Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств
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γ
˙x =
1 1
0 0
x +
0
1
u ,
z = (0 1) x + u .
u = −(0 1) x ,
P =
0 0
0 1
.
u = −(4 3) x .
P =
8 4
4 3
.
˙x = Ax + B
1
v + B
2
u , x(0) = 0 ,
z = Cx + Du ,
v
u = Θx ,
γ > 0
J = lim
t→∞
E|z(t)|
2
dt < γ
2
.
˙x = (A + B
2
Θ)x + B
1
v ,
z = (C + DΘ)x .
H
2
J < γ
2
(A + B
2
Θ)Y + Y (A + B
2
Θ)
T
Y (C + DΘ)
T
(C + DΘ)Y −γI
< 0 ,
Y B
1
B
T
1
R
> 0 , R < γ .
Z = ΘY
Θ γ
Θ = ZY
−1
Y = Y
T
> 0 Z
AY + Y A
T
+ B
2
Z + Z
T
B
T
2
Y C
T
+ Z
T
D
T
CY + DZ −γI
< 0 ,
Y B
1
B
T
1
R
> 0 , R < γ
Y Z R
γ
γ
˙x = Ax + Bu , x(0) = x
0
,
z = C
1
x + Du ,
y = C
2
x ,
y ∈ R
n
y
k
˙x
r
= A
r
x
r
+ B
r
y , x
r
(0) = 0 ,
u = C
r
x
r
+ D
r
y ,
γ
x
r
∈ R
k
J =
∞
Z
0
|z(t)|
2
dt < γ
2
|x
0
|
2
, ∀x
0
6= 0 .
˙x
c
= A
c
x
c
+ ¯x
0
δ(t) , x
c
(0) = 0 ,
z = C
c
x
c
,
x
c
= (x, x
r
)
A
c
=
A + BD
r
C
2
BC
r
B
r
C
2
A
r
, ¯x
0
=
x
0
0
,
C
c
= (C
1
+ DD
r
C
2
DC
r
) .
δ(t) z
H
c
(s) = C
c
(sI − A
c
)
−1
¯x
0
kH
c
k
2
< γ|x
0
| , ∀x
0
6= 0 .
A
c
Y + Y A
T
c
Y C
T
c
C
c
Y −γ|x
0
|I
< 0 ,
Y ¯x
0
¯x
T
0
R
> 0 , R < γ|x
0
|
Y = Y
T
> 0 R = R
T
R
Y |x
0
|Y R |x
0
|R
A
c
Y + Y A
T
c
Y C
T
c
C
c
Y −γI
< 0 ,
Y |x
0
| ¯x
0
¯x
T
0
R|x
0
|
> 0 , R < γ .
Y
I
0
(I 0) γI
> 0 .
Θ =
A
r
B
r
C
r
D
r
A
c
= A
0
+ BΘC , C
c
= C
0
+ DΘC ,
A
0
=
A 0
n
x
×k
0
k×n
x
0
k×k
, B =
0
n
x
×k
B
I
k
0
k×n
u
,
C =
0
k×n
x
I
k
C
2
0
n
y
×k
, C
0
= (C
1
0
n
z
×k
) ,
D = (0
n
z
×k
D) .
Θ
Ψ + P
T
Θ
T
Q + Q
T
ΘP < 0 ,
Ψ =
A
0
Y + Y A
T
0
Y C
T
0
C
0
Y −γI
,
P = (CY 0) , Q = (B
T
D
T
) .
Θ
W
T
P
A
0
Y + Y A
T
0
Y C
T
0
C
0
Y −γI
W
P
< 0 ,
W
T
Q
A
0
Y + Y A
T
0
Y C
T
0
C
0
Y −γI
W
Q
< 0 ,
γ
W
P
P
W
Q
Q
P = (CY 0) = G
Y 0
0 I
, G = (C 0) ,
W
P
=
Y
−1
0
0 I
W
G
.
γ k
(n
x
+ k) × (n
x
+ k) X = X
T
> 0 Y = Y
T
> 0
W
T
G
A
T
0
X + XA
0
C
T
0
C
0
−γI
W
G
< 0 ,
W
T
Q
Y A
0
+ A
T
0
Y Y C
T
0
C
0
Y −γI
W
Q
< 0 ,
Y
I
0
(I 0) γI
> 0 .
Y
Θ
X Y XY = I
A
0
C
0
X Y
X =
X
11
X
12
X
T
12
X
22
, Y =
Y
11
Y
12
Y
T
12
Y
22
.
G =
0
k×n
x
I
k
0
k×n
z
C
2
0
n
y
×k
0
n
y
×n
z
, Q =
0
k×n
x
I
k
0
k×n
z
B
T
0
n
u
×k
D
T
,
W
G
W
Q
W
G
=
W
C
2
0
0 0
0 I
, W
Q
=
W
(1)
Q
0
W
(2)
Q
,
W
(1)
Q
W
(2)
Q
B
T
W
(1)
Q
+ D
T
W
(2)
Q
= 0 .
W
C
2
0
0 0
0 I
T
A
T
X
11
+ X
11
A A
T
X
12
C
T
1
? 0 0
? ? −γI
W
C
2
0
0 0
0 I
,
W
(1)
Q
0
W
(2)
Q
T
Y
11
A
T
+ AY
11
AY
12
Y
11
C
T
1
? 0 Y
T
12
C
T
1
? ? −γI
W
(1)
Q
0
W
(2)
Q
,
X
11
Y
11
X Y
W
C
2
0
0 I
T
A
T
X
11
+ X
11
A C
T
1
C
1
−γI
W
C
2
0
0 I
< 0 ,
N
T
Y
11
A
T
+ AY
11
Y
11
C
T
1
C
1
Y
11
−γI
N < 0 ,
W
C
2
N = (W
(1)
Q
, W
(2)
Q
)
C
2
(B
T
D
T
)
γ
X
11
= X
T
11
> 0 Y
11
= Y
T
11
> 0
X
11
I
I Y
11
≥ 0 ,
(I − X
11
Y
11
) ≤ k
X > 0 Y > 0 X
11
Y
11
X
11
< γI .
Y
11
Y
12
I
Y
T
12
Y
22
0
I 0 γI
> 0 ,
Y
22
> 0 ,
Y
11
− Y
12
Y
−1
22
Y
T
12
I
I γI
> 0 .
Y > 0
X
11
Y
11
X
−1
11
I
I γI
> 0 ,
X
11
< γI
γ k
(n
x
× n
x
) X
11
= X
T
11
> 0 Y
11
= Y
T
11
> 0
γ (k =
n
x
)
γ
(n
x
×
n
x
) X
11
= X
T
11
> 0 Y
11
= Y
T
11
> 0
W
C
2
0
0 I
T
A
T
X
11
+ X
11
A C
T
1
C
1
−γI
W
C
2
0
0 I
< 0 ,
N
T
Y
11
A
T
+ AY
11
Y
11
C
T
1
C
1
Y
11
−γI
N < 0 ,
X
11
< γI ,
X
11
I
I Y
11
≥ 0 ,
W
C
2
N C
2
(B
T
D
T
)
Y
11
Y Θ
Y
12
Y
22
Y
11
− X
−1
11
= Y
12
Y
−1
22
Y
T
12
,
Y
12
= Y
22
=
V > 0 V = Y
11
− X
−1
11
γ
˙x
1
= x
2
,
˙x
2
= −ω
2
0
x
1
− δx
2
+ u ,
z
1
= x
1
,
z
2
= u ,
y = x
1
A, B, D
C
1
=
1 0
0 0
, C
2
= (1 0) .
γ
γ ω
0
= 10
δ = 0.1 γ = 2.0354
X
11
=
2.0354 0.0011
0.0011 1.5211
, Y
11
=
0.4914 −0.0593
−0.0593 49.1470
,
γ
˙x
r
=
−57.8622 −0.0702
−0.0671 −0.1424
x
r
+
0.1201
−98.6673
y ,
u = (−0.0255 − 0.0420)x
r
− 0.0050y .
