М.: МЦНМО, 2000. - 432 с. - ISBN 5-900916-42-1 (в пер.).
Монография находится на стыке нескольких классических разделов
математики: теории особенностей, топологии, алгебраической и
интегральной геометрии, комплексного анализа, уравнений
математической физики. Она содержит введение в теорию
Пикара-Лефшеца и локальную теорию особенностей, которые управляют
качественным поведением функций, заданных интегральными
преобразованиями. Приводятся оригинальные приложения к проблемам
интегральной геометрии, теории гиперболических операторов в частных
производных, теории потенциала и обобщениям гипергеометрических
функций.
В частности: для функций объема доказаны многомерные обобщения теоремы Ньютона о неинтегрируемости плоских овалов; для гиперболических уравнений в частных производных доказана гипотеза Атии-Ботта-Гординга об эквивалентности резкости волновых фронтов и локального топологического условия Петровского; в теории потенциала доказана алгебраичность потенциала гиперболической гиперповерхности степени d в R^n при d=2 или n=2 и отсутствие такой алгебраичности при других d, n; для общих гипергеометрических функций Гельфанда-Аомото указано число независимых решений гипергеометрических уравнений.
Для студентов, аспирантов и научных работников, специализирующихся в области комплексного анализа, уравнений математической физики, теории особенностей, алгебраической геометрии, интегральной геометрии и топологии. Предисловие.
Введение.
Теория Пикара-Лефшеца-Фама и теории особенностей.
Связность Гаусса-Манина в гомологических расслоениях. Операторы монодромии и вариации.
Формула Пикара-Лефшеца. Трубочный оператор Лере.
Локальная монодромия изолированных особенностей голоморфных функций.
Форма пересечения и комплексное сопряжение в исчезающих гомологиях вещественных особенностей функций двух переменных.
Классификация вещественных и комплексных особенностей функций.
Накрытие Ляшко-Лоэйенги и его обобщения.
Дополнения к дискриминантам вещественных простых особенностей (по Э. Лоэйенге).
Стратификации. Полуалгебраические, полуаналитические и субаналитические множества.
Формулы Фама.
Гомологии локальных систем. Подкрученные формулы Пикара-Лефшеца.
Особенности полных пересечений и их локальные группы монодромии.
Стратифицированная теория Пикара-Лефшеца и монодромия гиперплоских сечений.
Монодромия гиперплоских сечений.
Простейшие факты о гомологиях Горески-Макферсона.
Стратифицированная теория Пикара-Лефшеца.
Стратифицированная теория Пикара-Лефшеца с подкрученными коэффициентами.
Теорема Ньютона о неинтегрируемости овалов.
Постановка задач и основные результаты.
Сведение задачи об интегрируемости к обобщенной теории Пикара-Лефшеца.
Элемент "шапочка".
Ветвление контуров интегрирования вблизи неособых точек. Производящие функции и производящие семейства гладких гиперповерхностей.
Препятствия к интегрируемости, возникающие из ребер возврата.
Препятствия к интегрируемости, возникающие вблизи асимптотических гиперплоскостей.
Несколько открытых проблем.
Ньютоновские потенциалы гиперболических слоев.
Теоремы Ньютона и Айвори.
Потенциалы гиперболических слоев полиномиальны в области гиперболичности (по Арнольду и Гивенталю).
Доказательство основных теорем.
Описание малой группы монодромии.
Доказательство основной теоремы.
Лакуны и локальное условие Петровского для гиперболических дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами.
Гиперболические полиномы.
Гиперболические операторы и гиперболические полиномы. Резкость, диффузия и лакуны.
Производящие функции и производящие семейства волновых фронтов для гиперболических операторов с постоянными коэффициентами. Классификация особых точек волновых фронтов.
Локальные лакуны вблизи неособых точек фронтов и вблизи особенностей А2, А3 (по Давыдовой, Боровикову и Гордингу).
Циклы Петровского и Лере. Формула Герглотца-Петровского-Лере и условие Петровского для глобальных лакун.
Локальное условие Петровского и локальный цикл Петровского. Локальное условие Петровского влечет резкость.
Резкость влечет локальное условие Петровского вблизи точек конечного типа волновых фронтов строго гиперболических операторов.
Локальное условие Петровского может быть стабильнее, чем резкость вблизи особых точек не конечного типа.
Нормальные формы нерезкости вблизи особенностей волновых фронтов (по А. Н. Варченко).
Несколько задач.
Вычисление локальных циклов Петровского и перечисление локальных лакун вблизи вещественных особенностей.
Основные теоремы.
Локальные лакуны вблизи особенностей из классифицированных таблиц.
Вычисление четного локального класса Петровского.
Вычисление нечеткого локального класса Петровского.
Стабилизация локальных классов Петровского. Доказательство теоремы.
Локальные лакуны вблизи простых особенностей.
Геометрический критерий резкости вблизи простых особенностей.
Программа для перечисления топологически различных морсификаций вещественной особенности.
Более подробное описание алгоритма.
Обобщенные гипергеометрические функции, их ветвление, особенности и резонансы.
Введение.
Доказательство теоремы мераморфности.
Гипергеометрическая функция и ее одномерные обобщения.
Гомологии дополнения к набору плоскостей. Основные страты.
Число независимых гипергеометрических интегралов на основных стратах.
Приложение: программа для поиска лакун и перечисления морсификаций особенностей вещественных функций.
Список литературы.
Предметный указатель.
В частности: для функций объема доказаны многомерные обобщения теоремы Ньютона о неинтегрируемости плоских овалов; для гиперболических уравнений в частных производных доказана гипотеза Атии-Ботта-Гординга об эквивалентности резкости волновых фронтов и локального топологического условия Петровского; в теории потенциала доказана алгебраичность потенциала гиперболической гиперповерхности степени d в R^n при d=2 или n=2 и отсутствие такой алгебраичности при других d, n; для общих гипергеометрических функций Гельфанда-Аомото указано число независимых решений гипергеометрических уравнений.
Для студентов, аспирантов и научных работников, специализирующихся в области комплексного анализа, уравнений математической физики, теории особенностей, алгебраической геометрии, интегральной геометрии и топологии. Предисловие.
Введение.
Теория Пикара-Лефшеца-Фама и теории особенностей.
Связность Гаусса-Манина в гомологических расслоениях. Операторы монодромии и вариации.
Формула Пикара-Лефшеца. Трубочный оператор Лере.
Локальная монодромия изолированных особенностей голоморфных функций.
Форма пересечения и комплексное сопряжение в исчезающих гомологиях вещественных особенностей функций двух переменных.
Классификация вещественных и комплексных особенностей функций.
Накрытие Ляшко-Лоэйенги и его обобщения.
Дополнения к дискриминантам вещественных простых особенностей (по Э. Лоэйенге).
Стратификации. Полуалгебраические, полуаналитические и субаналитические множества.
Формулы Фама.
Гомологии локальных систем. Подкрученные формулы Пикара-Лефшеца.
Особенности полных пересечений и их локальные группы монодромии.
Стратифицированная теория Пикара-Лефшеца и монодромия гиперплоских сечений.
Монодромия гиперплоских сечений.
Простейшие факты о гомологиях Горески-Макферсона.
Стратифицированная теория Пикара-Лефшеца.
Стратифицированная теория Пикара-Лефшеца с подкрученными коэффициентами.
Теорема Ньютона о неинтегрируемости овалов.
Постановка задач и основные результаты.
Сведение задачи об интегрируемости к обобщенной теории Пикара-Лефшеца.
Элемент "шапочка".
Ветвление контуров интегрирования вблизи неособых точек. Производящие функции и производящие семейства гладких гиперповерхностей.
Препятствия к интегрируемости, возникающие из ребер возврата.
Препятствия к интегрируемости, возникающие вблизи асимптотических гиперплоскостей.
Несколько открытых проблем.
Ньютоновские потенциалы гиперболических слоев.
Теоремы Ньютона и Айвори.
Потенциалы гиперболических слоев полиномиальны в области гиперболичности (по Арнольду и Гивенталю).
Доказательство основных теорем.
Описание малой группы монодромии.
Доказательство основной теоремы.
Лакуны и локальное условие Петровского для гиперболических дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами.
Гиперболические полиномы.
Гиперболические операторы и гиперболические полиномы. Резкость, диффузия и лакуны.
Производящие функции и производящие семейства волновых фронтов для гиперболических операторов с постоянными коэффициентами. Классификация особых точек волновых фронтов.
Локальные лакуны вблизи неособых точек фронтов и вблизи особенностей А2, А3 (по Давыдовой, Боровикову и Гордингу).
Циклы Петровского и Лере. Формула Герглотца-Петровского-Лере и условие Петровского для глобальных лакун.
Локальное условие Петровского и локальный цикл Петровского. Локальное условие Петровского влечет резкость.
Резкость влечет локальное условие Петровского вблизи точек конечного типа волновых фронтов строго гиперболических операторов.
Локальное условие Петровского может быть стабильнее, чем резкость вблизи особых точек не конечного типа.
Нормальные формы нерезкости вблизи особенностей волновых фронтов (по А. Н. Варченко).
Несколько задач.
Вычисление локальных циклов Петровского и перечисление локальных лакун вблизи вещественных особенностей.
Основные теоремы.
Локальные лакуны вблизи особенностей из классифицированных таблиц.
Вычисление четного локального класса Петровского.
Вычисление нечеткого локального класса Петровского.
Стабилизация локальных классов Петровского. Доказательство теоремы.
Локальные лакуны вблизи простых особенностей.
Геометрический критерий резкости вблизи простых особенностей.
Программа для перечисления топологически различных морсификаций вещественной особенности.
Более подробное описание алгоритма.
Обобщенные гипергеометрические функции, их ветвление, особенности и резонансы.
Введение.
Доказательство теоремы мераморфности.
Гипергеометрическая функция и ее одномерные обобщения.
Гомологии дополнения к набору плоскостей. Основные страты.
Число независимых гипергеометрических интегралов на основных стратах.
Приложение: программа для поиска лакун и перечисления морсификаций особенностей вещественных функций.
Список литературы.
Предметный указатель.