Циценкова Г.А., Чукавина Т.В., Рязанова Л.Д., Труппова В.А. Методические указания и контрольные задания по высшей математике
Подождите немного. Документ загружается.
91
отсюда
.
x
dxd
=
ν
ν
Интегрируя и выбирая частное решение, получим
.lnln x=
ν
Отсюда
x=
ν
. Подставив
x=
ν
в уравнении
,cos xxu
=
′
ν
,cos xx
dx
du
=
ν
,cos xxx
dx
du
=
или
.cos xdxdu =
Отсюда
∫∫
= xdxdu cos
и
.sin cxu +=
Итак, искомое решение имеет вид
).(sin cxxuy
+
=
=
ν
Задача 2
Найти общее решение дифференциальных уравнений второго порядка,
допускающего понижение порядка [7]:
а)
,ln
x
y
yyx
′
′
=
′′
б)
.)(1
2
yyy
′′
=
′
+
Решение
а)
x
y
yyx
′
′
=
′′
ln
- уравнение явно не содержит искомой функции. Пусть
)(xPy =
′
, тогда
).(xPy
′
=
′
′
Подставив в уравнение, получим
x
P
PPx ln=
′
, отсюда
.ln
x
P
x
P
P =
′
92
Мы имеем однородное уравнение первого порядка. Положим
.,, uxuPuxPu
x
P
+
′
=
′
==
Подставим
P
и
P
′
в однородное уравнение
,ln uuuux =+
′
()
,1ln −=
′
uuux
),1(ln −= uu
dx
xdu
разделим переменные
.
)1(ln x
dx
uu
du
=
−
Интегрируя, получим
,lnln1lnln
1
cxu +=−
отсюда
,1ln
1
xcu =−
,1ln
1
+
=
xcu
тогда
.
1
1
+
=
xc
eu
Заменим
,
x
P
u =
,yP
′
=
получим
,
1
1
+
=
xc
e
x
P
или
,
1
1
+
=
′
xc
xey
отсюда
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
=
==
+
+
+
∫
1
1
1
1
1
1
1
1
,
,
xc
xc
xc
e
c
dxdu
dxed
xu
dxxey
ν
ν
,
11
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1111
ce
c
e
c
x
dxe
c
e
c
x
xcxcxcxc
+−=−=
++++
∫
2
1
2
1
1
1
1
ce
c
xc
y
xc
+⋅
−
=
+
- общее решение.
Решение
93
б)
yyy
′′
=
′
+
2
)(1
- уравнение не содержит явно независимой переменной.
Положим
),( yPy =
′
dy
dP
Py =
′′
и подставим в уравнение:
.1
2
dy
dP
yPP ⋅=+
Разделим переменные
.
1
2
y
PdP
y
dy
+
=
Интегрируя, получим
.1ln
2
1
lnln
2
1
Pcy +=+
Используя свойства логарифмов, будем иметь
,1,1
2
1
222
1
22
−==+ cyPcyP
Отсюда
1
2
1
2
−±= cyP
или
,1
2
1
2
−±= cy
dx
dy
.
1
2
1
2
dx
cy
dy
=
−±
Проинтегрируем:
∫∫
+±=
−
⋅
,
1
1
2
2
1
2
1
1
cdx
cy
cdy
c
так как
,1ln
1
1ln
1
1
1
1
1
2
22
11
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
∫∫
+−+=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+−+=
−
′
=
−
cycyc
c
cuu
c
u
duu
c
cy
dyc
c
то получим искомый общий интеграл:
).(1ln
1
2
22
11
1
cxycyc
c
+±=−+
Задача 3
Найти частные решения дифференциальных уравнений
94
а)
.3)0(,1)0()2(67 =
′
=−=+
′
−
′′
yyexyyy
x
б)
.0)0(,1)0(2cos8124
=
′
=
=−
′
+
′′
yyxyyy
Решение
а)
.3)0(,1)0()2(67 =
′
=−=+
′
−
′′
yyexyyy
x
Запишем соответствующее однородное уравнение:
.067 =+
′
−
′′
yyy
Характеристическое уравнение имеет вид [3]
.067
2
=+−
λλ
Корни этого уравнения
1
1
=
λ
и
6
2
=
λ
являются действительными
несовпадающими числами: поэтому общее решение однородного уравнения
имеет вид [2]:
xx
ececy
6
210
+=
.
Далее найдем частное решение данного неоднородного уравнения по его правой
части
.)2()()(
1
xx
exexPxf −==
Для данной специальной правой части частным
решением будет функция вида [3]
.)(
kx
xeBAxy +=
Так как корень характеристического уравнения
1
1
=
λ
совпадает с коэффициентом степени
x
e
1
, то k=1 и частное решение примет
вид
.)()(
2 xx
eBxAxxeBAxy +=+=
Подставляя функцию
y
и ее производные
,)2(
2 x
eBBxAxAxy +++=
′
x
eBABxAxAxy )224(
2
++++=
′′
в данное неоднородное уравнение, получим равенство
95
).2()5210( −=−+− xeBAAxe
xx
Сократим обе части на
0≠
x
e
и приравняем коэффициенты при одинаковых
степенях x в левой и правой частях, получим
.
25
9
,
10
1
522
101
0
=
−=
−=−
−=
B
A
BA
A
x
x
Следовательно
.
25
9
10
1
2 x
exxy
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
Общее решение неоднородного уравнения имеет вид:
.
25
9
10
1
26
210
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−++=+= xxeececyyy
xxx
Найдем частное решение, используя заданное начальное условие
,1)0( =y
.1
21
=+ cc
Дифференцируя функцию
y
, получим
.
25
9
25
4
10
1
6
26
21
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++−++=
′
xxeececy
xxx
Используя начальное условие
,3)0(
=
′
y
имеем
.3
25
9
6
21
=++ cc
Запишем систему для определения
:,
21
cc
.
125
41
125
84
,
25
41
5
,1
,
25
66
6
,1
2
1
2
21
21
21
=
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
c
c
c
cc
cc
cc
Итак, частное решение имеет вид:
.
25
9
10
1
125
41
125
84
26
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−++= xxeeey
xxx
96
Решение
б)
.0)0(,1)0(2cos8124
=
′
=
=−
′
+
′′
yyxyyy
пишем однородное уравнение
.0124
=
−
′
+
′
′
yyy
Характеристическое уравнение имеет вид
.0124
2
=−+
λλ
Корни этого уравнения
2
1
=
λ
и
6
2
−
=
λ
- действительные числа, поэтому
общее решение однородного уравнения имеет вид:
.
6
2
2
10
xx
ececy
−
+=
Так как
,2sin02cos)(2cos8)(
0
xxxPxxf
⋅
+
==
где
)(
0
xP
- многочлен
нулевой степени, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в
виде
.2sin2cos xBxAy +=
Найдем
y
′
и
y
′′
и подставим в данное неоднородное дифференциальное
уравнение, получим
.2cos8)816(2sin)168(2cos xABxABx
=
+
⋅−−⋅
Приравняем коэффициенты у подобных членов в обоих частях уравнения
,2
,21
,8160
,1688
2sin
2cos
BA
AB
AB
AB
x
x
−=
−=
−−=
−=
.
5
2
,
5
1
,14 −===+ ABBB
Итак
.
5
2
,
5
1
−== AB
Следовательно,
xxy 2sin
5
1
2cos
5
2
+−=
и общее решение имеет вид
.2sin
5
1
2cos
5
2
6
2
2
10
xxececyyy
xx
+−+=+=
−
Найдем частное решение:
97
,2cos
5
2
2sin
5
4
62
6
2
2
1
xxececy
xx
++−=
′
−
.
5
1
3
,
5
7
,0
5
2
62)0(
,1
5
2
)0(
21
21
21
21
−=−
=+
=+−=
′
=−+=
cc
cc
ccy
ccy
Отсюда:
.
5
2
,1
21
== cc
xxeey
xx
2sin
5
1
2cos
5
2
5
2
62
+−+=
−
-
частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.
Задача 4
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+=
+=
.46
,37
yx
dt
dy
yx
dt
dx
Решение: Эту систему можно записать в виде матричного дифференциального
уравнения:
.XA
dt
dX
⋅=
Здесь
,
46
37
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=A
,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
y
x
X
.
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
dt
dy
dt
dx
dt
dX
Решение ищется в виде [2].
,
1
t
ex
λ
α
=
t
ey
λ
α
2
=
, тогда
,
1
t
e
dt
dx
λ
λα
=
.
2
t
e
dt
dy
λ
λα
=
98
Подставив значения
x
и
y
и их производные в систему дифференциальных
уравнений, получим систему линейных уравнений относительно
1
α
и
2
α
:
⎩
⎨
⎧
=−+
=+−
.0)4(6
,03)7(
21
21
αλα
ααλ
Система должна иметь не нулевое решение, поэтому для определения
λ
получаем уравнение второй степени
,0
4
3
6
7
=
−
−
λ
λ
это уравнение является характеристическим уравнением матрицы и в то же время
характеристическим уравнением системы [13].
Раскроем определитель
,01011
018)4)(7(
2
=+−
=
−−−
λλ
λ
λ
или
корни
,1
1
=
λ
10
2
=
λ
являются характеристическими числами матрицы [3].
Подставим
1
1
=
λ
в систему
⎩
⎨
⎧
=−+
=+−
.0)14(6
,03)17(
21
21
αα
αα
и определим собственный вектор матрицы
А для
1
λ
: уравнения сводятся к
одному уравнению
.202036
212121
α
α
α
α
α
α
−
=
⇒=+⇒=+
Положим
,1
1
=
α
тогда
2
2
−=
α
и собственный вектор (1; -2) [3].
При
10
2
=
λ
.0
066
,033
0)104(6
,03)107(
21
21
21
21
21
=−⇒
⎩
⎨
⎧
=−
=+−
⇒
⎩
⎨
⎧
=−+
=+−
αα
αα
αα
αα
αα
99
Это уравнение определяет вектор (1; 1)
Получаем фундаментальную систему решений:
для
tt
eyex 2,1
111
−===
λ
для
.,10
10
2
10
22
tt
eyex ===
λ
Общее решение системы имеет вид:
.2
,
10
21
10
21
tt
tt
ececy
ececx
+−=
+=
Раздел 2. Кратные и криволинейные интегралы.
Функции комплексного переменного
Вопросы для самоподготовки
1. Что называется двойным интегралом от функции
),( yxf
по области
D
?
Укажите его геометрический смысл.
2.
Что называется двукратным интегралом от функции
),( yxf
по области
D
? Как он вычисляется?
3.
Сформулируйте свойства двойного интеграла.
4.
Обоснуйте формулы, служащие для вычисления объема цилиндрического
тела и площади плоской фигуры с помощью двойных интегралов.
5.
Выведите формулу для вычисления двойного интеграла в полярных
координатах.
6.
Что называется тройным интегралом от функции
),,( zyxf
по
пространственной области
V
? Укажите его механический смысл.
7.
Что называется трехкратным интегралом от функции
),,( zyxf
по
области
D
? Как он вычисляется?
8.
Выведите формулу для вычисления тройного интеграла с помощью
трехкратного. Напишите формулу для вычисления тройного интеграла в
цилиндрических координатах.
100
9. Обоснуйте формулу, служащую для вычисления объема тела с помощью
тройного интеграла.
10.
Что называется криволинейным интегралом по координатам?
Сформулируйте свойства криволинейного интеграла.
11.
Что называется криволинейным интегралом по длине дуги плоской
кривой?
12.
Выведите формулу для вычисления криволинейного интеграла по кривой,
заданной параметрическими уравнениями.
13.
Как вычисляется криволинейный интеграл по кривой, заданной
уравнением
)(xfy =
или
)( yx
ϕ
=
?
14.
Выведите формулу для вычисления площади плоской фигуры с помощью
криволинейного интеграла.
15.
Выведите формулу Грина.
16.
Выведите условия независимости криволинейного интеграла от пути
интегрирования.
17.
Дайте определения производной и дифференциала функции комплексного
переменного.
18.
Какая функция называется аналитической? Выведите необходимые и
достаточные условия для аналитичности функции.
Контрольные задания
Задача 5
Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь
фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах
()
0>a
.
5.1.
()
222
3
22
yxayx =+
5.2.
()
)4(
222
2
22
yxayx +=+