Цейтлин Н.А. Из опыта аналитического статистика
Подождите немного. Документ загружается.
3
Для того, чтобы построить ДИ для каждого из М параметров, надо узнать доверительную
вероятность 1 - Р, с которой необходимо строить каждый из них.
Для пар дисперсий
2
ix
S
и
2
jx
S
, имеющих точно или приблизительно равные числа степеней
свободы f
i
и f
j
справедливо условие отклонения нулевой гипотезы о равенстве дисперсий
{
}
{
}
3,/23
2222
,,,
max,min,
rHliH
ffijffixjxixjx
FFSSSS
α
<= , где f
r
= f
i
и f
3H
= f
j
, если S
ix
> S
jx
f
r
= f
j
и f
3H
= f
i
,
если S
ix
< S
jx
(α/2l = α/[М(М – 1)].
По методу ДИ строим М интервальных оценок СО σ
ix
и σ
jx
(все числа f
i
(
1,
iM
= ) усредняем,
чтобы строить ДИ с одинаковыми плечами (1.3): (lgS
ux
- ∆
MH
, lgS
ux
+ ∆
MB
); u = i, j; 1 ≤ i < j ≤ M, где
∆
MH
и ∆
MB
– нижнее и верхнее плечи ДИ ∆
MH
= 0,5lgF
∞
,f,p/2
; ∆
BH
= 0,5lgF
f,
∞
,p/2
, построенные так,
чтобы на заданном уровне значимости условие отклонения гипотезы Н
0
имело вид
lgS
ix
– lgS
jx
> ∆
MH
+ ∆
MB
. (1.4)
Приравняем условия отклонения гипотезы Н
0
– (1.3) и (1.4) и получим
F
f,f,
α
/2l
= F
f,
∞
,p/2
⋅F
∞
,f,p/2
. (1.5)
Решение этой формулы относительно доверительной вероятности 1 - Р, которой
соответствуют построенные ДИ, см. ниже в п. 18.
Зная доверительную вероятность 1 - Р, строим ДИ, где, согласно формулам (1.3), верхняя
граница i-го интервала равна
0,5
,,/2
ixfp
SF
∞
, а нижняя граница i-го интервала -
0,5
,,/2
ixfp
SF
∞
. Если все
ДИ для М параметров пересекаются, то Н
0
не отклоняется на уровне значимости α
к
по методу ДИ.
1.2.5.2. Метод доверительных интервалов для попарного сравнения М центров
распределения случайных величин, если их статистические оценки подчиняются
нормальному закону.
Пусть имеется М независимых оценок
ˆ
x
ν
,
2
ˆ
x
σ
параметров выборок X
R
(
1,
RM
= ) равного
объема N из множества значений
(
)
2
~,
RR
Rxx
XN
νσ
и известно, что
1
222
...
M
xxx
σσσ
===
.
Необходимо проверить с уровнем значимости α
к
нулевые гипотезы о равенстве центров
распределений величин Х
1
, Х
2
… Х
М
, то есть
(
)
0
: ,1,, , 1,
nij
xx
HijMijnl
νν
=∈≠=
;
2
(1)/2
M
lCMM==−, (2.1)
где l – число проверяемых гипотез против альтернатив
1
:
nij
xx
H
νν
≠
.
Аналитическое решение.
В нашем случае дисперсии М случайных величин X
R
(
1,
RM
=
) равны между собой.
Следовательно, оценка дисперсий
2212
1
ˆˆ
i
M
xxx
i
M
σσσ
−
=
=→
∑
.
Условие отклонения нулевой гипотезы (2.1) имеет вид
2
/2
ˆ
ˆˆ
ˆ
2
nijxl
ZZ
α
ννσ=−>, (2.2)
где Z
α
/2l
- верхний α/2l - предел нормированного нормального распределения
(
)
,1,
ijM
∈
,
ij
≠
,
(
)
1,
nl
=
.
Эта задача может быть решена графически методом ДИ. На графике строят М интервальных
оценок параметров
(
)
ˆˆ
, 1,
kMkM
ddkM
νν−+= (2.3)
с размахом 2d
M
. Гипотеза (2.1) отклоняется, если
(
)
M
ˆˆ
2d ,1,
ij
ijMij
νν
−>=≠
. (2.4)
Для вычисления полуразмаха 2d
M
комбинируем (2.3) и (2.4); получаем
M/2
ˆ
2d2
l
Z
α
σ= . (2.5)
Если бы нам требовалось найти интервальную оценку одного параметра с доверительной
вероятностью 1 – Р, то полуразмах ДИ
4
/2
ˆ
.
xp
dZ
σ= (2.6)
Для определения доверительной вероятности 1 – Р, с которой мы строим интервалы (2.3),
заменим в равенстве (2.6)
ˆ
x
σ
на
ˆ
x
σ
. Приравнивая правые части (2.5) и (2.6), получим зависимость
Р от α в неявном виде
Z
p/2
= Z
α
/2l
2
-0,5
. (2.7)
В явном виде функция 1 – Р = f(α) из выражения (2.7) не получается. Аппроксимация этой
функции приведена в п. 14.
1.2.5.3. Метод доверительных интервалов для попарного сравнения М центров
распределения случайных величин, если их статистические оценки подчиняются
распределению Стьюдента.
Дополнение к постановке задачи в п. 2. Укажем, что величина
/
NS
ν имеет
распределение Стьюдента с f степенями свободы.
Аналитическое решение.
Дисперсии М случайных величин X
R
(
1,
RM
=
) равны между собой. Следовательно, оценка
дисперсии
2222
1
ˆ
ˆ
M
xXMxkx
i
SSM
σσ
=
==→
∑
(3.1)
с числом степеней свободы
Mf
при равных
i
f
или
1
M
i
i
Mf
f
=
≈
∑
, если f
i
равны между собой
только приблизительно.
Условие отклонения гипотез (2.1) имеет вид
(
)
(
)
2
/2,
ˆ
ˆˆ
2; ,1,; ; 1,.
nijXMlMf
tSNtijMijnl
α
νν=−>∈≠= (3.2)
Эта задача может быть решена графически методом ДИ.
На графике строим М интервальных оценок параметров
(
)
ˆˆ
, 1,
kMkM
ddkM
νν−+= (3.3)
с размахом 2 d
M
. Гипотеза (2.1) отклоняется, если
(
)
ˆˆ
2, ,1,,
ijM
dijMij
νν
−>∈≠
. (3.4)
Для вычисления полуразмаха d
M
комбинируем (3.2) и (3.4) и получаем
()
0,5
/2,
2.
MXMlMf
dStN
α
−
=
(3.5)
Если бы требовалось найти интервальную оценку одного параметра с доверительной
вероятностью 1 – Р, то полуразмах
d = t
p/2,f
S
x
N
-0,5
. (3.6)
Для определения доверительной вероятности, с которой мы строим (3.3), заменим в
равенстве (3.6) f на Mf, S
x
на
M
X
S
. Приравнивая правые части равенства (3.6) и (3.5), получим
зависимость р от
α
, М, f в неявном виде
t
p/2,Мf
= t
α/2l,Mf
(2)
-0,5
. (3.7)
В явном виде функция 1 – Р = f(α) из выражения (3.7) не получается. Аппроксимация этой
функции приведена ниже в п. 17.
1.2.5.4. Точные аналитические решения предыдущих задач из п.п. 1 – 3.
При проверке гипотез относительно равенства М параметров - центров
R
x
ν
или дисперсий
2
R
x
σ
нормальных распределений друг другу получаем статистики: для дисперсий
(
)
22
ˆ
,,
ˆ
/; ; ,1,,
ijij
ijff
FSSijijM
α
=≠∈
(4.1)
имеющие распределения Фишера; для центров
5
(
)
(
)
ˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
2,
ij
ijx
Z
α
ννσ=−
(4.2)
имеющие распределения Гаусса; для центров
(
)
(
)
ˆ
,
ˆ
ˆˆ
ˆ
2,
ijij
ijxf
tN
α
ννσ=− (4.3)
имеющие распределения Стьюдента с числом f
ij
степеней свободы;
(
)
(
)
(
)
(
)
22
2222
ijiijjiiijjj
fSNSNSNfSNf
=++ - в случае проверки гипотез относительно
математических ожиданий и коэффициентов регрессии и
(
)
(
)
2
2244
ijijiijj
fSSSfSf
=++ - в
случае проверки гипотез относительно коэффициентов корреляции.
Решение (4.1), (4.2), (4.3) относительно
ˆ
ij
α
см. ниже в п. 13, 16, 19, соответственно.
Обозначим
(
)
{
}
ˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
112; ,,
ij
l
sij
sFzt
αα=−−∈. Сравниваем
ˆ
ij
s
α
с α
к
. Если
ˆ
ij
s
α
> α
к
,
параметры i-ый и j-ый отличаются незначимо. Так как матрица, составленная из оценок уровней
значимости
ˆ
ij
s
α
симметрична, удобно приводить только верхнюю треугольную часть матрицы
{
}
ˆ
,
ij
s
ji
α
>
. Место нижней треугольной матрицы занимает матрица индексов U
ij
, где j < i. U = 0,
если
ˆ
ij
s
α
> α
к
, что свидетельствует о незначимом различии соответствующих параметров, иначе
U = 1.
1.2.5.5. Деление на классы однородности [15].
Эта процедура может применяться при проверке гипотез относительно всех параметров
распределения случайных величин при их попарном сравнении, однако существуют некоторые
ограничения.
1. При проверке гипотез относительно равенства дисперсий должны быть усреднены
степени свободы; если коэффициент вариации больше 5%, метод не точен.
2. При применении нормализующего преобразования (в проверке гипотез относительно
долей и коэффициентов корреляции) должны быть усреднены дисперсии; если дисперсии не
однородны, то метод не точен.
3. При применении статистики Стьюдента (в проверках гипотез относительно средних и
коэффициентов регрессии) – с усреднением как дисперсий, так и степеней свободы.
Опишем подробно процедуру деления на классы однородности, которую предполагается
использовать в программе МАГ.
При аналитическом решении получаем матрицу, состоящую из оценок уровней значимости
ˆ
ij
s
α
. Так как из оценок параметров составляют вариационный ряд и меняют индексы в
соответствии с положением в вариационном ряду, то
,1
ˆˆ
;1,1;2,
ijij
ss
iMjM
αα
+
>=−= .
1. Если
1,
ˆ
M
sk
αα
>
, то все сравниваемые параметры принадлежат одному классу
однородности, процедура деления на классы окончена.
2. Иначе сравниваем
2,
ˆ
M
s
α
,
3,
ˆ
M
s
α
, … с
α
к
. Если
,
1
ˆ
jM
sk
αα
>⇒
параметры i
1
,
ijM
=
принадлежат одному классу однородности.
3. Повторяем эту процедуру для
2,1
ˆ
M
s
α
−
,
3,1
ˆ
M
s
α
−
и т. д. Если
,1
2
ˆ
jM
sk
αα
−
>⇒
параметры i
2
,1
ijM
=−
принадлежат одному классу однородности.
4. Сравнение продолжается до тех пор, пока не получим при некотором k
1,
ˆ
Mk
skp
αα
−
>
.
После этой ранжировки все параметры разделены на классы однородности (которые могут
быть и пересекающимися!).
1.2.5.6. Деление дисперсий на непересекающиеся классы однородности
Объёмы N
i
выборок должны быть равными между собой, или усреднены, если они равны
между собой приблизительно.
6
Процедура аналогична делению дисперсий на пересекающиеся классы однородности. Если
же одна дисперсия принадлежит нескольким классам, то мы ее включим в тот класс, где
усредненная дисперсия наименьшая. В каждом классе однородности дисперсии и степени свободы
равны между собой. После такого деления проведём аналитическое решение. Если двум оценкам
средних
ˆ
i
ν
,
ˆ
j
ν
соответствуют дисперсии из одного класса однородности, то получим статистику
(
)
22
ˆˆ
ijkkkk
tSNSN
νν=−+(
2
k
S
- усредненная дисперсия i-го класса однородности), которой
соответствует F
k
степеней свободы.
1
ki
i
Ff
Ψ
=
=
∑
;
Ψ
– количество дисперсий, входящих в этот
класс.
Если же двум оценкам
ˆ
i
ν
,
ˆ
j
ν
соответствуют дисперсии из разных классов однородности, то
используем статистику
22
ˆˆ
ijiijj
tSNSN
νν=−+; N
i
≈ N
j
или N
i
= N
j
= NM , которой
соответствуют f
ij
степеней свободы;
(
)
(
)
(
)
(
)
222
2222
ijiijjiiijjj
fSNSNSNfSNf
=++.
Так как после деления дисперсий на классы однородности, каждая из них имеет большее
количество степеней свободы, то последующее аналитическое решение дает более точное
представление о взаимоотношении проверяемых параметров. Точно так же делят на
непересекающиеся классы дисперсии при проверке гипотез относительно равенства
коэффициентов регрессии.
1.2.5.7. Проверка гипотез о попарном сравнении М среднеквадратичных отклонений.
Постановка задачи описана в п. 1.
В F
→
L
→
Н
A
+
−
Д
→
E
+
−
С G
→
L
≈
→
F
→
Н
Операторная блок-схема алгоритма попарного сравнения СО нормально
распределенных случайных величин:
А - ввод критического уровня значимости α
к
, с которым проверяются гипотезы; вопрос о
наличии выборок. Этот блок А одинаков при проверке гипотез относительно всех параметров.
В - ввод количества выборок M; количества элементов в каждой выборке N
i
,
1,
iM
= ;
элементов выборок x
ij
;
1,
iM
=
; j =
1,
i
N
. Если все элементы выборок равны, друг другу то
S
i
= 10
-Δ
/
12
где Δ - количество знаков после запятой, иначе
()
()
2
2
1
1
i
N
iijii
j
SxxN
=
=−−
∑
.
С - ввод числа сравниваемых параметров М. Количество элементов в каждой выборке N
i
,
1,
iM
= ; СО S
i
.
Д - вычисление среднего значения объемов выборок
1
M
i
i
NNM
=
=
∑
, усредненного числа
степеней свободы
1
M
i
i
ffM
=
=
∑
, дисперсии
(
)
()
2
2
1
N
SM
i
NN
=−
−
∑
, коэффициента
вариации V, характеризующего разброс объемов выборок 100
N
VSN
= .
Блок Д одинаков для сравнения всех параметров;
E- оператор сравнения (здесь и в дальнейшем) V < 5%?
G - Проверка однородности СО по критерию Бартлетта:
22
11
MM
Biii
ii
SfSf
==
=
∑∑
;
()
1
1
11
131
MM
ii
ii
CffM
−
−
==
=+−−
∑∑
;
()
()
22
1
11
lnln1
MM
iBii
ii
TfSfSCM
==
=−−
∑∑
.
7
По статистике T
1
вычисляют оценку уровня значимости
ˆ
α
, соответствующую (M - 1)-ой
степени свободы.
Если
ˆ
α
> α
к
, то гипотеза Н
0
не отклоняется на уровне значимости
ˆ
α
.
L - Точное аналитическое решение (п. 4, формула (4.1)
F - Решение методом ДИ п. 1.
Н - Деление на классы однородности п. 5.
Так как процедура деления на классы однородности одинакова для всех параметров, то в
дальнейшем под блоком H будем понимать действие, описанное в п. 1.
1.2.5.8. Проверка гипотез о попарном сравнении М долей.
Постановка задачи описана в п. 2.
В К
A
+
−
Д
→
Е
→
+
−
Φ
S
→
L
→
F
→
Н
С Р
Операторная блок-схема алгоритма попарного сравнения долей:
В - Ввод количества выборок М; количества опытов N
i
в каждой i -ой выборке;
1,
iM
=
; N
i
≥
25; количества опытов X
i
, в которых произошло событие,
1,
iM
= . Вычисляем доли P
i
= X
i
/ N
i
;
1,
iM
= .
С - Ввод количества сравниваемых параметров М; долей P
i
;
1,
iM
= , количества элементов
в выборке N
i
, по которой вычислена P
i
;
1,
iM
=
; N
i
≥ 25.
Ф - Вычисление усредненной доли
1
M
i
i
PPM
=
=
∑
; проверка условия
(
)
50515
NNPNP
>∧>∧−>
.
К - Вычисление оценок дисперсий
(
)
2
1
iiii
SPPN
=− ; усредненных дисперсий
(
)
2
1
SPPN
=− .
P - Применение нормализующего преобразования
:2arcsin
ii
PP
=
. Вычисление оценок
дисперсий
2
1
ii
SN
= и усреднение их
2
1
SN
= .
S - Проверка однородности оценок дисперсий. Если они не однородны, то метод ДИ не
точен (см. п. 4).
L - Точное аналитическое решение [п. 4, формула (4.2)].
F - Решение методом ДИ [п. 2].
Если было использовано преобразование Фишера, то при получении верхней границы i-го
ДИ - ВГ
i
и нижней - HГ
i
1,
iM
=
, к ним применяется обратное преобразование, а именно:
HГ
i
→sin((HГ
i
)
2
)/2); ВГ
i
→sin((ВГ
i
)
2
)/2). После этих действий получены ДИ для долей.
1.2.5.9. Проверка гипотез о попарном сравнении М математических ожиданий.
- Какая разница между художниками сюрреалистом, реалистом и соц-реалистом?
- Сюрреалист пишет, что ощущает, реалист - что видит, соц-реалист - что слышит.
Постановка задачи описана в п. 4.
В L
→
F
→
Н
A
+
−
Д
→
Е
→
Q
+
−
1
L
→
1
F
→
Н
С
1
S
+
−
1
L
≈
→
1
F
→
Н
8
S
+
−
1
L
→
1
F
→
Н
→
О
→
1
L
Операторная блок-схема алгоритма попарного сравнения математических ожиданий:
В - Ввод количества выборок M; количества элементов N
i
в каждой выборке;
1,
iM
= ;
элементов выборок x
ij
,
1,
i
jN
= ,
1,
iM
= . Вычисление средних значений
1
, 1,
i
N
iiji
j
xxNiM
=
==
∑
;
оценок дисперсий
(
)
()
2
2
1; 1,
iijii
SxxNiM
=−−=
∑
; чисел степеней свободы
1; 1,
ii
fNiM
=−= .
С - Ввод количества сравниваемых параметров M; значений средних
; 1,
i
xiM
= ;
количества элементов N
i
в каждой выборке,
1,
iM
=
.
Q - Известна ли генеральная: дисперсия? Если - да, то значениям оценок дисперсий
присваивается значение генеральной, если – нет, то вводятся оценки дисперсий.
L - Точное аналитическое решение [п.4, формула (4.2)].
F - Решение методом ДИ [п.2].
S – Проверка однородности оценок дисперсий средних [п.7].
L
1
- Точное аналитическое решение [п.4, формула (4.3)].
F
1
- Решение методом ДИ [п.3].
О - Деление дисперсий на непересекающиеся классы однородности. В дальнейшем под
блоком О будет обозначаться процедура, описанная в п.6.
1.2.5.10. Проверка гипотез о парном сравнении М коэффициентов регрессии.
Для проверки гипотез о попарном равенстве коэффициентов регрессии будем пользоваться
оценками коэффициентов, полученных по результатам ортогонально спланированного
эксперимента. План такого эксперимента содержит ортогональные базисные функции. Поэтому
выполняется свойство независимости оценок коэффициентов регрессии.
Пусть дана случайная величина Y, распределенная нормально с центром М{Y} и дисперсий
σ
2
; M{Y} = f(x); Х - вектор факторов.
Дано математическое описание ряда объектов в виде моделей регрессии: Y
i
= f(β
i
, X) + E;
M(E) = 0; Д(Е) = σ
2
; f(β
i
, X) =
0
1
n
ii
i
x
ββ
=
+
∑
. Получены коэффициенты регрессии β
11
, β
12
… β
1n
; β
21
β
22
… β
2n
;… ; β
m1
, β
m2
… β
mn.
. Необходимо проверить гипотезы о равенствах однотипных
коэффициентов регрессии β
1i
= β
2i
=…= β
mn
;
1,
in
= . Этим самым мы хотим определить, одинаково
ли влияние факторов X
î
на отклик или можно ли все эти объекты описать одной моделью
регрессии. Если в полном ортогональном факторном эксперименте проведено N опытов, для
оценивания вектора В коэффициентов регрессии пользуются формулой (в матричной форме)
В = (Х
Т
Х)
-1
Х
Т
Y; дисперсия вектора В равна
{}
(
)
1
2 T
Y
DBSXX
−
= .
Так как
/
i
if
bNS
имеет распределение Стъюдента с f
i
= N
i
- M степенями свободы, то для
проверки гипотез относительно равенства М однотипных коэффициентов регрессии будем
пользоваться алгоритмом, описанным в п. 9.
1.2.5.11. Проверка гипотез о равенстве друг другу М коэффициентов корреляции.
Постановка задачи приведена в п. 2.
L
→
F
→
H
К
→
S
+
−
В L
→
F
→
H
A
+
−
Д
→
Е
→
R
+
−
1
L
→
1
F
→
Н
9
С
S
+
−
1
L
→
1
F
→
Н
→
О
→
1
L
Операторная блок-схема алгоритма попарного сравнения коэффициентов регрессии;
В - Ввод количества выборок M; количества элементов N
i
в каждой выборке
; 1,
iM
=
элементов выборок x
ij
, y
ij
;
1,; 1,
i
iMjN
==. Вычисление оценок коэффициентов корреляции
()()()()
22
1
i
N
iijiijiijiiji
j
rxxyyxxyy
=
=−−−−
∑∑
; оценок дисперсий
(
)
(
)
22
12;
iii
SrN=−−
1,
iM
= чисел степеней свободы f
i
= N
i
- 2;
1,
iM
= .
C - Ввод количество сравниваемых параметров М; оценки параметров М; количество
элементов выборки N
i
, по которым вычислены коэффициенты r
i
,
1,
iM
=
.
R - Проверка условия
10
N
>
?
К - Применение нормализующего преобразования Z
i
= ln((1 + r
i
)/(1 - r
i
))/2. Вычисление
оценок дисперсий
(
)
2
13
i
i
Z
SN
=−
.
S - Проверка однородности оценок дисперсии [п. 7]
L - Точное аналитическое решение [п. 6, формула (4.2)]
L
1
- Точное аналитическое решение [п. 6, формула (4.3)]
F
1
- Решение методом ДИ [п. 3].
F - Решение методом ДИ [п. 2].
Если было использовано нормализующее преобразование, то при получении верхней
границы i-го ДИ – ВГ
i
и нижней - HГ
i
(
1,
iM
=
) к ним должно быть применено обратное
преобразование, а именно, НГ
i
→ (е
2Нгi
- 1)/(е
2Нгi
+ 1) ВГ
i
→ (е
2Вгi
- 1)/(е
2Вгi
+ 1).
После этих действий получим ДИ для коэффициентов корреляции.
1.2.5.12. Вычисление Z
α
по α. Пусть α = Р(X > Z
α
), где X - случайная величина,
распределенная нормально с нулевым средним и единичной дисперсией. Тогда Z
α
- верхний α –
предел и
()
2
2
1
2
u
Z
Zedu
α
π
+∞
−
=
∫
. Для решения этого уравнения в виде Z = Z(α) применим
следующую аппроксимацию: Z = t – (c
0
+ c
1
t + c
2
t)/(1 + d
1
t + d
2
t
2
+ d
3
t
3
), где t = (ln(1/α
2
))
0,5
; c
0
=
2,515517, d
1
= 1,432788, c
1
= 0,802853, d
2
= 0,189269, c
2
= 0,01328, d
3
= 0,001308.
1.2.5.13. Вычисление α по Z
α
. Для решения этого уравнения в виде α = α(Z) применима
аппроксимация ω = 1/(1 + pZ), p = 0,2316419, a
1
= 0,3193815, a
2
= -0,3565638, a
3
= 1,781478,
a
4
= -1,821256, a
5
= 1,330274, α = 0,3989423 exp(-Z
2
/2)
ω
((((a
5
-
ω
+ a
4
)
ω
+ a
3
)
ω
+ a
2
)
ω
+ a
1
).
1.2.5.14. Решение уравнения
0,5
22
2
PL
ZZ
α
−
=
относительно (1 - Р). По α/2L находим Z
α/2L
[см. п. 12]; L =
2
M
C
= M(M - 1)/2; по
2
P
Z
из
()
0,5
22
2
PL
ZZ
α
−
=
вычисляем Р/2 [п. 13] и
доверительную вероятность (1 - Р). Аппроксимация: 1 - Р = (1 - (4β(1 - β))
0,5
)
0,5
; β = α/(М(М - 1)).
1.2.5.15. Нахождение t
α,f
по α. По α находим Z
α
[п. 12]; t
α,f
= Z
α
(f + 3 - Z
α
/2)/(f + 3 - 1,5Z
α
).
1.2.5.16. Нахождение α по t
α, f
. Находим Z
α
по t
α,f
:
()()
()
0,5
2
,,,
1,531,5323
fff
Zftfttf
αααα
=++−++−+
и α по Z
α
[п. 13].
1.2.5.17. Решение уравнения
0,5
2,2,
2
PfLf
tt
α
−
= относительно (1 - Р). По α/2L находим
2,
Lf
t
α
[п. 15]; по
2,
Pf
t
из
2,2,
2
PfLf
tt
α
=
находим Р/2 [п. 16] и доверительную вероятность
(1 - Р).
1.2.5.18. Решение уравнения
1212
,,2,,2,,2
fflfPfP
FFF
α ∞∞
=⋅ относительно 1 - Р при известном α.
1. f
1
= f
2
= 1. α/2l = 1- (2/π)arctg
0,5
1,1,2
l
F
α
⇒
1,1,2
l
F
α
= tg
2
(π(2 - α/l)/4); точные решения:
{
}
22
1,,24
ln4
PP
FZPP
∞
==− ;
()
{
}
22
,1,21,,12
122
111ln14
PP
P
FFZP
∞∞−
−
===−;
(
)
(
)
{
}
{
}
222
224ln4ln14
tglPPPπ−=−−
; зависимость 1 - Р = 1 - Р(α) найдем, используя
10
аппроксимацию lgP = 0,1175 + 0,8169lg(α/l) + 0,0247lgf – 0,1654(lg(α/l))lgf – 0,0932(lgf)
2
.
2. f
1
= f
2
= 2. α/2l = (F
2,2,α/2l
+ 1)
-1
⇒ F
2,2,α/2l
= 1/(α/2l) - 1; Р/2 = 1- exp(-F
-1
,2,Р/2
) ⇒ F
,2,Р/2
= -1/ln(-p/2 +
1); F
,2,Р/2
= -ln(-Р/2); получим уравнение 2l/α-1 = ln(Р/2)/ ln(1- Р/2); зависимость 1 - Р = 1 - Р(α)
найдем, используя аппроксимацию из п. 1.
3. Аналогично получаем приближённые решения при f
2
= f
1
= f и f ≥ 3.
1.2.5.20. Аннотация программы МАГ.
Машинная программа выполняет то, что вы ей приказали делать,
а не то, что бы вы хотели, чтобы она делала. (Из интернета)
Программа МАГ предназначена для проверки гипотез о равенстве нескольких
сравниваемых параметров (математических ожиданий, среднеквадратичных отклонений, долей,
коэффициентов корреляции и регрессии) распределений случайных величин. Все сравниваемые
параметры считаются независимыми между собой. Программа работает в диалоговом режиме.
Входные данные: Для всех режимов - уровень значимости.
Для сравнения дисперсий: количество выборок, количество элементов в каждой выборке,
элементы выборки или количество сравниваемых дисперсий, количество элементов выборки по
которым оценки дисперсий были вычислены и сами оценки дисперсий.
Для сравнения математических ожиданий: количество выборок, количество элементов в
каждой выборке, элементы выборки или количество сравниваемых центров распределения,
количество элементов выборки, по которым средние были получены, сами средние, генеральная
дисперсия, если известна, если нет - оценки дисперсий.
Для сравнения долей: количество выборок, количество элементов в каждой выборке,
количество опытов, в которых событие произошло или количество сравниваемых долей,
количество элементов выборок по которым доли были получены.
Для сравнения коэффициентов регрессии: количество сравниваемых параметров,
количество элементов в выборке по которым они были получены, оценки коэффициентов
регрессии, значение генеральной дисперсии, если известна, если нет - оценка дисперсии.
Для сравнения коэффициентов корреляции: количество выборок, количество элементов в
каждой выборке, элементы пар выборок или количество сравниваемых параметров, количество
элементов в каждой выборке, по которым были получены оценки коэффициентов корреляции.
Результаты расчёта: коэффициенты вариации разброса объемов выборок, матрица оценок
уровней значимости, интервальные оценки (если по МДИ гипотеза о равенстве параметров не
отклонена), доверительная вероятность, с которой ДИ были построены, классы однородности, на
которые разбиты сравниваемые оценки параметров.
Литература
1. Поспелов Г. С., Поспелов Д. А. Искусственный интеллект - прикладные системы. - М.: Знание. 1985 –
48 c.
2. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. - М.: MИР, 1980. – 456 с.
3. Цейтлин Н. А. Проверка гипотез методом доверительных интервалов. В кн. Методы математической
статистики в основной химии. Труды т. 55, НИОХИМ, Харьков, 1981, с. 82 - 89
4. Цейтлин Н. А. Применение методов математической теории эксперимента в содовой промыш-
ленности. 0бзорная информация. Серия "Содовая промышленность". – М.: НИИТЭХИМ, 1984,- 48 с.
5. Цейтлин H. А., Ицков Ф. Э., Едвабник И. Ю. α - метод проверки нескольких статистических гипотез.
Материалы к расширенному заседанию ученого совета; совместно с советом молодых специалистов,
посвященному 19 съезду ВЛКСМ, с. 66 - 67, изд. НИУИФ, 1982, 77с.
6. А. Аифифи, С. Эйзен. "Статистический анализ". Подход с использованием ЭВМ. – М.: МИР - 1982.
7. Головач А. В., Ерина A. И., Трофимов В. П. Критерии математической статистики в экономических
исследованиях. М.: Статистика, 1973, 136 с.
8. Справочник по надежности. Пер. с англ. С. Г. Епишина и Б. А. Смиренина. Под ред. Б. Р. Левина. T.1
M.: "Мир", 1969, 340 с.
9. Идье В. и др. Статистические методы в экспериментальной физике. Перевод с английского под ред.
А. А. Тяпкина, М.: "Атомиздат", 1976, 336 с.
10. Леман Э. Проверка статистических гипотез, M. ,"Наука", 1964, 498 с.
11. Браунли К. А. Статистическая теория и методология в науке и технике. М.: "Наука", 1977, 408 с.
12. Закс Л. Статистическое оценивание. М.: "Статистика", 1976, 598 с.
11
13. Плохинский H. А. Руководство по биометрии для зоотехников. М.: Колос, 1969, 256 с.
14. Цейтлин Н. А. Исследование погрешности считывания оператором показаний стрелочного
измерительного прибора. - В. кн.: Метрологическое обеспечение измерений параметров состава и свойств
веществ и материалов на предприятиях и в организациях химической промышленности. Труды. Т. 67 /
ХНПО "Карбонат". - Харьков, 1988 - с. 89 - 103
1
1.3. Численные методы статистического оценивания и проверки гипотез
Штирлиц долго смотрел в одну точку... потом в другую...
- Двоеточие! - наконец-то догадался Штирлиц.
Процедуры построения интервальных оценок и проверки статистических гипотез
отличаются по сути, как прямая и обратная задачи, решаемые на функции F(.) распределения
статистики φ, P = F(φ), где P – вероятность. Если задаются вероятности Р
i
, то с помощью обратной
функции распределения φ = F
-1
(Р) строятся интервальные оценки; если задаются значения
статистики φ, то с помощью функции P = F(φ) находят уровни значимости. Остановимся пока
только на положениях современной теории оценивания, основанной Фишером [1].
Статистические оценки параметров распределения случайной величины получают в
результате следующих действий.
Постулируется или обосновывается некоторый теоретический закон распределения
рассматриваемой случайной величины (СВ) X с теоретической (генеральной) функцией
распределения вероятностей F
T
(φ). Путем специально поставленных экспериментов получают
независимую представительную выборку {x
i
} (i =
N,1
) из генерального (обычно-бесконечного)
множества значений СВ Х. Подбирается нужная статистика φ{x
i
}, закон распределения которой
заранее хорошо изучен (то есть существуют таблицы, номограммы или удобные аппроксимации
функции P = F
1
(φ) распределения статистики).
Посредством масштабирования функции F
1
(φ) получают функцию распределения искомой
статистики
ϕ
ˆ
. Поскольку функция эта довольно сложная, для отчета о проделанной работе её
принято табулировать определенным образом. Обычно для этого задают две вероятности –
точную 0,5 и большую доверительную вероятность B (1 > В > 0,5). Решая три уравнения 0,5 =
F(
ϕ
ˆ
), (1-B)/2 = F(
ˆ
n
ϕ
) и (1+B)/2 = F(
ˆ
b
ϕ
) относительно
ϕ
ˆ
, вычисляют точечную, или однозначную
оценку
ϕ
ˆ
, нижнюю
ˆ
n
ϕ
, и верхнюю
ˆ
b
ϕ
границы доверительного интервала (ДИ), такого, чтобы
P(
ˆ
n
ϕ
≤ φ ≤
ˆ
b
ϕ
) = B. (1)
Из многих недостатков приложения этой теории (потеря информации в отчете о функции
распределения статистики φ(x
i
), несоблюдение постулата о независимости выборки [2 - 3] и др.)
рассмотрим один устранимый недостаток. Это - сомнительность гипотезы (или постулата) о том,
что выборка {x
i
} получена из генеральной совокупности с заранее известным (с точностью до
параметров) законом распределения F
T
(X).
Мощности статистических критериев, особенно при малых выборках, обычно не хватает для
того, чтобы отклонить эту гипотезу. Поэтому в большинстве практических задач это - просто
постулат. Если же объем выборки достаточно велик и гипотезу эту отклоняют, возникает трудная
задача подбора нормализующего преобразования или другой заранее изученной теоретической
функции
T
F
′
(X) (см. раздел 2).
Простой выход из сложившейся ситуации предлагает Эфрон [4]. Необходимо строить по
выборке эмпирическую функцию распределения величины (ЭФРВ), F
Э
{x
i
}, считать её
теоретической, а функцию F(φ) распределения статистики φ(X
i
) строить и табулировать
численным методом статистических испытаний (Монте-Карло) с помощью ЭВМ. Становятся
ненужными многие статистические таблицы; метод приобретает черты универсальности:
построение функции распределения статистики φ, традиционное интервальное оценивание
параметров и проверка статистических гипотез выполняются одними и теми же приемами,
требующими, правда, применения ЭВМ.
В качестве аппроксимации теоретической функции распределения Эфрон по традиции
использует довольно грубую кусочно-постоянную (ступенчатую, то есть, имеющую разрывы
непрерывности первого рода) функцию.
Метод Эфрона можно несколько улучшить. Для этого в качестве аппроксимации
теоретической функции распределения будем использовать менее грубую и более удобную для
расчётов непрерывную функцию (кусочно-линейную или даже непрерывно дифференцируемую).
Пусть, согласно идее Фишера, генеральная функция распределения F
T
(X) существует.
Можно предположить, что эта функция - достаточно гладкая, чтобы для её описания использовать