Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений

Подождите немного. Документ загружается.

7. Вес уравненного значения

измеренной величины х\

Вес величины х'

{

получается как вес функции

«*)-

Вычисления облегчаются тем, что все частные, производные нам

уже известны: = а

1г

8. Вычисление веса неизвестного //

в дополнительной графе

Ваннсав равенство

Ч -Г кг Ч /б).

имеем

Л, . . . о.

>'/=

'/•I

/"1+2= • • • =Рк = 0.

Отсюда вытекает правн.то: для вычисления обратного веса не-

известного выписывают в дополнительной графе У/

— —1

в строке

)-го уравнения основной системы и далее действуют так же, как

при получении обратного веса функции.

9. Оценка точности

Получив вес некоторой уравненной величины у. ее среднюю квад-

ратическую ошибку вычисляем по формуле

где н — ошибка единицы веса.

Доверительные интервалы для истинного значения величины У

получаем но формуле

У—у±1ЛГ

где коэффициент / зависит от принятой доверительной вероятности,

закона распределения п от числа «степенен свободы», т. е. числа

избыточных измерении, или числа независимых истинных ошибок

(невязок), использованных для получения ошибки единицы веса.

Следует учесть, что ошибку единицы веса необязательно брать ту.

которая получена по результатам уравнивания. (_)на может быть

определена другим путем, например пз обработки более обширного

материала ранее выполненных измерении или специально поста-

вленного эксперимента. Анализ производственного материала, если

он достаточно обширен, даег всегда более надежные результаты.

253

§ 67. ПРИМЕРЫ УРАВНИВАНИЯ

ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ СПОСОБОМ С ОЦЕНКАМИ ТОЧНОСТИ

Пример I. Ниже выполнено уравнивание системы ннпелнрпых ходов, пока-

заппых на рпс. « котором применены вст полученные вами формулы оценок

точности. Высоты марок /г>, 22 и 96 являются исходными, высоты грунтовых ре-

перов

<$/>.

02,9.3 п 12

—

определяемыми. Иа рис. 14 выписаны су.ммы превышений

в звеньях ходок н исходные высоты; напранленпл зпеньсп показаны стрелками.

Б кружкях показаны номера звеньев. В табл. 39 приведены длины ходои

кило-

метрах и веса намеренных величии.

В качестве измеренных величия примем суммы превышений в звеньях. Их

веса, как известно нз теорш ошибок измерений, можно ирннять обратно нро-

порциопэлышдш дллвам ходов.

Чтобы получить леса близкими

к единице, их вычислили по формуле

р = 15 Д.

Для удобства вычислении превыше-

ния и высоты будем выражать в милли-

метрах.

Т р е б у о т с я:

1) произвести уравнивание пара-

метрическим способом и получить вы-

соты реперов 86, 02, 93 и 12;

2) иолучить средине квадратнче-

ские ошибки:

а) высот определяемых реперов;

б) разностей высот (Я

Пз

— Я

р6

)

и (//

—

Яи);

в) одиого километра нивелпро-

вапил.

Для контроля вычислений, а такжо для иллюстрации полученных формул

веса оцениваемых величин определим по дна раза различными способами.

В качестве необходимых неизвестных выберем определяемые высоты, ко-

торые обозначим следующим образом:

Иы — 111

Яо;—

Яух

- 1-у,

Очевидно, что необходимых измерений в данном случав будет четыре. На-

иепгм следующий план определения весов неизвестных и лх функций.

Прежде всего вычислим все весовые коэффициенты.

Веса всех неизвестных получим как величины, обратные квадратичным

весовым коэффициентам. Кроме того, веса высот В

1г

— (

п IIрп — 1

получим

как веек двух последних неизвестных, а веса высот Я$« = (

п #02 = —

в дополнительных графах схемы решения нормальных уравнении.

Веса функции

НуА— Яло — (з—

будут получены также по два раза: один раз в дополнительных графах и вто-

рой по формуле

(VI

1.33).

М16

16X508

. шм

Н©—« яр 12 (Н-' 0

'0,905

г,ми

учшг

191,890

Рнс. 14

254

Таблица 39

Помер звена Д.ПН1М хода в, ки

Вес р» 15/5

1.2

0,9

1.1

1,5

0,9

0,7

1,2

1.1

1.0

Выразим теперь измеренные величины, т. е. суммы превышении в звепьях.

через необходимые неизвестные; при этом измеренной велтиве х\ будет придав

номер 1-го звена.

= /п—>8?.506

'I — 'я

аГд

= /

—102 353

—'з

*ь

'а—«I

= 191890

<1 —

191890

(VI 1.38)

Приближенные значения неизвестных, т. е. высот определяемых роиеров,

получим путем распределения повязок в ходах от марки 96 до марок 18 и 22

= 186

29";

|° = 159б27;

190 990; |$

197

941.

Далее вычислим значения свободных членов уравнений поправок, учтивая

формулы (V.24). Результаты нзмерешш выписаны на.рпс. 14.

189

627

—183506—С125 =

С121 —6123

—4

мм.

= 197

941

—189

627

— 8320 - 8314—8320 = -6 мм.

*з= 197

941 —192

353

—

5580 = 5588 -

5580

= +8 мм.

190 990 — 189

627—1308= 1363—1368 =

—3

мм.

Г&=

190

990 —186297

— 4694

= 4693 -

4694

—1

мм.

= 197

941

—186297—11 652=11 644-11 652=—8 мм.

?7= 100

990 — 191

890 +

905

= —900 +

905

= 4-5 мм.

' 197

941

- 190990—

6954

= 6951—6944 =

4-7

мм.

= 186 297 —191

890 4- 5585

= —5593 + 5585=—8 ми.

Составим таблицу коэффициентов (табл. 40) к вычислим коэффициенты

и свободные члены нормальных уравнений. Так как изморепные величины свя-

заны с необходимыми неизвестными ЛИБСГШЫМН функциями простейшего вида,

то козффпциенты уравпеппй поправок будем выписывать сразу в таблицу, учи-

тывая равенства (VII.38).

'Г а о

Л II Ц

С- 3!

с- —

Нос

+ 0.62

О/в

+ 1.25

"/3

—2.10

-1.17

—1

8 1

1,2

0,9

1.1

1,5

0,9

0,7

1,2

1,1

1.0

— 1

—1

±!

-1

+ 1

-4

-6

—5

—1

—8

-3

-6

±1

—1

-8

4-7

—7

—6,10

—5,37

4-6,53

—1,65

—0,37

-10,09

4-6,25

+4,28

-7,38

6,69

5,09

6,85

2,02

0,35

8,43

6,85

4,50

7,38

\Р

1 Р"2

IР^

1ра*

1р1

2,6

-0,9

4.7

-1.5

З.С

-0,7

—1,1

—0,9

3,8

—1,5

—10,1

4-8,1

л-5,5

353,1

-0.5

-8,9

4-9,3

4-6,6

355.1

\р г

] = 314,5

В графе

табл. 40 выписаны сопраикп, прнведеппыо к равноточному виду

по формуле

г'вг)'?.

В пписисй часта таблицы вычислены коэффициенты нормальных уравнений.

В табл. 41 дано ретеппе нормальных уравнений на логарифмической ли-

нейке с нахождением всех весов и весовых коэффициентов согласно заданию.

В графу л' выписаны суммы коэффициентов соответствующих уравнений, вклю-

чая и частные производные, необходимые для оценки точности.

Вес неизпестного /

равен-У'^ = 2,61. Вес предпоследнего неизвестного 1

равен

3.0!)

•> —^ ог.) о V)

\-(2)

1,1

2.61 -

П.1И1

-—

4 I

Обратимся теперь к таблице коэффициентов (см. табл. 40). Выписал в заго-

ловках граф этой таблицы значеппя поправок т для необходимых неизвестных,

найдем по формуле (\\25) поправки

и затем |/>«/

] = 314,5.

Для получения [/>1/-) сразу на арифмометре, без промежуточных записей,

предварительно пычнеляют значеппя г' = г) р, после чего получают

|,'г2]=Иг'

Это значение почти совпадает с тем. которое получено в графе I табл. 41

внизу, что является о длим из основных контролен правильности уравнительных

вычислений.

Необходимо иметь в виду, что вычисления в табл. 41, расположенные ниже

строыг по контролируются в графе 5, поэтому их нужно выполнять в две

руки. Вычисления неизпестныж

«горке» коитролируют суммарпым уравнением.

Получим теперь системы вео.оиых коэффициентов но способу Гаизеиа.

4-я с

с т е

<рп=1/2.'П

<?.13

I > '.40 •

0.383 4-0.168.

<?ц

= -0.342-0.1Я8-4.0.306

;

0.118

= 4-0.170.

0ц = -0,?/,П.0,170-4-0.2СУ-0.38.4= - »>.ОП »>.103=4 0.1С4.

256

Контроль

-,1,0.0.164 ; 1.2-0.170-5- 1.2-0.1С8+1.1 -0.383 0.1М ^0.211 - о202 +

0.421 ^

0.998.

3-я система

031 = 0ю-

О.11«.

0эз = ! 0.440

0.108 !

/3.09 -0.07', - 0.324

-г

..0.3«!8.

0аг+0,3'|2

•

0.398+0.306

• 0,!С8 —

• 0.136 +

0.051

-+0.187-

0:п =+0,346

0.187 + 0.269-0.168-= +0.065 +

0.045

=0.1 К».

Контроль

+0.1

1-0.221 4 0/.78- 0.1«5 +0.997.

2-я система

0г«-01з- т".176.

Сгз —

03з = +0-187.

а- 0,312

- 0.187

+ 0.306

0.176 +

/4.39 = +0.064+0.054 +

0.228

= -0.346.

Он г0.346

• 0.346

+0.269.0,176 = +0.120 + 0.047 = +0.167.

Контроль

п-0.167 + 0.415 +

0.224

0.19'.

- +1.000.

1-я система

0ц -0и - ,-о.1П4.

013=03, - 0.110.

012 ^021=

0.167.

(}

4-0,346

•

0,167 +

0,269 -

0,164 -

/2.6»

- -

4 0,058

н 0.014

0.385

-- -0.487.

Контроль

+0И87 +

0,200

+ 0,132+0.180 - 0,999.

Внизу, под строкой «Контроль по суммарному уравнению», вычислена

система весовых коэффициентов ()

- (4=1, . . ., 4) при номощи дополнитель-

ной графы, и качестве которой послужила графа Результаты сходятся со

спосооом Гакзеяя. Нетрудио убедиться, что в этой графе выиолшшы точио

такие же действия, как и для получения указанных весовых коэффициентов.

Вычисления в «горке» такие же, как и при получении пспзвестпых т. ио

и качестве графы I при вычислении значений 0ц- служит графа /,.

Для иолучеиия величии <)

,- могла бы послужить графа

1г.

Получим теперь

обратные веса функций по формуле 0*11-33).

Для Р

=1з-^

= — 20

+ 0:п -0.',87 - 0.220 + 0.398 = +0.665.

Для

=Ц-(

7Г = ^

-20

4 + 041=0.356 -0.352 +

0.333

= 0.377.

Сравиим обратпые веса, полученные разными сиособами.

Обратные веса не известных:

в дополпитедыгои графе — 1/Р, = 0,48; 0ц = 0,487;

то же -!//>- = 0,35; ()

2г

= 0,346;

1 /р

= 1/2,52 = 0,397, где 2,52 — вес предпоследнего неизвестного; <?

= 0,398;

1 //>

= 1/2,61 = 0,383, где 2,61 — вес последнего неизвестного. Эта величина

явилась исходной для вычисления исох весовых коэффициентов.

17 Заказ 1140

Урлинс-

>иш

т« т<

Л',

Ь\

2.60

—0.90

+0.346

+4.70

—0,31

—1.50

-0.70

+0.269

-1.10

—0,24

Л'а

У»

4.39

— 1,50

+0.342

з.со

-0,51

—1,34

+0.306

-0.90

-0,46

Еъ

3.09

-1,36

0,440

3.80

-0.18

-0.41

-0.60

а С

к п л

(

Г,-<.-<»

1»

Контроль

— 1.50

0.577

—10.10

—0.52

1.00

-0.385

+0.35

1.00

-1.00

+0,385

-0.35

— 1.00

-0.50

4-0.192

—8.90

—0.17

+0.1*2

-10.02

-(-2.420

+8,10

-3.62

+0.35

-0,080

-1.00

4-0,10

+ 1,00

-0.228

4-0, Уд

-0,35

+0.080

-0,10

-1.00

+0.228

-0,34

—9.07

+2,068

+8.30

-3.10

—9.07

2.070

4-4.48

— 1,451

4-5.50

—0.39

-3.25

1.97

-0,90

+0,291

+0,27

+0.11

-0,40

+0.34

-О.ИО

-1,00

+0,31

+0.15

-0,10

+0,032

-0.27

-0.11

-0.04

-0,34

+0.110

—0.31

-0.15 |

+5.21

-1.087

+5.60'

—0,/3 |

—2.77

+2.9(1

+5,20

— 1.688

Ф аз

т"

ет

о оооооо

I + III

-0.35

ооооооо

1 + II 1

со

<г О СО

—•

О ОООООО

1 + III

со

мо

ор со

о о сорс^

о оооооо

1+111

г-

о*

ГО

ООООО

ОС V? 00

1-;

1С

СО

-(ООЙО

1С

17М

— о с о

1111

мое

Мчг

—"о'

о'

а.

>> -

с.

"О

сч

гч

-1.

"О

Л.

ем"

с.

г!

1Я

сч)

.—•—.

еч

мою

со 'Лоа

рой

сэос*

.1—1

1 1

с"

Ч"

— о с с

о о с'о

++++

мш

Её

V? Г—

«л

5ос

1С

гго"

Обратные веса ф у и к н а й:

Для ?! ~ 1

— — 0,065 — по формуле

(VI 1.33);

у = 0,67 — в донод.

нптелъиой графе.

I 1

Для Г

= /

—

2 :

— = 0,377 — по формуле

(VI 1.33);

у = 0,38 — в допол-

нительной графе.

Найдем теперь средние квидратичеекпе ошибки.

Вычислим сначала ошибку единицы веса

.»

= V мм.

где 9 — число измеренных величии, 4 — число необходимых величии.

Средине квадратичеекпо ошибки неизвестных

т, =

7.9 К^Г,

=6 мм;

ни

—

7,0) (>

= о мм;

/я

= 7.91 Оуз = 5 мм;

'«4

7,9

К^п = 5 мм.

Средиве квадратпчсскис ошибки разиостеи высот

, = ",91 (Л67 = 6.5 мм;

.1/

7,9)

/Г

«Ш

4.9

мм.

Следует иметь в виду, что при пяти избыточных измерениях точность вы-

числения средних квадратичсских ошибок будет характеризоваться ошибкой

т'У 10 0,3т, т. е. в нашем случае велкчплами порядка 2 мм *. Однако соот-

ношения весов будут сохраняться.

Средняя квадратпческая ошибка нивелирования одного километра

///,

„ =

7.9

: I 15 = 2 мм,

так как вес хода протяжением 5=1 км рпвеи 15.

Внесем поправки в результаты измерений

(хе

= Х[ + у,-) и п ириближеиные

значения по известных {ц = I® + т,) и проверим справедливость равенств

*)=//('! Ы («=» ");

186

297+0,6=186 297.6 им;

и = +

190

990+1,2 =

190

991,2 мм;

/»

+ т

189627

2,1

189

624,9 мм;

< I

+ =

Н>7 941

1.5

197

939,5 мм.

• Прп установлении доверительных граииц здесь удовлетворительных ре-

зультатов получить нельзя, так как ири г

—

а — к < 6 непригодно и распреде-

ление Стьюдента. Для ошибки едшшцы леса следовало бы получить зиаченне

на осиопс предыдущего опыта применении нивелирования. Однако получепноо

значение т

1К

* - 2 мм согласуется с #тнм опытом, поэтому р мы оставили без

изменений.

2<Я«

далее-, учитывая равенства (VI 1.38), получаем

—

-г0125—6,1 =»+(И

18,0;

624,0— 1^500 -- -6118,'.»:

''в

- +8320-5/. = г

8314,6;

197

9:У.|,Г,_ |

'|02'..!! - +8314.Г»;

••«•

Г.580

+ 6,5=+5586,5; «

197

УЗй.5—102 353-

5586.5:

Г4

-= 1368— 1,6 = + 1366,4; «190991.2-189624.'» = ; 1:166.3;

;

-!- 46У4 — 0.4

+ '|0У3.6; х\ -- 190991,2

—186 297.6

= -г41ЯЗ.П;

;

г с

И 652— 10.1 4

641,9. ^ ~

197

93У-5—18(1297.6= +

641.9:

. + г. -=

—905

+ 6,2 — 898,8; х\-

1<Ю

991,2—191 890 - —898.8;

.г

+г„

—

+6944+4,3-= +

69'.8.3: х^

197

939.5-190

991.2

-- г-6948.3:

'"з — —

5585 — 7,4

— — 5592,V.

х\ - 186297.0—

1У1

89й — 5592.4.

За исключением одного случая, коитрольныо раиенстви удовлетворяются

точно. Расхождение же в 0,1 мм, конечно, вполне допустимо.

Рис. 15

Пример 2. В треугольнике ЛИС (рис. 15) известны координаты вершины А.

Для определения координат двух других вершин измерены: дирекциоиный угол

стороны ВС (а

вс

), три угли Л, ^ Н и С) н три сторопы ($

лВ

, $

ос

и 5

СЛ

), всего семь величин.

Обозначим

А.

;

$д

—.г

;

/.В

—

; *вс~

I. С—з

; х

с л

=*-„

Получены следующие результаты измерений:

г, 338° 01' 43";

46" 25' 15" |

--= 68°

0Г

27"

1 И- -9":

- 65

33'09" )

= 1000,000 м;

795,881 м;

1018,660 м.

Дирскцношшм угол г, нолучеп через азимут Лапласа, определенный двумя

комплектами гиротеодолитов в прямом и обратном папрппленнях (из этих опре-

делений взято среднее). Точность определения характеризуется средней квадра-