Циценкова Г.А., Чукавина Т.В., Рязанова Л.Д., Труппова В.А. Методические указания и контрольные задания по высшей математике
Подождите немного. Документ загружается.
111
.2
,2
,12
,12
y
x
v
y
y
u
x
y
v
x
x
u
=
∂
∂
−=
∂
∂
−=
∂
∂
−=
∂
∂
Условия Коши-Римана выполняются, следовательно, функция аналитическая.
Производную функции
)(zfw =
находим по формуле [7]
.12212)( −=+−=
∂
∂
+
∂
∂
=
′
zyix
x
v
i
x
u
zf
.12)()(
0
−
=
′
=
′
iifzf
112
Контрольная работа № 4.
Раздел 1. Ряды
Вопросы для самоподготовки
1. Дайте определения сходящегося и расходящегося рядов. Приведите
примеры.
2.
Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда, признак
сходимости ряда, признаки сравнения рядов с положительными членами.
Приведите примеры.
3.
Сформулируйте признак Даламбера, интегральный признак Коши.
Приведите примеры применения этих признаков.
4.
Дайте определения абсолютно и условно сходящихся рядов,
сформулируйте признак Лейбница. Приведите примеры.
5.
Дайте определение радиуса круга сходимости степенного ряда.
6.
Сформулируйте теорему Абеля о сходимости степенных рядов.
7.
Выведите условия разложимости функции в ряд Тейлора.
8.
Сформулируйте теорему об интегрировании степенных рядов.
9.
Изложите метод приближенного вычисления определенных интегралов с
помощью рядов. Приведите примеры.
10.
Изложите метод приближенного интегрирования дифференциальных
уравнений с помощью степенных рядов. Приведите примеры.
11.
Запишите формулы коэффициентов ряда Фурье.
12.
Сформулируйте достаточные условия разложимости функций в ряд
Фурье.
13.
Запишите ряд Фурье для четных и нечетных функций.
Контрольные задания.
Задача 1.
Исследовать сходимость числового ряда
∑
∞
=
1n
n
U
.
113
1.1.
2
3
3
−
+
=
n
n
U
n
1.2.
n
e
U
n
n
−
=
1.3.
1)12(
1
2
−+
=
n
U
n
1.4.
)!2(
3
n
U
n
n
=
1.5.
n
n
e
n
U
3
=
1.6.
[]
2
)1ln()1(
1
++
=
nn
U
n
1.7.
n
n
n
n
U
2
12 +
=
1.8.
)!3(
2
n
n
U
n
=
1.9.
)1ln()1(
1
++
=
nn
U
n
1.10.
)!1(
1
+
=
+
n
n
U
n
n
Задача 2.
Найти интервал сходимости степенного ряда
∑
∞
=1n
n
n
xa
.
2.1.
!
)1(
3
n
n
a
n
n
+
=
2.2.
)1(
2
+
=
nn
a
n
n
2.3.
n
n
n
n
a
)!2(
=
2.4.
n
n
n
n
n
a
)1(
!3
+
=
2.5.
)1(3 +
=
n
n
a
n
n
2.6.
n
n
n
n
a
5
=
2.7.
n
n
n
a
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
1
1
2.8.
)2(3
1
+
+
=
n
n
a
n
n
2.9.
)13(2
3
−
=
n
a
n
n
n
2.10.
)1(
2
+
+
=
nn
n
a
n
.
114
Задача 3.
Вычислить определенный интеграл
∫
в
dxxf
0
)(
с точностью до 0.001, разложив
подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его
почленно.
3.1.
3
2
)(
x
exf
−
=
в=1
3.2.
xxf cos)( =
в=1
3.3.
arctgxxxf ⋅=)(
в=0.5
3.4.
2
2
)1ln(
)(
x
x
xf
+
=
в=0.5
3.5.
)1ln()(
2
xxxf −⋅=
в=0.5
3.6.
x
xexf
−
=)(
в=0.5
3.7.
2
)( arctgxxf =
в=0.5
3.8.
2
sin)( xxf =
в=1
3.9.
22
/)(sin)( xxxf =
в=0.5
3.10.
2
1)( xxf +=
в=0.5
Задача 4.
Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения
)(xyy =
, дифференциального уравнения
),( yxfy
=
′
, удовлетворяющего
начальному условию
0
)0( yy =
.
4.1.
2
cos yxy +=
′
1)0(
=
y
4.2.
2
yey
x
+=
′
0)0(
=
y
115
4.3.
2
yyy +=
′
3)0(
=
y
4.4.
xyey
y
−=
′
2
0)0(
=
y
4.5.
2
sin yxy +=
′
1)0(
=
y
4.6.
yey
x
+=
′
4)0(
=
y
4.7.
22
yxy +=
′
2)0(
=
y
4.8.
2
5.0sin yxy +=
′
1)0(
=
y
4.9.
xyey
y
+=
′
2
0)0(
=
y
4.10.
22
yxxy ++=
′
5)0(
=
y
Задача 5.
Разложить данную функцию
)(xf
в ряд Фурье .
5.1.
1)( += xxf
в интеграле
);(
π
π
−
5.2.
1)(
2
+= xxf
в интеграле
)2;2(
−
5.3.
2/)()( xxf −=
π
в интеграле
);(
π
π
−
5.4.
xxf +=1)(
в интеграле
)1;1(
−
5.5.
xxf =)(
в интеграле
);(
π
π
−
5.6.
xxf −= 1)(
в интеграле
)2;2(
−
5.7.
xxf =)(
в интеграле
);(
π
π
−
5.8.
1)( −= xxf
в интеграле
)1;1(
−
5.9.
2
)( xxf =
в интеграле
);(
π
π
−
5.10.
x
exf =)(
в интеграле
);(
π
π
−
116
Решение типового варианта.
Задача 1.
а)
;
2
1
5
∑
∞
=n
n
n
в)
;
)]5)[ln(5(
1
1
2
∑
∞
=
++
n
nn
б)
;
5
1
1
∑
∞
=n
n
n
г)
∑
∞
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
1
.
52
n
n
n
n
Исследуем сходимость этих рядов, пользуясь различными достаточными
признаками сходимости.
Решение а):
а)
∑
∞
=1
5
2
n
n
n
- применим признак Даламбера [13].
,
2
5
n
n
n
U =
.
2
)1(
1
5
1
+
+
+
=
n
n
n
U
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⋅
⋅+
=
∞→
+
∞→
+
∞→
5
51
5
1
1
lim
2
1
2
2)1(
limlim
n
n
n
n
U
U
n
n
n
n
n
n
n
1
2
11
1lim
2
1
5
<=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
∞→
n
n
- ряд сходится.
Решение б)
б)
∑
∞
=
⋅
1
5
1
n
n
n
- применим первый признак сравнения [13].
117
Сравним данный ряд с рядом
∑
∞
=1
5
1
n
n
- этот ряд представляет собой
бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем
1
5
1
<=q
,
то есть это сходящийся ряд.
nn
n 5
1
5
1
<
⋅
, начиная с n ≥ 2, следовательно ряд
∑
∞
=
⋅
1
5
1
n
n
n
сходится.
Решение в)
в)
[]
∑
∞
=
++
1
2
)5ln()5(
1
n
nn
- применим интегральный признак Коши [5].
∫∫
=
++
=
++
∞→
∞
α
α
1
2
1
2
)5(ln)5(
lim
)5(ln)5( xx
dx
xx
dx
∫
=
⎭
⎬
⎫
+
+
=
′
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
′
+=
=
+
c
n
u
dxuu
x
u
xu
n
n
1
,
5
1
),5ln(
1
6ln
1
6ln
11
6ln
1
)5ln(
1
lim
5ln(
1
lim
1
=+
∞
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−=
∞→∞→
α
α
α
α
x
.
-
несобственный интеграл сходится, следовательно, сходится и ряд.
Решение г)
г)
∑
∞
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
1
52
n
n
n
n
применим радикальный признак Коши [5].
1
2
1
5
2
1
lim
52
limlim <=
+
=
+
=
∞→∞←∞→
n
n
n
U
nn
n
n
n
- ряд сходится.
Задача 2.
Найти интервал сходимости степенного ряда
∑
∞
=
1n
n
n
xa
, если
118
а)
;
)2(
3
+
=
nn
a
n
n
.
1
2
n
a
n
=
Решение. а) Рассмотрим степенной ряд.
а)
∑
∞
=
+
1
)2(
3
n
nn
nn
x
- найдем интервал сходимости по признаку Даламбера [13].
,
)2(
3
+
=
nn
x
a
nn
n
.
)3)(1(
3
11
1
++
=
++
+
nn
x
U
nn
n
=
++⋅
+⋅
=
++
∞→
+
∞→
)3)(1(3
)2(3
limlim
11
1
nnx
nnx
U
U
nn
nn
n
n
n
n
,3
341
21
lim3
34
2
lim3
22
2
x
nn
n
x
nn
nn
x
nn
=
++
+
=
++
+
=
∞→∞→
потребуем
.
3
1
3
1
,
3
1
,13 <<−<< xxx
Интервал сходимости
.
3
1
;
3
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−∈x
Исследуем сходимость ряда на границах, для этого положим
3
1
−=x
,
получим числовой знакочередующий следующий ряд [13].
∑∑
∞
=
∞
=
+
−
=
+
−
11
.
)2(
)1(
3)2(
)1(3
nn
n
n
nn
nnnn
Исследуем его по признаку Лейбница [13].
1.
,0
)2(
1
lim =
+
∞→
nn
n
2.
...
)23(3
1
)22(2
1
)21(1
1
>
+
>
+
>
+
119
Условия признака Лейбница выполняются, поэтому числовой ряд
∑
∞
=
+
−
1
)2(
)1(
n
n
nn
сходится, а следовательно степенной ряд
∑
∞
=
+
1
)2(
3
n
nn
nn
x
сходится на границе
.
3
1
−=x
Подставляем в степенной ряд
.
3
1
=x
∑∑
∞
=
∞
=
+
=
+
11
.
)2(
1
3)2(
3
nn
n
n
nnnn
Получили числовой ряд, который исследуем по интегральному признаку
Коши.
.
)2(
lim
)2(
11
∫∫
+
=
+
∞→
∞
α
α
xx
dx
xx
dx
Вычисляем этот несобственный интеграл.
=
−+
=
−++
∫∫
∞→∞→
αα
αα
11
22
1)1(
lim
112
lim
x
dx
xx
dx
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++
−+
∞→∞→
3
1
ln
2
lnlim
2
1
11
11
ln
2
1
lim
1
α
α
α
α
α
x
x
.
3
1
ln
2
1
3
1
ln0
2
1
3
1
ln
21
1
lnlim
2
1
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
=
∞→
α
α
Значения интеграла равно конечному числу, значит интеграл сходится,
следовательно, сходится числовой ряд, а данный степенной ряд имеет область
сходимости отрезок
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
3
1
;
3
1
.
Решение б)
б)
∑
∞
=1
2
n
n
n
x
- можно для определения радиуса сходимости воспользоваться
формулой [13].
120
.1
1
1lim
)1(
limlim
2
2
2
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
+
==
∞→∞→
+
∞→
nn
n
a
a
R
nn
n
n
n
.11,1,,1 <<−<<= xxRxR
интервал сходимости ряда
[1;1]
−
∈x
.
Исследуя на концах интервала, получим, что областью сходимости является
интервал [-1;1].
Задача 3.
,
cos1
)(
2
x
x
xf
−
=
.
2
1
=b
вычислить
∫
b
dxxf
0
)(
с точностью до 0,001.
Решение.
Запишем разложение в ряд Маклорела
xcos
[4]:
...
!6!4!2
1cos
642
+−+−=
xxx
x
и подставим в
)(xf
∫∫
=
−+−+−
=
2
1
0
2
1
0
2
642
...
!6!4!2
11
)( dx
x
xxx
dxxf
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−+−
∫
dx
xxx
2
1
0
642
...
!8!6!4!2
1
≈−
⋅⋅
+
⋅⋅
−
⋅
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
⋅
+
⋅
− ...
!652
1
!438
1
22
1
...
!8!65!432
1
5
2
1
0
653
xxx
x
.248,00017,025,0 ≈−≈
Задача 4.
,
2
yxy +=
′
1)0( =y
.