Алексеев Д.В. Конспекты по общему курсу математики
Подождите немного. Документ загружается.
Дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
27
Последнее определение полностью согласуется с определением потенциального поля,
данным в предыдущем разделе. Связь обоих определений потенциального поля будет дана
ниже, после определения производных второго порядка от скалярных и векторных полей.
Дифференциальные операции второго порядка и лапласиан
Дифференцирование скалярного поля порождает потенциальное векторное поле
)()( rrA
.
От полученного потенциального поля по описанным выше стандартным правилам можно
вычислить дивергенцию и ротор.
Вычисление дивергенции дает следующую симметричную комбинацию одноименных ча-
стных производных второго порядка от потенциала
2
2
2
2
2
2
)()()()()()(
))(div(grad
z
r
y
r
x
r
z
r
zy
r
yx
r
x
r
.
Для краткой записи этой часто встречающейся комбинации частных производных исполь-
зуют дифференциальный оператор, который можно представить как скалярное произведе-
ние двух набла-операторов
2
2
2
2
2
2
zyx
.
Этот оператор называется оператором Лапласа, или просто лапласианом. При помощи на-
бла-оператора и лапласиана дивергенция от градиента потенциала записывается в виде
)()())(div(grad rrr
.
Когда рассматриваемое поле является плоским, в рассмотрение вводят двумерный лапла-
сиан, определяемый как скалярное произведение двумерных набла-операторов
2
2
2
2
222
yx
.
Вычисление ротора от градиента скалярного потенциала дает
yxyx
k
xzzx
j
yzzy
i
zyx
zyx
kji
222222
.
Входящие в полученную формулу частные производные в круглых скобках равны, так как
они отличаются только порядков дифференцирования
yxyxxzzxyzzy
222222
;;
.
Следовательно, ротор градиента обращается в нуль
0)())(rot(grad rr
.
Это тождество аналогично условию обращения в нуль векторного произведения коллине-
арных векторов. Оно также дает согласование двух данных выше определений потенци-
ального векторного поля.
Дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
28
Вторые производные от векторного поля вычисляются аналогичным образом, по опреде-
лению дивергенции ротора и градиента, но вычисления носят более громоздкий характер.
От дивергенции векторного поля, которая является скалярным полем, можно вычислить
только градиент, - новое векторное поле
))(())(grad(div rArA
.
Это вычисление может быть легко выполнено в каждом конкретном случае, но полезных
тождеств не дает и соответствующая явная формула имеет очень громоздкий вид.
От ротора векторного поля можно вычислить дивергенцию и ротор
))(())(rot(rot)),(())(div(rot rArArArA
.
Проще вычисляется дивергенция ротора. Результат вычисления можно предсказать зара-
нее, так как формула для дивергенции ротора имеет структуру «смешанного произведения
векторов», содержащего два одинаковых сомножителя. Следовательно, в результате этого
вычисления должен получиться нуль. Однако точная причина обращения дивергенции ро-
тора в нуль состоит в равенстве смешанных частных производных от координатных
функций векторного поля
.0
22
22
22
yz
A
zy
A
zx
A
xz
A
xy
A
yx
A
y
A
x
A
zz
A
x
A
yz
A
y
A
x
xx
yy
zz
x
y
x
z
y
z
Следовательно, мы получили тождество, выполняющееся для любого векторного поля
0))(())(div(rot rArA
.
Вычисление ротора от ротора носит более громоздкий характер, однако, результат вычис-
ления записывается в виде простой комбинации, которую нетрудно запомнить
)())(grad(div))(())(rot (rot rArArArA
.
Предлагаем читателю в качестве упражнения по дифференцированию полей доказать дан-
ное тождество при помощи прямого вычисления производных с последующей их группи-
ровкой. Сделаем лишь замечание по поводу лапласиана от векторного поля. Он вычисля-
ется по правилу
kzyxAjzyxAizyxArA
zyx
),,(),,(),,()(
,
то есть лапласиан действует на каждую координатную функцию векторного поля.
В заключении отметим, что перечисленные выше тождества справедливы и для плоских
векторных полей
0)(
22
r
,
0))((
22
rA
,
)())(())((
22222
rArArA
.
Это можно проверить, выписывая полученные выше формулы для случая плоского поля.
Интегрирование векторных полей
Циркуляция векторного поля
Циркуляция векторного поля
)(rA
вдоль заданной линии
L
– это интегральная операция,
сопоставляющая векторному полю и линии число. Интеграл, определяющий циркуляцию,
Дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
29
строится следующим образом. Зададим линию, вдоль которой вычисляется циркуляция,
при помощи векторной функции и найдем скорость линии
};)()()()({: btaktzjtyitxtRL
,
ktzjtyitxtV
)()()()(
.
Далее найдем в каждой точке линии скалярное произведение
)())(( tVtRA
и проинтегри-
руем его вдоль линии, то есть по параметру,
b
a
zyx
b
aL
dttztztytxAtytztytxAtxtztytxA
dttVtRAldrA
))())(),(),(()())(),(),(()())(),(),(((
)())(()(
.
Выписанная формула не только является определением циркуляции, но и дает способ ее
непосредственного вычисления через определенный интеграл.
Смысл интеграла циркуляции проще всего понять из задачи о вычислении работы силово-
го поля, совершаемой при перемещении точки вдоль некоторой линии. Если
ld
- элемен-
тарное перемещение вдоль линии, а
)(rF
действующая на этом элементарном перемеще-
нии сила, то элементарный вклад в работу дается скалярным произведением
ldrF
)(
, а
полная работа, - суммированием всех элементарных вкладов вдоль рассматриваемой тра-
ектории, то есть интегралом, определяющим циркуляцию
L
kk
ldrFAldrFA
)(,)(
.
Важным частным случаем циркуляции векторного поля является циркуляция потенциаль-
ного векторного поля, интеграл от градиента скалярного поля:
LL
ldrldrArrA
)()(),()(
.
Вычисление циркуляции от градиента связано с задачей о восстановлении потенциала по
координатным функциям потенциального векторного поля, и будет подробно рассмотрена
ниже.
Когда линия, вдоль которой вычисляется циркуляция, является замкнутой, используют
следующее обозначение
L
ldrA
)(
Поток векторного поля
Поток векторного поля, это интегральная операция, сопоставляющая векторному полю и
ориентируемой поверхности число.
Поверхность называется ориентируемой, если в каждой ее точке можно задать единичный
вектор, перпендикулярный поверхности и этот вектор не изменяет свое направления на
противоположное при обходе по любому лежащему на рассматриваемой поверхности
замкнутому контуру. Примером не ориентируемой поверхности является лента Мебиуса.
Главной отличительной чертой ориентируемых поверхностей является наличие у них двух
сторон. Этот факт может быть выражен следующим образом: двигаясь по замкнутому
контуру по двусторонней поверхности нельзя попасть с одной стороны поверхности на
противоположную ее сторону.
Дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
30
Множество единичных векторов на ориентируемой поверхности можно рассматривать как
векторное поле, заданное на этой поверхности. Это векторное поле, называемое полем
нормали, может быть вычислено следующим образом. Пусть поверхность задается фор-
мулой
0),,( zyxF
. Тогда поле единичной нормали вычисляется по формуле
|),,(grad|
),,(grad
),,(
zyxF
zyxF
zyxn
.
Поток векторного поля строится следующим образом. Берем на рассматриваемой поверх-
ности точку
r
и вычисляем в этой точке значение векторного поля
)(
rA
и нормали
)(
rn
. Затем находим скалярное произведение
)()(
rnrA
и интегрируем его по поверхности
drnrAdrA )()()(
.
Полученная формула дает определение потока векторного поля и формулу для его вычис-
ления через поверхностный интеграл от скалярной функции. При этом элемент поверхно-
сти может быть задан различным образом, в зависимости от способа задания поверхности.
Например, в частном случае, когда поверхность однозначно проецируется на координат-
ную плоскость
);( yx
, то есть поверхность можно рассматривать как график некоторой
функции двух переменных
zyxfzyxF ),(),,(
, поверхностный интеграл сводится к
следующему двойному интегралу
D
zyx
dxdyyxfyxA
y
yxf
yxfyxA
x
yxf
yxfyxA ))},(,,(
),(
)),(,,(
),(
)),(,,({
.
Этот интеграл получается непосредственно из формулы, определяющей поток векторного
поля при частном виде формулы, задающей поверхность
0),( zyxf
, так как в этом
случае
kj
y
f
i
x
f
F
grad
,
dxdy
y
f
x
f
d
2
2
1
.
Для применения этой формулы к произвольной поверхности необходимо разбить рас-
сматриваемую поверхность на части, каждую из которых можно представить как график
некоторой функции двух переменных. Далее следует вычислить поток поля через каждую
часть поверхности по приведенной формуле и просуммировать полученные потоки. Заме-
тим, что при вычислении отдельных вкладов в полный поток можно проецировать рас-
сматриваемую часть поверхности на любую из координатных плоскостей, выбираемую из
соображений удобства.
Смысл понятия потока векторного поля лучше всего уяснить при помощи понятий гидро-
динамики несжимаемой жидкости. Если рассматривать векторное поле скоростей несжи-
маемой жидкости
)(rV
, то элементарный вклад в поток поля
drV )(
, - это количество
жидкости, протекающей через элемент поверхности в единицу времени, а сам поток, -
суммарное количество жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность.
Если поверхность, через которую вычисляют поток, является замкнутой, используют сле-
дующее обозначение
drA )(
.
Теорема Остроградского-Гаусса
Дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
31
Теорема Остроградского-Гаусса связывает поток векторного поля через замкнутую по-
верхность с интегралом от дивергенции векторного поля по ограниченному рассматри-
ваемой поверхностью объему.
Формулировка теоремы. Пусть гладкое векторное поле определено всюду внутри и на
границе объема пространства, ограниченного замкнутой поверхностью. Тогда поток поля
через границу объема равен интегралу по объему от дивергенции поля
V
dVrAdrA )(div)(
.
Замечание к формулировке теоремы.
Принципиально важным в формулировке теоремы является требование о том, что поле
определено всюду внутри ограниченного замкнутой поверхностью объема. Если в объеме
есть точки, в которых поле не определено применение теоремы Остроградского-Гаусса
может привести к противоречиям.
Доказательство теоремы для элементарного куба.
Рассмотрим элементарный куб со сторонами, параллельными координатным плоскостям,
и длинами ребер
dzdydx ,,
. Будем вычислять поток путем суммирования по парам проти-
волежащих граней куба. Например, для потока через грани, перпендикулярные оси абс-
цисс, получаем
dxdydz
x
zyxA
dydzzydxxAzyxA
x
xx
),,(
)},,(),,({
.
Эта формула следует из того, что на противоположных гранях куба нормали направлены в
противоположные стороны, на левой грани нормаль равна
i
, а на противоположной
грани
i
. Аналогично на двух других парах граней получаем
dxdydz
y
zyxA
dzdxzdyyxAzyxA
y
yy
),,(
)},,(),,({
dxdydz
z
zyxA
dxdydzzyxAzyxA
z
zz
),,(
)},,(),,({
.
Суммируя потоки, получаем формулу для потока поля из элементарного куба
dVrAdxdydzrAS )(div)(div
.
Полученную формулу можно назвать дифференциальной формой теоремы Остроградско-
го-Гаусса.
Доказательство теоремы для произвольной пространственной области с гладкой границей.
Покроем рассматриваемую пространственную область соприкасающимися элементарны-
ми кубами, запишем для каждого куба теорему Остроградского-Гаусса.
dVrAS
kk
)(div
Затем проведем суммирование по всем элементарным кубам. Суммирование правых час-
тей приводит к интегральной сумме, определяющей интеграл по объему от дивергенции
поля
k
k
dVrA )(div
.
Дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
32
При суммировании потоков поля по всем элементарным кубам возникают две качественно
различных ситуации
Элементарный куб находится полностью внутри рассматриваемого объема.
Граничная поверхность пересекает элементарный куб.
В первом случае суммарный поток поля из рассматриваемого элементарного куба полно-
стью нейтрализуется потоками из соседних элементарных кубов, так как на общей грани
двух соседних элементарных кубов поле одинаково, а нормали имеют противоположное
направление.
Во втором случае поток поля состоит из двух составляющих: потока, направленного
внутрь рассматриваемого объема, и потока, направленного наружу. При этом, как и в пре-
дыдущем случае, поток поля, направленный внутрь нейтрализуется потоками из примы-
кающих элементарных кубов. Поэтому при суммировании остается только поток, направ-
ленный за пределы рассматриваемого объема. Доказательство теоремы завершается стан-
дартным предельным переходом, - покрытием рассматриваемого объема элементарными
кубами со все меньшей длиной ребер.
Теорема Грина-Стокса
Теорема Грина-Стокса связывает циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру с
потоком ротора этого поля через поверхность, ограниченную рассматриваемым контуром.
Формулировка теоремы. Пусть гладкое векторное поле определено в каждой точке замк-
нутой линии и на каждой точке некоторой поверхности, для которой рассматриваемая ли-
ния является границей. Если ориентация нормали согласована с направлением обхода
границы рассматриваемой поверхности правилом правого винта, то циркуляция поля
вдоль границы равна потоку ротора поля через рассматриваемую поверхность
L
drAldrA
L
L
)(rot))(
.
Замечания к формулировке теоремы.
Из теоремы следует, что поток ротора поля через поверхность зависит только от границы
поверхности, но не от самой поверхности. То есть поток ротора одинаков для всех по-
верхностей имеющих одну и туже границу, и которые могут быть непрерывно деформи-
рованы друг в друга.
Для выполнения теоремы принципиально важно, чтобы поле было определено в каждой
рассматриваемой точке пространства. Если поле не определено на некоторой линии, а
циркуляция вычисляется вдоль контура, проходящего вокруг этой линии, использование
теоремы может привести к ошибке. В этом случае необходимо прямое вычисление цирку-
ляции.
Доказательство теоремы для элементарного квадрата.
Вначале докажем теорему для элементарного квадрата, стороны которого параллельны
координатным осям
yx,
. Циркуляция поля вдоль этого квадрата записывается в виде
).()(rot))((rot
),,(
),,(
),,(),,(),,(),,(
dyjdxirAdxdyrAdxdy
y
zyxA
dxdy
x
zyxA
dyzyxAdxzdyyxAdyzydxxAdxzyxA
z
x
y
yxyx
Полученная формула связывает циркуляцию поля вдоль элементарного квадрата с пото-
ком ротора поля через этот квадрат. Для элементарного квадрата произвольной ориента-
Дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
33
ции доказательство просто более громоздко. Пусть стороны квадрата заданы парой векто-
ров
bdad
,
. Тогда циркуляция вдоль элементарного квадрата записывается в виде
).()(rot))(grad())(grad(
)()()()(
bdadrAadbdrAbdadrA
bdrAadbdrAbdadrAadrA
Проверка последнего равенства прямым вычислением является хорошим упражнением по
дифференцированию полей.
Поскольку модуль векторное произведение
bdad
равно произведению площади квадра-
та на единичную нормаль, окончательно получаем формулу
drAC )(rot
.
Полученную формулу можно назвать теоремой Грина-Стокса в дифференциальной форме.
Доказательство теоремы для произвольного замкнутого контура.
Покроем рассматриваемую поверхность элементарными квадратами, для каждого из ко-
торых применима теорема Грина-Стокса. Вычислим циркуляцию по каждому элементар-
ному квадрату и проведем суммирование по всем элементарным квадратам.
k
kk
k
k
drAC
)(rot
Правая часть этой формулы является интегральной суммой для потока ротора поля через
поверхность
L
drAdrA
k
kk
)(rot)(rot
.
Для подсчета суммарной циркуляции, разделим все элементарные квадраты на два типа.
Квадраты лежащие внутри поверхности.
Квадраты, пересекаемые границей.
Для элементарных квадратов первого типа вклад в суммарную циркуляцию полностью
компенсируется циркуляциями поля по соседним квадратам. Это происходит потому, что
значения поля на общей границе одинаковы, а касательные к контуру векторы направлены
в соседних квадратах в противоположные стороны. Для квадратов второго типа вклады в
циркуляцию по сторонам, не касающимся других элементарных квадратов, остаются не-
компенсированными и формируют интегральную сумму для циркуляции векторного поля
по всей границе. Для завершения доказательства остается перейти к пределу путем по-
крытия рассматриваемой поверхности элементарными квадратами с длиной стороны
стремящейся к нулю.
Вычисление скалярного потенциала векторного поля
Пусть векторное поле
)(rA
определено в каждой точке некоторой пространственной об-
ласти и пусть всюду в этой области для него выполняется условие
0)(rot rA
, то есть по-
ле является потенциальным:
)()( rrA
. Тогда согласно теореме Грина – Стокса, для
любой замкнутой линии лежащей в рассматриваемой области пространства, выполняется
условие
0)(rot)()(
c
drldrldrA
CC
.
Дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
34
Возьмем в области определения поля две произвольные точки. Тогда из последней фор-
мулы следует, что интегралы от градиента потенциала вдоль любой линии, соединяющей
выбранные точки, будут равны
0)()()(
21
CLL
ldrldrldr
.
Следовательно, интеграл от градиента потенциала вдоль любой линии зависит только от
начальной и конечной точки линии
)()()(
12
rrldr
L
.
Полученная формула является аналогом формулы Ньютона – Лейбница для потенциаль-
ного векторного поля.
Эту формулу можно непосредственно использовать для вычисления потенциала по коор-
динатным функциям потенциального поля
)(rE
. Для этого опорную точку пространства с
известным значением потенциала связывают с произвольной точкой пространства удоб-
ной линией
)(tr
и напрямую вычисляют интеграл
)()(,)())(()()(
0
00
trtVdttVtrEldrEr
t
tL
.
Часто в качестве линии интегрирования выбирают ломаную, составленную из отрезков,
параллельных осям координат, однако такой выбор не всегда является наилучшим.
Пример. Найти потенциал электрического поля точечного заряда
3
0
0
||
)(
rr
rr
qrE
.
Положим потенциал на бесконечном удалении от заряда равным нулю, и будем интегри-
ровать вдоль линии
tVrr
0
. Тогда
||
||||||
)(
0
2
3
rr
q
tV
q
dtt
V
q
dtV
tV
tV
qr
tt
.
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф Д. В. Алексеева
Основные элементарные функции
(справочные сведения и примеры исследования)
Степени с целыми и дробными показателями
Степени с целым показателем
Степени с натуральным показателем
n
xy
являются простейшим примером непрерыв-
ных функций. Непрерывность проще всего установить из дифференцируемости, а диффе-
ренцируемость легко получить из формулы бинома Ньютона
1
21
)( xOxnxxxx
nnn
,
1
)(
nn
nxx
.
Кроме того, формула бинома Ньютона сразу дает разложение степенной функции по фор-
муле Тейлора вблизи любой точки
ax
nnn
n
n
n
n
n
nn
xxaCxaCxaCaxa )()()()()(
1122211
.
Отсюда сразу следуют и формулы для производных высших порядков в точке
ax
.,0
;,!
)(
)(
nk
nkaCk
a
knk
n
kn
Степени с натуральным показателем является бесконечно малыми функциями вблизи
0x
и бесконечно большими функциями при больших значениях переменной
x
.
При этом их порядок малости и порядок роста равны показателю степени, а знак функции
зависит от знака переменной и четности показателя степени.
Степени с отрицательным целым показателем
nn
xxy /1
определены при значениях
переменной
),0()0,( x
, являются бесконечно большими функциями вблизи
0x
и бесконечно малыми функциями при больших значениях переменной, а их порядок роста
и порядок малости равен
n
.
Формула дифференцирования степени
n
xy
получается из формулы дифференцирова-
ния степени с натуральным показателем и формул дифференцирования частного или
сложной функции
12
)/()()/1()(
nnnnn
nxxxxx
.
Отсюда видно, что производная является степенью с отрицательным показателем и опре-
делена на всей области определения исходной функции, то есть график степени с целым
отрицательным показателем имеет две непрерывные ветви.
Степени с дробным показателем
Простейшие степени с дробными показателями
n
n
xxy
/1
,
n
n
xxy /1
/1
, где
n
на-
туральное число, появляются при обращении степеней с целым показателем (исключение
составляет степень
1
xy
, которая является обратной самой себе). Их область определе-
ния зависит от знака и четности числа
n
. Если
n
четное число, то функции
n
x
2
и
n
x
2
являются обратными функциями к ветвям функции
n
xy
2
на интервалах
)[0,+
и
]0,(
1
Напомним формулы бинома и его коэффициентов
n
k
knkk
n
nn
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
baCaCbaCbaCabCbCba
0
11222110
)(
,
)!(!
!
knk
n
CC
kn
n
k
n
Основные элементарные функции (справочные сведения и примеры исследования)
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
2
соответственно. Аналогично функции
n
x
2
/1
и
/1
2n
x
являются обратными функция-
ми к ветвям
n
xy
2
соответственно на интервалах
)(0,+
и
)0,(
.
Формула дифференцирования дробной степени получается из формулы суммирования
геометрической прогрессии, записанной в виде
))((
12221
nnnnnn
babbaababa
.
Подстановка в данную формулу
n
xxa
/1
)(
,
n
xb
/1
дает
))()())(()((
/)1(/)2(/1/1/)2(/)1(/1/1 nnnnnnnnnnnn
xxxxxxxxxxxxx
,
n
x
nnnnnnn
nn
xnxxxxxxx
xxx
/11
0
/)1(/1/)2(/)1(
/1/1
1
)()(
1)(
,
1)/1(/1
)/1()()(
nn
n
xnxx
.
Полученная формула для производной обобщается и на случай отрицательных дробных
показателей
n
n
xxy /1
/1
, например, при помощи формулы дифференцирования слож-
ной функции
1/1
tyxtx
n
,
1/1/11/1
)/1()()()()/1(
nnn
n
xnxtxx
.
Сравнивая все приведенные выше формулы дифференцирования степеней, нетрудно за-
метить, что формулы для производных, а также соответствующие им формулы интегриро-
вания, могут быть записаны в единой форме
aa
axx
)(
,
1,
1
1
aC
a
x
dxx
a
a
,
где показатель степени может быть как целым, так и дробным (при рассмотрении лога-
рифмической функции, соответствующей особому случаю интегрирования
1a
, эта
формула будет обобщена и на случай произвольного вещественного показателя степени).
Свойства описанных выше степенных функций суммированы в таблице 1.
Таблица 1 Свойства простейших степенных функций.
Функция, область определения
Предельные значения
k
xy
2
,
),( x
0lim
2
0
k
x
x
,
k
x
x
2
||
lim
12
k
xy
,
),( x
0lim
12
0
k
x
x
,
12
lim
k
x
x
k
xy
2
,
),0()0,( x
k
x
x
2
0
lim
,
0lim
2
||
k
x
x
)12(
k
xy
,
),0()0,( x
)12(
0
lim
k
x
x
,
0lim
)12( k
x
x
k
xy
2/1
,
),0[ x
0lim
2/1
0
k
x
x
,
k
x
x
2/1
lim
k
xy
2/1
,
),0( x
k
x
x
2/1
0
lim
,
0lim
2/1 k
x
x
)12/(1
k
xy
,
),( x
0lim
)12/(1
0
k
x
x
)12/(1
lim
k
x
x
)12/(1
k
xy
,
),0()0,( x
)12/(1
0
lim
k
x
x
,
0lim
)12/(1 k
x
x