Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях

Подождите немного. Документ загружается.

В общем случае графики функций и показаны на рис.2.6.

Рис.2.6. Графики функций и .

В данном случае можно воспользоваться принципом декомпозиции, причем

соответствующий анализ показывает, что

. (2.33)

Из уравнения находим, что

и, следовательно,

(2.34)

По аналогии для имеем

(2.35)

И, наконец,

(2.36)

Пример 2.16.

Пусть и . Тогда из уравнения

получим

Таким образом,

(z) = -z,

(z) = z/3.

Делая соответствующие подстановки,

получаем

В этом случае

Приведем один пример на сложение второго типа, определяемого по (2.4).

Пример 2.17.

Пусть

из примера 2.12. Тогда из уравнения

получим, что

и, следовательно,

. (2.37)

Вычитание F-величин.

В этом сл

чае

ур

авнение связи имеет вид

z = x - y

т.е. для произвольного фиксированного

величина равна верхней грани функции

на прямой в

с уравнением

y= z

-x

. Соотношение (2.28) запишется в

виде

. (2.38)

Кроме того, поскольку

A-B=A+(-B)

, т.е. вычитание сводится к сложению, то эта задача не

представляет самостоятельного интереса. Поэтому ограничимся двумя примерами.

Пример 2.18.

Пусть

из примера 2.13. Тогда из уравнения

получаем

Делая подстановку , находим

Таким образом,

Пример 2.19.

Пусть

из

примера 2.12. Тогда из уравнения

имеем , откуда

, и, следовательно,

(2.39).

Окончательно,

По аналогии с примером 2.17 нетрудно показать, что для вычитания второго типа

. (2.40)

Умножение F-величин.

В этом случае уравнении связи имеет вид

z = x y

т.е. для произвольного фиксированного

величина равна верхней грани функции

на гиперболе в

с уравнением

y=z

. Соотношение (2.28)

запишется в виде

(2.41)

Ввиду нелинейности ограничения нахождение произведения

-величин представляет собой

более трудную задачу, чем суммирование и вычитание.

Пример 2.20.

Пусть

из примера 2.16. Тогда из уравнения

получаем

Делая соответствующую подстановку , получаем

Пример 2.21.

Пусть

из примера 2.12. Из уравнения получим

. Из

первого уравнения имеем , откуда

Следовательно, ,

где .

Осталось рассмотреть еще одно уравнение , из которого

Обозначая , получим

Учитывая, что и, рассматривая арифметические значения корней, окончательно

имеем:

, (2.42)

. (2.43)

Рассмотрим частный случай данного примера. Пусть , т.е. . Тогда для

получим

Поскольку при имеем

то окончательно

Если , то , .

Таким образом, , т.е. результат не зависит от положения точки

. При

а=0

получаем

Интересно отметить, что если отображение трактовать как возведение

-величины

в квадрат, то при

а=0

получим

т.е. в этом смысле . Очевидно, что это справедливо для любой

-величины,

носитель которой содержит нуль в качестве внутренней точки.

Пример 2.22.

Пусть

из примера 2.15. Для упрощения рассмотрим частный случай,

когда , т.е. . Здесь также

можно использовать принцип декомпозиции. Соответствующий анализ показывает, что

. (2.44)

Очевидно, что .

Соотношение приводит к уравнению , из

которого следует

Учитывая, что , получим .

Из уравнений и следует .

Аналогично, на основе уравнения

с учетом ограничений на коэффициенты, получим

откуда

Например, если , т.е. , то получим

ики F-

фу

нкций и показаны на

ис 2.7.

Рис. 2.7. Графики F-функций и .

Деление F-величин.

Уравнение связи в этом случае имеет вид

z = x / y, y 0,

т.е. для произвольного фиксированного

величина равна верхней грани функции

на прямой в

с уравнением

х=z

. Следовательно, можно записать

. (2.45)

Вообще говоря, операция деления

-величины

на

сводится к умножению

на

1/B

. С

другой стороны, ввиду линейности ограничения

x=zy

операция деления во многих случаях

значительно проще операции умножения.

Пример2.23.

Пусть и . Тогда из уравнения

получаем

(z) = 2/(z-1),

(z) = 6/(z+1).

Делая соответствующие подстановки, получаем

Таким образом,

В этом случае .

Пример 2.24.

Пусть А и В из примера 2.14. Из уравнения

получаем

т.е.

Учитывая условие , рассмотрим следующие случаи.

1. Числа

одного знака, т.е. . Анализ функции в зависимости от

знака величин показывает, что

для которых

, (2.46)

(

2.47

)

где берутся арифметические значения квадратных корней из

. Поскольку при

, а при , то получаем

(2.48)

Следствие

. Очевидно, что если нуль не является внутренней точкой для , то .

Следовательно, из (2.48) имеем .

2. Числа

разных знаков, т.е. . Анализ функции показывает, что

для которых

Поскольку при , а при , то получаем

(2.49)

Следствие

. Очевидно, что если нуль не является внутренней точкой для , то

, т.е. . Следовательно, в этом случае .

Пусть, например, , т.е. и являются ограниченными, т.е. множества

и - ограниченные. Тогда из (2.46) получим, что

ик кото

ой показан на

ис. 2.8.

Рис. 2.8. Графики F-функций и .

Таким образом, - неограниченное множество. Это является следствием того, что

нуль является граничной точкой для .

Пусть , т.е. , . В этом случае

т.е. является ограниченной.

Пусть . Поскольку , то из (2.46) и (2.47) получаем

Окончательно

, .

Пример 2.25.

Пусть , ,

. Пользуясь результатами предыдущего примера, получаем.

1. Если , то