Балаганский И.А. Прикладной системный анализ

Подождите немного. Документ загружается.

Шкалы разностей. К таким шкалам относятся циклические или периодические шка-

лы. В таких шкалах измеряется направление из одной точки (шкала компаса, роза ветров),

время суток, фаза колебаний. Циклические шкалы являются частным случаем интервальных

шкал. Однако, соглашение о хотя и произвольном, но едином для нас начале шкалы, позво-

ляет использовать показания в этой шкале как числа, применять к ним арифметические дей-

ствия и т.д.

Абсолютная шкала. Рассмотрим такую шкалу, которая имеет и абсолютный ноль, и

абсолютную единицу. Эта шкала уникальна. Именно такими качествами обладает числовая

ось, которую естественно назвать абсолютной шкалой. Важной особенностью абсолютной

шкалы по сравнению со всеми остальными является отвлеченность (безразмерность) и абсо-

лютность ее единицы. Указанная особенность позволяет производить над показаниями абсо-

лютной шкалы такие операции, которые недопустимы для показаний других шкал, - исполь-

зовать их в качестве показателей степени и аргумента логарифма. Числовая ось используется

при счете предметов и как вспомогательное средство присутствует во всех остальных шка-

лах. Некоторые безразмерные числовые отношения, обнаруживаемые в природе, вызывают

восхищение (явления резонанса, гармоническое отношение размеров, звуков; законы теории

подобия и размерностей, квантование энергии элементарных частиц и т.д.). В таблице при-

ведены основные сведения обо всех рассмотренных шкалах. Можно сказать, что чем сильнее

шкала, в которой производятся измерения, тем больше сведений об изучаемом объекте дают

эти измерения. Однако, важно иметь в виду, что выбор шкалы должен ориентироваться на

объективные отношения, которым подчинена наблюдаемая величина. Можно измерять в

шкале более слабой, но измерять в более сильной шкале – опасно.

Измерительные шкалы

Название

шкалы

Определяющие

соотношения

Эквива-

лентное

преобра-

зование

шкал

Допустимые

операции над

данными

Вторичная

обработка данных

Номи-

нальная

Эквивалентность Переста-

новка

наимено-

ваний

Вычисление

символа

Кронекера δ

Вычисление

относительных

частот и операции

над ними

Порядко-

вая

Эквивалентность;

предпочтение

Не изме-

няющие

порядка

Вычисление δ

рангов R

Вычисление отно-

сительных частот и

выборочных кван-

тилей; операции

над ними

Интер-

вальная

Эквивалентность;

предпочтение;

сохранение отношения

интервалов

Линейное

преобра-

зование

y=ax+b

a>0 b∈R

Вычисление δ

рангов R

интервалов (раз-

ностей между на-

блюдениями)

Арифметические

действия над ин-

тервалами

Цикличе-

ская

Эквивалентность;

предпочтение; сохранение

отношения интервалов;

периодичность

Сдвиг:

y=nx+b

b=const

n=0,1,2...

Вычисление δ

рангов R

интервалов (раз-

ностей между на-

блюдениями)

Арифметические

действия над ин-

тервалами

Отноше-

ний

Эквивалентность;

предпочтение; сохранение

отношения интервалов;

сохранение отношений

двух значений

Растяже-

ние:

y=ax

a>0

Все арифметиче-

ские операции

Любая подходящая

обработка

Абсо-

лютная

Эквивалентность;

предпочтение; сохранение

отношения интервалов;

сохранение отношений

двух значений; абсолют-

ная безразмерная единица;

абсолютный ноль

Шкала

уникаль-

на

Все арифметиче-

ские операции,

использование в

качестве показа-

телей степени,

основания и аргу-

мента логарифма

Любая необходи-

мая обработка

4.3. Контрольные вопросы

1. Соотношение априорных знаний (моделей) и практических действий в постановке и про-

ведении а). активного; б). пассивного экспериментов.

2. Приведите примеры наблюдений в каждой из измерительных шкал.

3. Что происходит при рассогласовании между природой наблюдаемого явления и силой

измерительной шкалы? Как обеспечить их согласование?

4. Когда недопустимые преобразования результатов наблюдений безвредны?

5. Почему верны оказываются оба противоположных утверждения «опыт определяет мо-

дель» и «модель определяет опыт»?

6. Что такое измерение?

7. Почему над наблюдениями в некоторой шкале можно производить не любые, а только

допустимые операции? приведите примеры.

8. Каковы возможные последствия «усиления», или «ослабления» наблюдений, т.е. пере-

счета протоколов наблюдений в шкалу, отличающуюся от той, в которой производилось

наблюдение?

5. ВЫБОР. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ

5.1. Многообразие задач выбора

Главная цель курса системного анализа – раскрытие системности любой целенаправ-

ленной деятельности. Для этого необходимо построить систему моделей, с помощью кото-

рых можно обобщать, передавать и совершенствовать опыт такой деятельности. Ранее мы

уже выделили некоторые из операций, входящие во всякую целенаправленную деятельность:

моделирование, получение информации. Предстоит построить еще достаточно полный спи-

сок действий, из которых складывается всякая успешная деятельность, и только после этого

можно будет приступить к обсуждению ее структуры и принципов организации. В данном

разделе рассмотрим еще одну операцию, обязательно входящую в целенаправленные про-

цессы – выбор.

Выбор как реализация цели. Выбор является действием, придающим всей деятельно-

сти целенаправленность. Именно выбор реализует подчиненность всей деятельности опреде-

ленной цели или совокупности целей. Рано или поздно наступает момент, когда дальнейшие

действия могут быть различными, приводящими к разным результатам, а реализовать можно

только одно действие, причем вернуться к исходной ситуации уже, как правило, нельзя. Спо-

собность сделать правильный выбор в таких условиях – очень ценное качество, которое при-

суще людям в разной степени. Великие полководцы, выдающиеся политики, гениальные ин-

женеры и ученые отличаются, прежде всего, умением принимать лучшие решения, делать

лучший выбор.

Естественно стремление понять, что такое «хороший выбор», выработать рекоменда-

ции, как приблизиться к наилучшему решению, а если возможно, то и предложить алгоритм

получения такого решения. Задачи выбора чрезвычайно многообразны, различны и методы

их решения. Прежде всего, введем основные понятия, общие для всех задач выбора. Будем

представлять принятие решения как действие над множеством альтернатив, в результате ко-

торого получается подмножество выбранных альтернатив (не обязательно одна). Сужение

множества альтернатив возможно, если имеется способ сравнения альтернатив и определе-

ния наиболее привлекательных. Каждый такой способ будем называть критерием предпочте-

ния. Здесь считается уже пройденными два чрезвычайно важных этапа: порождение множе-

ства альтернатив; определение целей, ради достижения которых производится выбор. В

практике системного анализа реализация этих этапов связана с определенными трудностями,

для преодоления которых существуют специальные методы, которые мы рассмотрим позд-

нее.

Множественность задач выбора. Проблема выбора допускает различные математиче-

ские постановки в зависимости от ситуации:

- множество альтернатив может быть конечным, счетным или континуальным;

- оценка альтернативы может осуществляться по одному или нескольким критериям, кото-

рые в свою очередь могут иметь как количественный, так и качественный характер;

- режим выбора может быть однократным или повторяющимся;

- последствия выбора могут быть точно известны, иметь вероятностный характер, или

иметь неоднозначный исход, не допускающий введения вероятностей;

- ответственность за выбор может быть односторонней или многосторонней;

- степень согласованности целей при многостороннем выборе может варьироваться от

полного совпадения интересов сторон до их противоположности.

Дадим краткий обзор состояния теории выбора, не дублируя, по возможности, мате-

риала других дисциплин: теории оптимизации, исследования операций, вариационного ис-

числения, математического программирования, теории игр, математической статистики и

т.д.

5.2. Критериальный язык описания выбора

Сложилось несколько языков описания выбора. Самый простой – критериальный

язык. Считается, что каждую альтернативу можно оценить конкретным числом (значением

критерия) и сравнение альтернатив сводится к сравнению соответствующих им чисел. Пусть

х – некоторая альтернатива из множества Х. Считается, что для всех х∈Х может быть задана

функция q(х), которая называется критерием (критерием качества, целевой функцией, функ-

цией полезности) и обладает тем свойством, что если альтернатива х

предпочтительнее аль-

тернативы х

, то q(х

)>q(х

) и обратно.

Выбор как максимизация критерия. Если считать, что выбор осуществляется в усло-

виях определенности и заданный критерий q(х) численно выражает оценку последствий это-

го выбора, то наилучшей альтернативой х

является та, которая обладает наибольшим значе-

нием критерия

)(maxarg

xqx

∈

На практике оценивание любого варианта единственным числом обычно оказывается непри-

емлемым упрощением. Полное рассмотрение альтернатив приводит к необходимости оцени-

вать их не по одному, а по нескольким критериям, качественно различающимся между со-

бой. Даже в обыденной жизни при выборе мы почти никогда не используем единственный

критерий.

Итак, пусть для оценивания альтернатив используется несколько критериев q

(x),

i=1,2,...p. Теоретически возможно, что на множестве Х окажется одна альтернатива, обла-

дающая наибольшими значениями всех р критериев. Однако, на практике такие случаи почти

не встречаются, и возникает вопрос, как же тогда осуществить выбор?

Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной. Рассмотрим наиболее

употребительные способы решения многокритериальных задач. Первый способ состоит в

том, чтобы многокритериальную задачу свести к однокритериальной. Это означает введение

суперкритерия, т.е. скалярной функции векторного аргумента:

(x)=q

(x), q

(x), ...,q

(x))

Суперкритерий позволяет упорядочить альтернативы по величине q

, выделив тем самым

наилучшую в смысле этого критерия. Вид функции q

определяется тем, как мы представля-

ем себе вклад каждого критерия в суперкритерий; обычно используют аддитивные или муль-

типликативные функции:

∑

; )1(1

∏

−=−

Коэффициенты s

обеспечивают, во-первых, приведение каждого числа к безразмерному ви-

ду и, во-вторых, если это необходимо, выполнение условия

1≤

qβ

Коэффициенты α

и β

– отражают относительный вклад частных критериев в суперкритерий.

Итак, при данном способе задача сводится к максимизации суперкритерия

)}(),...,(

{

maxarg

qxqqx

∈

Очевидные достоинства объединения нескольких критериев в один сопровождаются рядом

недостатков. Главный недостаток заключается в произвольности выбора весовых коэффици-

ентов α

и β

и соответственно, произволу получаемому при максимизации. Кроме этого, не-

достаток одного частного критерия может быть скомпенсирован избыточным значением

другого, что часто оказывается неприемлемым.

Другой вариант поиска альтернативы, частично свободный от недостатков предыду-

щего варианта, дает максимизация минимального критерия:

























∈

)(

minmaxarg

что означает подтягивание самого отстающего.

Условная оптимизация. Недостатки свертывания нескольких критериев заставляют

искать другие подходы к решению задач многокритериального выбора. Рассмотрим другой

метод решения таких задач. Он состоит в том, что выделяется один, главный критерий, а ос-

тальные рассматриваются как ограничения. Тогда задача выбора формулируется как задача

нахождения условного экстремума основного критерия.

(

)

qxqx

,...,3,2,)(|)(

maxarg

===

∈

В некоторых задачах оказывается возможным или даже необходимым задавать огра-

ничения на сопутствующие критерии не так жестко, тогда q

(x)≤c

Метод уступок. Иную постановку дает метод уступок. Пусть частные критерии упо-

рядочены в порядке убывания их важности. Возьмем первый из них и найдем лучшую по

этому критерию альтернативу. Затем определим «уступку» ∆q

, то есть величину, на кото-

рую мы согласны уменьшить значение самого важного критерия, чтобы за счет уступки по-

пытаться увеличить, насколько возможно, значение следующего по важности критерия и т.д.

Нахождение паретовского множества. Еще один способ многокритериального выбора

состоит в отказе от выделения единственной «наилучшей» альтернативы и соглашении о

том, что предпочтение одной альтернативе перед другой можно отдавать, только если первая

по всем критериям лучше второй. Если же предпочтение хотя бы по одному критерию рас-

ходится с предпочтением по другому, то такие альтернативы признаются несравнимыми. В

результате попарного сравнения альтернатив все худшие по всем критериям альтернативы

отбрасываются, а все оставшиеся несравнимые между собой (недоминируемые) принимают-

ся. Если все максимально достижимые значения частных критериев не относятся к одной и

той же альтернативе, то принятые альтернативы образуют множество Парето и выбор на

этом заканчивается.

5.3. Групповой выбор

В человеческой практике единоличное принятие решений является не единственной

формой выбора. «Ум – хорошо, а два – лучше» - гласит поговорка, имеющая в виду тот слу-

чай, когда оба ума одинаковыми измерениями пытаются найти хороший выбор. Именно та-

кую ситуацию мы и будем здесь рассматривать.

Описание группового выбора на языке бинарных отношений. Второй, более общий

язык, на котором описывается выбор – это язык бинарных отношений. Дело в том, что в ре-

альности дать оценку отдельно взятой альтернативе часто затруднительно или невозможно,

однако, если рассматривать ее не в отдельности, а в паре с другой альтернативой, то нахо-

дятся основания сказать, какая из них более предпочтительна. Основные предположения

языка бинарных отношений сводятся к следующим:

1. Отдельная альтернатива не оценивается, т.е. критериальная функция не вводится.

2. Для каждой пары альтернатив (x,y) некоторым образом можно установить, что одна из их

предпочтительнее другой, либо они равноценны (или несравнимы).

3. Отношение предпочтения внутри любой пары альтернатив не зависит от остальных аль-

тернатив, предъявленных к выбору.

Математически бинарное отношение R на множестве X определяется как определен-

ное подмножество упорядоченных пар (x,y). Удобно использовать обозначение xRy, если x

находится в отношении R с y, и yRx в противном случае. Множество всех пар

{(x,y), x,y∈X}

называется полным бинарным отношением. Поскольку в общем случае не все возможные

пары (х,у) удовлетворяют условиям, накладываемым отношением R, бинарное отношение

является некоторым подмножеством полного бинарного отношения, где R⊆X*X.

Задать отношение, это значит тем или иным способом указать все пары (х,у), для ко-

торых выполнено отношение R.

Итак, пусть на множестве альтернатив Х задано n различных индивидуальных пред-

почтений (бинарных отношений) R

, R

,...,R

. Ставится задача о выработке некоторого ново-

го отношения R, которое согласует индивидуальные выборы, выражает в каком-то смысле

«общее мнение» и принимается за групповой выбор. Очевидно, что это отношение должно

быть какой-то функцией индивидуальных выборов

R=F(R

, R

,..., R

Различным принципам согласования будут отвечать разные функции F. В принципе эти

функции могут быть совершенно произвольными, учитывать не только индивидуальные вы-

боры, но и другие факторы, в том числе и исход некоторых случайных событий (например,

бросание жребия). Главный вопрос состоит в том, чтобы правильно отобразить в функции F

особенности конкретного варианта реального группового выбора. Например, выборы прези-

дента, выборы в Государственную думу и т.д.

Различные правила голосования. Один из наиболее распространенных принципов со-

гласования – правило большинства: принятой всеми считается альтернатива, получившая

наибольшее число голосов. Правило большинства привлекательно своей простотой и демо-

кратичностью, но имеет особенности, требующие осторожного с ним обращения. Прежде

всего, оно лишь обобщает индивидуальные предпочтения, а его результат не является крите-

рием истины («выбирают не лучших, а себе подобных»). Во-вторых, даже в простейшем

случае выбора одной из двух альтернатив легко представить, когда правило не срабатывает –

например, разделение голосов поровну. Кроме того, существует «простое большинство» –

50% +1 голос; «квалифицированное большинство» – 2/3 голосующих – за; принцип консен-

суса – 100% - за. При любом из вариантов подразумевается отказ от принятия решения. По-

скольку в реальной жизни отказ от дальнейших действий, следующих за принятием решения

недопустим, разрабатываются различные приемы, сокращающие число ситуаций, приводя-

щих к отказу.

Парадоксы голосования. Итак, казалось бы, что исключив возможность непринятия

решения, например, привлекая трех экспертов, которые большинством голосов выбирают

предпочтительную альтернативу, можно решить все проблемы. Однако, здесь мы приходим

к еще одной особенности правила голосования – его нетранзитивности. Пусть, например,

каждая из трех группировок законодателей, образующих большинство лишь попарно, вы-

двинула свой вариант законопроекта: a,b,c. Чтобы гарантировать большинство на каждом

шаге процедуры, альтернативы предъявляются попарно. Каждая сторона руководствуется

при этом своим набором предпочтений: пусть это будут последовательности (a>b>c),

(b>c>a), (c>a>b). После голосования по паре (a,b) – получаем 2 голоса против одного: a>b; по

паре (b,c) имеем b>c; по паре (a,c) имеем c>a. Голосование большинством не привело таким

образом к выяснению «общепризнанного» порядка альтернатив a>b>c>a. В случае примене-

ния процедуры, при которой после рассмотрения очередной пары отвергаемая альтернатива

заменяется новой, окончательно принятое решение зависит от порядка предъявления альтер-

натив: при порядке (a,b,c) выбирается c; при порядке (b,c,a) выбирается a; при порядке (a,c,b)

выбирается b. Если таким образом принимается законопроект, то чье мнение он будет выра-

жать – большинства или организатора голосования? Очевидно, что такие решения не отве-

чают идеалу согласованного группового выбора.

Задача группового выбора часто все же может быть решена. Особенно, если не счи-

тать неприемлемым «диктаторский» принцип согласования. Например, в армии это единст-

венно возможный принцип.

В том случае, если использовать единую числовую, а не индивидуальные порядковые

шкалы предпочтений, то проблемы нетранзитивности вообще не возникнет.

Рассмотрим еще одну особенность голосования, которую следует иметь в виду на

практике. Речь идет о вмешательстве коалиций в механизм голосования, которое фактически

меняет его характер. Например, при многоступенчатом голосовании по правилу большинст-

ва, коалиция, находящаяся в меньшинстве, может добиться принятия своего решения. На

рис. изображено голосование по три большинством в 2/3 на каждой ступени.

Видно, что уже на второй ступени меньшинство может навязывать свою волю большинству.

Если число ступеней не ограничивать, то теоретически побеждающее таким образом мень-

шинство может быть сколь угодно малым. То, что при многоступенчатом голосовании может

победить претендент, не набравший действительного большинства голосов, происходит и в

действительности. Например, в 1876 г. президентом США был избран Р.Б. Хейес (185 голо-

сов выборщиков), а не С. Дж. Тилден (184 голоса), хотя на долю последнего пришлось 51%

голосов всех избирателей. Такие же ситуации имели место в президентских выборах 1874,

1888 и 2000 г.г.

5.4. Выбор в условиях неопределенности

До сих пор мы обсуждали подходы к описанию и осуществлению выбора в таких ус-

ловиях, когда последствия сделанного выбора были определены однозначно. Выбор одной из

альтернатив х∈Х был связан с известным выбирающему однозначным следствием, и вся

проблема выбора – это проблема сравнения разных следствий.

Задание неопределенности с помощью матрицы. В реальной практике нередко прихо-

дится иметь дело с более сложной ситуацией, когда выбор альтернативы неоднозначно опре-

деляет последствия сделанного выбора: имеется набор возможных исходов y∈Y, из которых

один окажется совмещенным с выбранной альтернативой, но какой именно – в момент вы-

бора неизвестно, а станет известно позже, когда выбор уже сделан и изменить ничего нельзя.

Хотя с каждой альтернативой х связано одно и то же множество исходов Y, для разных аль-

тернатив одинаковые исходы имеют разное значение. В случае дискретного набора альтер-

натив и исходов такую ситуацию можно изобразить с помощью следующей матрицы.

...

... ... ... y

... ... q

... ... ... q

... ... q

... ... ... q

...

... ... ... ... ... ... ... ... ...

...

... ... ... ... ... ... ... ... ...

...

... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ... q

... ... ... ...

...

... ... ... ... ... ... ... ... ...

...

... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ... q

... ... ... q

В этой матрице все возможные подходы образуют вектор y=(y

,...,y

), числа q

выражают

оценку ситуации, когда сделан выбор альтернативы x

и реализовался исход y

. В разных слу-

чаях числа q

могут иметь различный смысл: иногда это «выигрыш», иногда «потери», «пла-

тежи» и т.д. Если все строки q

=(q

,...,q

) при любых i одинаковы, то проблемы выбора меж-

ду альтернативами нет. Если же строки матрицы различны, то возникает вопрос, какую аль-

тернативу предпочесть, не зная заранее, какой из исходов реализуется? Аналогично, в случае

непрерывных множеств X и Y ситуация описывается с помощью задаваемой на этих множе-

ствах функции q(x,y), x∈X, y∈Y с соответствующей постановкой задачи о выборе x.

Сказанного пока недостаточно для формальной постановке задачи выбора. При раз-

личной конкретизации эта задача приобретает различный смысл и требует различных мето-

дов решения. Математический аппарат решения таких задач называется теорией игр. Сторо-

ны называют «игроками», альтернативы – «ходами», правила выбора – «стратегиями», вели-

чины q

– «выигрышами».

Один класс задач называется «играми с природой». Считается, что исходы

Y=(y

,...,y

) – есть возможные «состояния природы». Желательность каждой альтернативы x

зависит от состояния природы, но узнать каково оно, мы можем лишь после того, как сдела-

ем выбор.

В другом классе задач предполагается, что исходы Y=(y

,...,y

) – это множество аль-

тернатив, на котором выбор осуществляет второй игрок, который в отличие от беспристра-

стной природы преследует свои интересы, отличные от интересов первого игрока. При этом

матрица Q=||q

||, характеризующая оценки ситуаций с токи зрения первого игрока, выби-

рающего x

уже недостаточна для описания всей игры. Необходимо задать вторую матрицу

U=||u

||, описывающую игру с позиций второго игрока. Задание X,Y,Q,U называется нор-

мальной формой игры. Расхождения между матрицами Q и U определяют степень антаго-

низма игроков.

Если q

=const для всех i и j, то соперничество называется строгим. В случае, если

=0 – имеем игру с нулевой суммой. Существуют игры с нарастающей конфликтностью.

Критерии сравнивания альтернатив при неопределенности исходов (игры с приро-

дой). Очень кратко рассмотрим основные идеи и подходы к решению задач теории игр. Цен-

тральным моментом является введение критерия для оценки выбираемого варианта. Нужно

дать оценку сразу всей строке платежной матрицы, затем сравнивая их можно сделать выбор.

Максиминный критерий Вальда. Самым распространенным является критерий вы-

бора «наименьшего из зол», называемый максиминным критерием Вальда. В каждой из

строк матрицы платежей находится наименьший выигрыш

min

который характеризует гарантированный выигрыш в самом худшем случае и считается

оценкой альтернативы x

. Остается найти альтернативу x

, обеспечивающую наибольшее

значение этой оценки

minmax

arg

Эта альтернатива называется оптимальной по максиминному критерию.

Часто платежную матрицу определяют не через выигрыш, а через проигрыш, тогда

тот же принцип приводит к минимаксному критерию. Критерий Вальда является крайне ос-

торожным, очень пессимистичным, поэтому были предложены другие критерии.

Критерий минимаксного риска (критерий Сэвиджа). По платежной матрице Q вы-

числяется «матрица риска» S

S −=

max

maxmin

arg

Критерий пессимизма – оптимизма Гурвица. Дальнейшее ослабление пессими-

стичности оценок альтернатив дает критерий пессимизма – оптимизма (критерий Гурвица),

который сводится к взвешенной комбинации наилучшего и наихудшего исходов. За оценку

альтернативы x

принимается величина

max

)1(

min

)( −+= 0≤a≤1

)(

max

arg

x =

Проиллюстрируем применение описанных критериев на элементарном примере игры

с природой 4x3, матрица выигрышей дана в таблице.

\П

20 30 15

75 20 35

25 80 25

85 5 45

Рассмотрим критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица (a=0,6 перевес в пользу пессимизма).

1. Критерий Вальда: подсчитаем минимумы по строкам и выберем ту стратегию, для кото-

рой минимум строки максимален – это стратегия А

(25).

2. Критерий Сэвиджа: перейдем от матрицы выигрышей к матрице риска S

\П

max S

65 50 30 65

10 60 10 60

60 0 20 60

0 75 0 75

Из чисел правого столбца минимальный риск (60) соответствует строкам А

и А

. Значит обе

эти строки оптимальны по Сэвиджу.

3. Критерий Гурвица: перепишем таблицу, при этом в трех дополнительных столбцах поста-

вим минимум строки α

, максимум строки ω

и g

=aα

+(1-a) ω

\П

20 30 15 15 30 21

75 20 35 20 75 42

25 80 25 25 80 47

85 5 45 5 85 37

Максимальное значение g

= 47 соответствует стратегии А

В данном случае все три критерия говорят в пользу стратегии А

Общее представление о теории игр со строгим соперничеством. Некоторые особенно-

сти игровых ситуаций хорошо видны на простейшем примере. Пусть имеется игра с конти-

нуальными множествами X и Y, строгим соперничеством сторон и нулевой суммой. Это де-

лает достаточным рассмотрение лишь одной функции платежей q(x,y), которую один игрок

старается максимизировать по x, а другой минимизировать по y. В тех случаях, когда

),(max

min

),(

minmax

yxq

∈

точка (x

), в которой достигается это равенство, одновременно удовлетворяет амбиции

обоих игроков. Эта точка равновесия интересов сторон называется седловой. Она и является

решением игры.

Однако, существуют игры без седловой точки. В такой ситуации становится выгодно

скрывать от противника свой выбор и даже свой способ выбора. Это достигается введением

смешанной стратегии, которая состоит в том, что задаются лишь вероятности выбора аль-

тернатив, а сам выбор осуществляется случайным механизмом, подчиняющимся заданному

распределению.

В соответствии с теоремой фон Неймана любые игры со строгим соперничеством

имеют решение в смешанных стратегиях.

Пример решения простейшей игры в чистых стратегиях. Игра задана матрицей.

2 4 7 5 2

8 7

5 3 4 1 1

8 7

Выписываются минимальные значения в каждой строке α

и максимальные значения в каж-

дом столбце β

. Если максимальный из минимумов по строками равен минимальному из мак-

симумов по столбцам, то такая точка называется седловой. Стратегии, соответствующие сед-

ловой точке и будут являться решением игры. В нашем случае седловая точка соответствует

паре стратегий A

и B

5.5. Достоинства и недостатки идеи оптимальности

Достоинства оптимизационного подхода. Понятие оптимальности прочно вошло в

практику, является центральным элементом системного анализа. Нахождение оптимальных

вариантов особенно важно для оценки состояния современной техники и определения пер-

спектив ее дальнейшего развития. Нередко оптимизация вскрывает значительные резервы

повышения эффективности того или иного технического решения. Иногда резерв настолько

велик, что возникает вопрос о том, нет ли принципиально новых путей развития данной об-

ласти техники на базе новой концепции.

Примеры: электронная лампа – транзистор – БИС – СБИС;

широкофюзеляжные самолеты;

суда на подводных крыльях;

космические самолеты

Ограниченность оптимизационного подхода. При всей очевидной полезности идеи

оптимизации практика показывает необходимость осторожного с ней обращения. Это вызы-

вается следующими причинами:

1. Оптимальное решение часто оказывается очень хрупким. Незначительное изменение ус-

ловий могут привести к резкому уменьшению эффективности.

2. Обычно оптимизируемая система является частью системы более высокого уровня и то-

гда локальная оптимизация совсем не обязательно приедет к тому же результату, кото-

рый потребуется от подсистемы при оптимизации всей системы в целом.

3. Критерий оптимизации и цель относятся друг к другу как модель и оригинал со всеми

вытекающими последствиями. Критерии характеризуют цель лишь косвенно, иногда

лучше, иногда хуже, но всегда приближенно. Часто наблюдается подмена целей, иногда

осознанно, иногда неосознанно.

4. Кроме критериев важную роль играют ограничения. Даже небольшие их изменения су-

щественно сказываются на решении. Опасность заключается в том, что не задав всех не-

обходимых ограничений, мы можем одновременно с оптимизацией основного критерия

получить непредвиденные и нежелательные сопутствующие эффекты. По отношению к

сложным системам мы принципиально не в состоянии заранее определить все условия и

ограничения, гарантирующие отсутствие нежелательных последствий.

Итак, с позиций системного анализа отношение к оптимизации можно сформулиро-

вать следующим образом: это мощное средство повышения эффективности, но использовать

его следует все более осторожно по мере возрастания сложности проблемы.

5.6. Выбор и отбор

Повторный выбор. Возможны ситуации, в которых выбор повторяется многократно,

причем каждый последующий выбор проходит в условиях, отличающихся от тех, в которых

проходил предыдущий. Конкретный характер изменений условий зависит от многих факто-

ров: самой природы множества альтернатив, степени влияния предыдущего выбора на по-

следующий и т.д. При этом возможные постановки задач выбора разнообразны, но очень не-

многие из этих задач исследованы.

Для нас основной интерес представляют процессы сознательного выбора, в частности

задачи целенаправленного многократного выбора, т.е. селекции. Тенденции, возникающие в

ходе селекции, сильно зависят от конкретных способов формирования и пополнения отбор-

ных (элитных) групп. Даже простейшие модели селекции обнаруживают интересные эффек-

ты в эволюции элитных групп. Эти эффекты следует иметь в виду при комплектовании лю-

бых групп элементов, в чем-то лучших, чем остальные: в промышленности – при изготовле-

нии высокосортной продукции; в сельском хозяйстве – при выводе высокосортных пород

животных и сортов растений; в управленческой деятельности – при комплектовании групп

исполнителей особо ответственных дел и т.д.

Основные идеи теории элитных групп. Рассмотрим модель, предложенную А.Н. Еф-

ремовым. Предположим, что имеется некоторая совокупность элементов. Пусть интересую-

щее нас свойство элемента выражается некоторой критериальной величиной x. Будем счи-

тать, что 0≤x≤1 и чем больше x, тем лучше. В исходной совокупности присутствуют элемен-

ты с любым x, а задача отбора возникает, если для достижения некоторой цели требуется,

чтобы показатель качества был не ниже заданной величины x≥a<1. Предположим, что из ис-