми рядами.
Свойства сходящихся рядов.
Необходимый признак сходимости ряда.
Достаточный признак расходимости числовых рядов.
Виды числовых рядов.
Сходимость произвольных рядов.
Критерий Коши сходимости произвольных числовых рядов.
Достаточные признаки сходимости знакопеременных рядов.
Признак Дирихле.
Признак Лейбница для знакочередующихся рядов.
Признак Абеля для знакопеременных рядов.
Достаточные признаки сходимости положительных рядов.
Критерий сходимости положительных рядов.
Признак сравнения.
Расширение множества сходящихся рядов с помощью утверждения 3 и следствий из него.
Исследования положительных рядов на сходимость с помощью следствий из утверждения 3.
Расширение множества расходящихся положительных рядов.
Таблица неравенств, используемых при исследовании рядов на сходимость с помощью признака сравнения.
Примеры исследования сходимости положительных рядов с помощью признака сравнения.
Исследование положительных рядов на сходимость с помощью предельного признака сравнения.
Предельный признак сравнения.
Метод замены бесконечно малых последовательностей эквивалентными.
Метод замены алгебраической суммы бесконечно малых последовательностей её главной частью.
Метод замены алгебраической суммы бесконечно больших последовательностей эквивалентными бесконечно большими последовательностями.
Интегральный признак сходимости Коши.
Терема (интегральный признак сходимости Коши).
Сочетание интегрального признака Коши с признаками сравнения.
Эквивалентность интегрального признака признаку сравнения Коши.
Признак Даламбера сходимости положительных рядов.
Признак Даламбера в предельной форме.
Примеры исследования рядов на сходимость с помощью признака Даламбера.
Сочетание признака Даламбера с признаками сравнения.
Радикальный признак Коши.
Примеры исследования рядов на сходимость с помощью радикального признака Коши.
Сочетание радикального признака Коши с признаками сравнения.
Сравнения предельных признаков Даламбера и радикального Коши.
Исследование на сходимость отрицательных, неотрицательных и неположительных рядов.
Знакопеременные ряды.
Знакочередующиеся ряды.
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов.
Абсолютная сходимость знакопеременных рядов.
Условная сходимость знакопеременных рядов.
Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.