Белов А.В., Коровин Ю.В. Устойчивость электрических систем
Подождите немного. Документ загружается.
111
противление каждой полуобмотки такого трансформатора в два раза
больше, чем у трансформатора без расщепления вторичной обмотки.
Трехобмоточные трансформаторы
Трехобмоточные трансформаторы предназначены для связи элек-
трических сетей трех номинальных напряжений: высшего
B
U
=
35...220 кВ, среднего
C
U
= 20...35 кВ и низшего
H
U
= 6...1О кВ. Гра-
фическое изображение и схема замещения трехобмоточного транс-
форматора приведены на рисунке 2.4. Поперечные параметры схемы
замещения такие же, как у двухобмоточного трансформатора, и опре-
деляются по выражениям (П1.20), (П1.21) и (П1.23).
Продольные параметры трехобмоточного трансформатора пред-
ставлены трехлучевой схемой, каждый луч которой соответствует
одной из трех обмоток трансформатора.
В паспортных данных трехобмоточного трансформатора допол-
нительно к данным двухобмоточного указывается номинальное сред-
нее напряжение
CН
U
и три значения напряжений короткого замыка-
ния
с-кв
u
%,
н
-
кв
u
%
И
н
-
кс
u
%, полученные в трех опытах короткого за-
мыкания. Так, например, напряжение
н
-
кс
u
% замеряется на подклю-
ченной к источнику обмотке среднего напряжения при замкнутой на-
коротко обмотке низшего напряжения, разомкнутой обмотке высшего
напряжения; напряжение на средней обмотке обуславливает протека-
ние по обмоткам среднего и низшего напряжений номинальных то-
ков.
Рисунок П1.5 – Графическое изображение (а) и схема замещения (б)
трехобмоточного трансформатора
112
Продольные параметры определяются отдельно для каждой ветви
трехлучевой схемы замещения. Общее активное сопротивление
трансформатора
T
R
определяется по выражению (П1.14). Активные
сопротивления отдельных обмоток трансформатора равны между со-
бой:
TTHTCTB
5,0 RRRR
=
=
=
. (П1.31)
Для определения реактивных сопротивлений обмоток трехобмо-
точного трансформатора используются каталожные значения напря-
жений короткого замыкания, которые для каждой пары обмоток
можно записать как:
%%%
ксквс-кв
uuu +=
;
%%%
кнквн-кв
uuu +=
; (П1.32)
%%%
кнксн-кс
uuu +=
.
Решая систему (2.22) относительно формальных значений напря-
жений короткого замыкания каждой обмотки
)нс,в,(
к
i
=
iU
, получим
;%)%%(5,0%
н
-
ксн
-
квс
-
квкв
uuuu
−+=
;%)%%(5,0%
н
-
квн
-
ксс
-
квкс
uuuu
−+=
(П1.33)
.%)%%(5,0%
с
-
квн
-
ксн
-
квкн
uuuu
−+=
Реактивные сопротивления обмоток трансформатора вычисляют-
ся по выражениям, аналогичным (2.8):
2
кв BH
TВ
т ном
%
;
u U
Х
S
=
;
%
номт
2
BHкс
TС
S
Uu
Х =
(П1.34)
;
%
номт
2
BHкн
TН
S
Uu
Х =
Выражения для потерь мощности в трехобмоточном трансформа-
торе отличаются от выражений (П1.24) и (П1.25) для двухобмоточно-
го трансформатора суммой потерь мощности в каждой обмотке
трансформатора
;
2
ном
Ti
2
xT
U
RS
P
Р
i
Σ+∆≅∆
(П1.35)
113
.
2
ном
Ti
2
xT
U
XS
QQ
i
Σ+∆≅∆
(П1.36)
где
i
S
– мощность, протекающая по каждой
i
-й обмотке трансформа-
тора
)нс,в,(
=
i
.
Эти потери приближенно могут быть выражены через каталож-
ные данные трансформаторов по аналогии с выражениями (П1.26) и
(П1.27)
;5,0
2
номт
2
кxT
S
S
РPР
i
Σ∆+∆≅∆
(П1.37)
номт
2
кi
номтx
T
100
%
100
%
S
Su
SI
Q
i
Σ+≅∆
. (П1.38)
114
Приложение 2 Пассивные четырехполюсники
При анализе электрических цепей в задачах исследования взаи-
мосвязи между переменными (токами, напряжениями, мощностями и
т.п.) двух каких-то ветвей схемы широко используется теория четы-
рехполюсников. Четырехполюсник – это часть схемы произвольной
конфигурации, имеющая две пары зажимов (отсюда и произошло его
название), обычно называемые входными и выходными.
Примерами четырехполюсника являются трансформатор, усили-
тель, потенциометр, линия электропередачи и другие электротехни-
ческие устройства, у которых можно выделить две пары полюсов.
В общем случае четырехполюсники можно разделить на актив-
ные, в структуру которых входят источники энергии, и пассивные,
ветви которых не содержат источников энергии.
Ниже будут рассмотрены элементы теории пассивных четырех-
полюсников.
Для записи уравнений четырехполюсника выделим в произволь-
ной схеме ветвь с единственным источником энергии и любую дру-
гую ветвь с некоторым сопротивлением
2
Z
(см. рисунок П2.1,а).
Рисунок П2.1 – Пассивные четырехполюсники: а – с сопротивлением
2
Z
ɺ
на выходе; б – с заменой сопротивления на источник
напряжения
2
U
ɺ
В соответствии с принципом компенсации заменим исходное со-
противление
2
Z
ɺ
источником с напряжением
2 2 2
U I Z
= ⋅
ɺ ɺ ɺ
(см. рисунок
П2.1,б). Тогда на основании метода наложения для цепи на рисунке
П2.1,б можно записать
1 11 1 12 2
I Y U Y U
= ⋅ − ⋅
ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ
(П2.1)
2 21 1 22 2
I Y U Y U
= ⋅ − ⋅
ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ
115
(Принцип наложения формулируется так: ток в любой ветви цепи
с неизменными сопротивлениями равен алгебраической сумме токов,
создаваемых в этой ветви каждой из ЭДС в отдельности).
В выражениях (П2.1) и (П2.2):
11
Y
ɺ
– собственная проводимость цепи первого источника;
12
Y
ɺ
– взаимная проводимость цепей первого и второго источни-
ков;
22
Y
ɺ
– собственная проводимость цепи второго источника;
21
Y
ɺ
– взаимная проводимость цепей второго и первого источни-
ков.
Собственные проводимости (
11
Y
ɺ
и
22
Y
ɺ
) определяют абсолютное
значение и фазу тока в цепи данного источника (
1
U
ɺ
или
2
U
ɺ
) при от-
сутствии ЭДС другого источника.
Взаимные проводимости (
12
Y
ɺ
и
21
Y
ɺ
) определяют абсолютное зна-
чение и фазу тока в цепи данного источника, обусловленного ЭДС
другого источника.
Решая полученные уравнения (П2.1) и (П2.2) относительно на-
пряжения и тока на первичных зажимах (рисунок П2.2), получим:
U
1
U
2
I
1
I
2
П
Рисунок П2.2 – Пассивный четырехполюсник
22
1 2 2
21 21
1
;
Y
U U I
Y Y
= ⋅ + ⋅
ɺ
ɺ ɺ ɺ
ɺ ɺ
22 11 22 12 21 11
1 11 2 2 12 2 2 2
21 21 21 21
1
;
Y Y Y Y Y Y
I Y U I Y U U I
Y Y Y Y
⋅ − ⋅
= ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅
ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ
ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ
ɺ ɺ ɺ ɺ
или
1 2 2
;
U A U B I
= ⋅ + ⋅
ɺ
ɺ ɺ ɺ ɺ
(П2.3)
116
1 2 2
;
I C U D I
= ⋅ + ⋅
ɺ
ɺ ɺ ɺ ɺ
(П2.4)
где
, , ,
A B C D
ɺ ɺ
ɺ ɺ
– коэффициенты четырехполюсника:
22
21
;
Y
A
Y
=
ɺ
ɺ
ɺ
21
1
;
B
Y
=
ɺ
ɺ
11 22 12 21
21
;
Y Y Y Y
C
Y
⋅ − ⋅
=
ɺ ɺ ɺ ɺ
ɺ
ɺ
11
21
.
Y
D
Y
=
ɺ
ɺ
ɺ
Учитывая, что в соответствии с принципом взаимности
12 21
Y Y
=
ɺ ɺ
,
видно, что коэффициенты четырехполюсника связаны между собой
соотношением
1.
A D B C
⋅ − ⋅ =
ɺ ɺ
ɺ ɺ
(П2.5)
Уравнения (П2.3) и (П2.4) представляют собой основные уравне-
ния четырехполюсника.
Нетрудно доказать, что, если перейти от питания со стороны
входных зажимов к питанию со стороны выходных зажимов, то по-
стоянные
B
ɺ
и
C
ɺ
не изменятся, а постоянные
A
ɺ
и
D
ɺ
меняются в
уравнениях местами:
2 1 1
U D U B I
= ⋅ + ⋅
ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ
(П2.6)
2 2 1
I C U A I
= ⋅ + ⋅
ɺ ɺ
ɺ ɺ ɺ
(П2.7)
Определение коэффициентов четырехполюсника
При практическом использовании уравнений четырехполюсника
для анализа цепей необходимо знать значения его коэффициентов.
Коэффициенты четырехполюсника могут быть определены экспери-
ментальным или расчетным путями. При этом в соответствии с соот-
ношением (П2.5) определение любых трех коэффициентов дает воз-
можность определить и четвертый.
Один из наиболее удобных экспериментальных методов опреде-
ления коэффициентов четырехполюсника основан на опытах холо-
стого хода и короткого замыкания при питании со стороны вторич-
ных зажимов и при питании со стороны первичных зажимов.
1. Опыт холостого хода при питании со стороны первичных
зажимов.
117
При таком режиме (см. рисунок П2.2) очевидно, что
0
2
=I
ɺ
. То-
гда выражения (П2.3) и (П2.4) примут вид:
10 2
U A U
= ⋅
ɺ
ɺ ɺ
,
10 2
I C U
= ⋅
ɺ
ɺ ɺ
,
отсюда найдем выражение входного сопротивления цепи в режиме
холостого хода:
10
10
10
U
A
Z
I C
= =
ɺ ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
. (П2.8)
2. Опыт короткого замыкания при питании со стороны пер-
вичных зажимов.
При этом режиме выходные зажимы четырехполюсника (см. ри-
сунок П2.2) закорочены и, следовательно,
0
2
=U
ɺ
. При этом напря-
жение
1
U
ɺ
установлено таким образом, чтобы ток
2
I
ɺ
на выходе четы-
рехполюсника имел номинальное значение. Соответственно выраже-
ния (П2.3) и (П2.4) в этом случае примут вид:
1 1
к н
U B I
= ⋅
ɺ ɺ ɺ
,
1 1
к н
I D I
= ⋅
ɺ
,
отсюда найдем выражение входного сопротивления цепи при корот-
ком замыкании на выходе:
1
1
1
к
к
к
U
B
Z
I D
= =
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ ɺ
. (П2.9)
3. Опыт холостого хода при питании со стороны вторичных
зажимов.
Если перейти от питания со стороны входных зажимов к питанию
со стороны выходных зажимов, то, в соответствии с выражениями
(П2.6) и (П2.7) постоянные
B
ɺ
и
C
ɺ
не изменятся, а постоянные
A
ɺ
и
D
ɺ
меняются в уравнениях местами. Тогда, при условии холостого
хода
0
1
=
I
ɺ
, уравнения (П2.6) и (П2.7) примут вид:
20 1
н
U D U
= ⋅
ɺ ɺ ɺ
,
20 1
н
I C U
= ⋅
ɺ
ɺ ɺ
.
В этом случае комплекс входного сопротивления со стороны вы-
ходных зажимов будет равен:
118
20
20
20
.
U
D
Z
I C
= =
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
(П2.10)
4. Опыт короткого замыкания при питании со стороны вы-
ходных зажимов.
При этом режиме входные зажимы закорачиваются и, следова-
тельно,
0
1
=
к
U
ɺ
. Уравнения (П2.6) и (П2.7) в этом случае примут вид:
2 1
к н
U B I
= ⋅
ɺ ɺ
,
2 1
к н
I A I
= ⋅
ɺ
ɺ
.
Входное сопротивление со стороны выходных зажимов имеет
вид:
2
2
2
к
к
к
U
B
Z
I A
= =
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
. (П2.11)
Известно, что связь между сопротивлениями холостого хода и
короткого замыкания пропорциональна, т.е.:
1 2
10 20
к к
Z Z
Z Z
=
ɺ ɺ
ɺ ɺ
. (П2.12)
Подставляя коэффициенты четырехполюсника в (П2.12) с учетом
(П2.5) получим:
10
20 2
;
к
Z
A
Z Z
=
−
ɺ
ɺ
ɺ ɺ
2
;
к
B A Z
= ⋅
ɺ
ɺ ɺ
(П2.13)
10
;
A
C
Z
=
ɺ
ɺ
ɺ
20
;
D C Z
= ⋅
ɺ
ɺ ɺ
Все многообразие простейших (или элементарных) четырехпо-
люсников можно свести всего к двум типам: Т-образному и П-
образному. Остальные четырехполюсники могут рассматриваться как
комбинация этих двух, либо как часть их.
Рассмотрим эти виды четырехполюсников.
Т-образный четырехполюсник
Схема Т-образного четырехполюсника представлена на рисунке
П2.3.
119
1
Z
ɺ
2
Z
ɺ
3
Z
ɺ
1
I
ɺ
2
I
ɺ
1
U
ɺ
2
U
ɺ
Рисунок П2.3 – Т-образный четырехполюсник
Найдем входные сопротивления Т-образного четырехполюсника,
произведя вышеперечисленные опыты.
Так опыт холостого хода при питании со стороны первого источ-
ника (
0
2
=I
ɺ
) дает следующий результат:
10 1 2
.
Z Z Z
= +
ɺ ɺ ɺ
Опыт холостого хода при питании со стороны второго источника
(
0
1
=I
ɺ
) дает:
20 2 3
.
Z Z Z
= +
ɺ ɺ ɺ
Наконец, опыт короткого замыкания при питании со стороны
второго источника (
0
1
=U
ɺ
)дает
1 3
2 2
1 3
к
Z Z
Z Z
Z Z
⋅
= +
+
ɺ ɺ
ɺ ɺ
ɺ ɺ
Используя выражения (П2.13) определим коэффициенты
, , , :
A B C D
ɺ ɺ
ɺ ɺ
10
1
20 2 3
1 ;
к
Z
Z
A
Z Z Z
= = +
−
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ ɺ ɺ
1 2
2 1 2
3
к
Z Z
B A Z Z Z
Z
⋅
= ⋅ = + +
ɺ ɺ
ɺ
ɺ ɺ ɺ ɺ
ɺ
(П2.14)
10 3
1
;
A
C
Z Z
= =
ɺ
ɺ
ɺ ɺ
2
20
3
1 ;
Z
D C Z
Z
= ⋅ = +
ɺ
ɺ
ɺ ɺ
ɺ
Правильность расчетов всегда можно проверить, используя вы-
ражение (П2.5):
1 2 1 2
1 2
3 3 3 3
1
1 1 1,
Z Z Z Z
A D B C Z Z
Z Z Z Z
⋅
⋅ − ⋅ = + ⋅ + − + + ⋅ =
ɺ ɺ ɺ ɺ
ɺ ɺ
ɺ ɺ ɺ ɺ
ɺ ɺ ɺ ɺ
что подтверждает правильность расчетов.
120
П-образный четырехполюсник
Схема П-образного четырехполюсника представлена на рисунке
П2.4.
1
Z
ɺ
2
Z
ɺ
3
Z
ɺ
1
I
ɺ
2
I
ɺ
1
U
ɺ
2
U
ɺ
Рисунок П2.4. П-образный четырехполюсник
Расчеты, аналогичные вышеприведенным, дают следующие ре-
зультаты:
2
;
B Z
=
ɺ ɺ
2
3
1 ;
Z
A
Z
= +
ɺ
ɺ
ɺ
1 2 3
1 3
;
Z Z Z
C
Z Z
+ +
=
⋅
ɺ ɺ ɺ
ɺ
ɺ ɺ
2
1
1 ;
Z
D
Z
= +
ɺ
ɺ
ɺ
(П2.15)
Проверка:
( )
1 2 3
2 2
2
3 1 1 3
1 1 1,
Z Z Z
Z Z
A D B C Z
Z Z Z Z
+ +
⋅ − ⋅ = + ⋅ + − ⋅ =
⋅
ɺ ɺ ɺ
ɺ ɺ
ɺ ɺ
ɺ ɺ ɺ
ɺ ɺ ɺ ɺ
что подтверждает правильность расчетов.
Г-образный четырехполюсник
Схему Г-образного четырехполюсника легко проанализировать,
используя схему П-образного четырехполюсника, в котором сопро-
тивление
3
Z
принято равным бесконечности (рисунок П2.5).
1
Z
ɺ
2
Z
ɺ
3
Z
= ∞
ɺ
1
I
ɺ
2
I
ɺ
1
U
ɺ
2
U
ɺ
Рисунок П2.5 – Г-образный четырехполюсник
Используя выражения (П2.15) при условии
3
Z
=∞
ɺ
, получим:
1;
A
=
ɺ
2
;
B Z
=
ɺ ɺ
1
1
;
C
Z
=
ɺ
ɺ
2
1
1 ;
Z
D
Z
= +
ɺ
ɺ
ɺ
(П2.16)