Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях

Подождите немного. Документ загружается.

где ,

Следствие

. Если или , то

где , если и

, если .

1. Если , то

Следствие

. Если , то и, следовательно,

где , если и

, если .

Пример 2.26.

Пусть

из примера 2.22. В этом случае

. (2.50)

Введем следующие обозначения:

Из уравнения

получим

и, следовательно,

. (2.51)

Аналогично получаем

. (2.52)

И, наконец,

. (2.53)

Пусть, например, . В этом случае

-функция показана на рис.2.9.

Рис. 2.9. График

-функции .

На примерах данного параграфа можно убедится, что нахождение результатов

алгебраических операций второго типа связано, как правило, с гораздо большими

техническими трудностями.

2.5. Обратный аналитический метод нахождения

результатов алгебраических операций

В п

едыд

щем

азделе задача нахождения

фу

нкции , задаваемой соотношением

(2.54)

ешалась так называемым прямым методом, т.е. для произвольного определялось

В основе обратного метода нахождения результатов алгебраических операций лежит важное

следствие из следующей теоремы.

Теорема 2.8.

Пусть

- произвольные базовые множества,

AF(X)

и задано отображение

f: X

→

. Если для

∀

y Y

∃

x X

такой, что , то справедливо равенство

(2.55)

оказательство.

Пусть такое, что . Тогд

, т.е. и, следовательно, .

С другой стороны, пусть , т.е. . Тогда по условию теоремы

существует такой, что . Поскольку , то

. Теорема доказана.

Следствие.

Если

A, B F(R)

, то

оказательство.

Как было отмечено ранее, алгебраические операции определяются

отображением

f:R

∗

→

, т.е. для

-величин

имеем

f(A

∗

B)=A

. Учитывая, что в

данном случае справедливо равенство , с учетом (2.55) получаем

что и требовалось доказать.

Очевидно, что указанная теорема и следствие справедливы также для слабых

-уровневых

множеств.

-величина

называется

ограниченной

, если

(A)

- ограниченное множество. Подкласс из

(R)

ограниченных и выпуклых

-величин обозначим через .

Из условия теоремы следует, что доказанное следствие выполняется, когда основное

соотношение

(

2.54

)

можно записать в виде

(2.56)

Суть обратного метода

решения задачи (2.56) для ограниченных и выпуклых

-величин

заключается в следующем. Если

A, B

, то для произвольного

из

[0,1]

, пользуясь

указанным следствием, можно найти

-уровневое множество для

. Этим самым

определяется элемент

из класса , находящегося во взаимно однозначном соответствии с (теорема 1.3).

Разрешая уравнения относительно

, получим образ элемента в

классе относительно биекции

→

, т.е.

- функцию . Таким

образом, название данного метода вполне согласуется с идеей, положенной в его основу.

Заметим, что обратный метод согласно теореме 2.8, можно применять для нахождения

величины

f(A)

при отображении

f: R

→

R, A F(R)

. Поскольку

, то следствие теоремы можно записать так

, (2.57)

где символ

•

обозначает интервальную алгебраическую операцию [247].

Приведем несколько примеров нахождения результатов алгебраических операций над

величинами обратным методом.

Пример 2.27 .

Пусть

из примера 2.12, т.е.

. Найдем

-величину

A+B

Имеем

откуда

следовательно,

откуда

т.е. для всех

имеем

что совпадает с результатом (2.31), полученным прямым методом.

Пример 2.28

Пусть

из примера 2.12, т.е. и

. Тогда из уравнений

получим

Как и в предыдущем примере из соотношений

следует

что совпадает с результатом (2.32).

име

2.29

Для

из п

име

а 2.15 имеем

откуда

Из соотношения

получаем

при .

Аналогично, из равенства

получаем

при .

Кроме того, , если

Полученный ответ совпадает с результатом примера 2.15.

Пример 2.30

Рассмотрим операцию вычитания для

из примера 2.13. Тогда из

уравнений

получим

Далее из соотношений

следует, что для всех

имеем

т.е.

что совпадает с результатом примера 2.13, полученным прямым методом.

Пример 2.31

Рассмотрим операцию умножения для

из примера 2.20. В этом случае

имеем

откуда

В нашем случае

Таким образом, для всех

z>0

имеем

т.е.

что совпадает с результатом примера 2.20, полученным прямым методом.

Пример 2.32.

Рассмотрим еще операцию умножения для

из примера 2.28 при условии,

что . В этом случае имеем

откуда, обозначая , получим уравнение

ешения которого имеют вид

Следовательно,

Учитывая условие , получаем

Очевидно, что решение уравнения

дает тот же результат.

Пример 2.33

Рассмотрим операцию деления для

из примера 2.23. Из уравнений

имеем

В этом случае

Для решения достаточно одного уравнения. Следовательно,

откуда

т.е.

При

a=4

b=2

что совпадает с результатом примера 2.23, полученным прямым методом.

Пример 2.34

Для

из примера 2.32 найдем

- величину

A/B

. В этом случае

Для решения достаточно одного уравнения. Следовательно, имеем

откуда

т.е.

Этот же результат был получен прямым методом в примере 2.24 (3-е следствие).

Алгебраические операции второго типа

. Обратный метод решения задачи

заключается в следующем. Уравнение

описывает линию уровня функции в плоскости

(х,у)

. Пусть - выпуклая F-

величина, т.е. для любой точки

(х,у)

из области, ограниченной линией уровня, выполняется

неравенство

Тогда очевидно, что если кривая, описываемая уравнением

Касается границы данной области, то

. (2.58)

Следовательно, если установлена функциональная зависимость , в которой z и

удовлетворяют (2.58), то

Пример 2.35

Пусть

из примера 2.12 найдем

-величину

A+B

. Уравнение линии

уровня в этом случае имеет вид

, (2.59)

а уравнение связи

которое описывает линию уровня функции при некотором фиксированном

. В данном случае существуют две точки касания: и . Поскольку вектор-

градиент

в любой точке на прямой и, кроме того, в имеет одно направление с

, а в - противоположные, то тангенс угла наклона вектора-градиента

в точках касания равен единице. Поскольку

то, следовательно,

где - некоторая точка касания. С учетом (2.59) имеем

Подставляя (или ) в уравнение связи, получаем

отк

да