Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

]22

ВЫНУЖДЕННЫЕ

ПРОЦЕССЫ

[ТА. 9

Для

обычной

системы

(0)

(0),

К°

(0)

(0),

т. е.

(9.35)

и,

как следует из

(6.11)

и (6.12), при

= 0

(0) = 1 -

(0)

1 + Гу(

)Гоб(0)

, (9.36)

(0)

/С.(0)

1 +

//^

об(0

)

(9.37)

Если

й?

(О)

/е

б(0)

/е

б,

(9.38)

то

^•^--T+W

39)

И,

значит, из (9.35) получаем

— \

k k

W*^

Влияние интенсивностей

постоянных внешних воздей-

ствий на статическую ошибку

тем меньше, чем больше

коэф-

фициент

усиления объекта

б-

При

увеличении

коэффициента

усиления

управляющего

устройства

составляющая

статической

ошибки,

вызван-

ная

постоянным

задающим

воздействием

будет

умень-

шаться.

Что же касается

составляющей

статической

ошиб-

ки,

вызванной

постоянным

возмущающим

воздействием

то она по

абсолютной

величине

будет

увеличиваться с ро-

стом

ky.

Автоматические системы, в которых имеет место статическая

ошибка,

называются статическими.

Для комбинированной разомкнуто-замкнутой системы

коэф-

фициенты

ошибок согласно (9.23), (9.24) при

равны

(0)

к,

(0)

(о)

(0),

(9 42)

Подставляя

их в

(9.32),

получим

х-

(1 -

К,

(0) -

2К

(0)

(0))

в,

(9.43)

9.4]

УСЛОВИЯ ОТСУТСТВИЯ

СТАТИЧЕСКОЙ

ОШИБКИ

123

где по-прежнему 1 —

Кз(0)

/С

(0)

определяются выражениями

(9.39) и (9.40) и, как легко видеть из (9.36),

(0)

'°'

Т+

(0)

(9.44)

В этом случае уменьшение статической ошибки может быть до-

стигнуто и надлежащим выбором

(0)

№гк(0).

При отсут-

ствии

корректирующих устройств,

Г,

(р)

2к

(р)^0,

(9.45)

из

(9.43) мы получаем уже знакомое уравнение (9.41). Для про-

извольных фиксированных корректирующих устройств, характе-

ризуемых

(p)

K(P),

наши прежние выводы о влиянии

на статическую ошибку остаются в силе.

9.4. Условия отсутствия статической ошибки

Выясним

условия, при которых статическая ошибка равна

нулю, т. е.

0. (9.46)

Из

выражения статической ошибки (9.32) следует, что статиче-

ская

ошибка будет равна нулю, если равны нулю начальные ко-

эффициенты

ошибки:

(0)^0, с

(0)^0.

(9.47)

Но

начальные коэффициенты ошибки равны значениям переда-

точных функций ошибки по задающему и по возмущающему воз-

действиям при

/?=0.

Следовательно,

статическая

ошибка

автоматической

системы

будет

равна

нулю,

если

равны

нулю

передаточные

функции

ошибки

по

задающему

возмущающему

воздействиям при р = 0.

Но

эти условия являются частным случаем условий инвари-

антности,

установленных в главе 6, если в них положить р = 0.

Таким

образом,

условия

отсутствия

статической

ошибки

представляют со-

бой условия инвариантности при р = 0.

Так,

для обычной системы из условий инвариантности (6.59) и

(6.60) при р = 0, или, что то же, условий отсутствия статиче-

ской

ошибки, согласно (9.47) из (9.16) и (9.17) при k = 0 полу-

чаем

(°)

)

(9-48)

—

0 (9 49)

124 ВЫНУЖДЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. 9

Если

(p)

обладает индексом апериодической нейтральности,

отличным от

нуля,

т. е.

0, что соответствует наличию в за-

коне

управления интегральной компоненты, то

(0) =

оо

(9.50)

условия (9.48), (9.49) заведомо удовлетворяются, а значит,

выполняются равенства (9.47). Заметим, что если управляемый

объект таков, что индекс апериодической нейтральности его так-

же отличен от нуля,

s°

> 0, а индекс апериодической ней-

тральности управляющего устройства равен нулю, т. е.

то

оо,

(9.51)

Wy{Q)

const. (9.52)

Тогда условие (9.48)

будет

по-прежнему выполняться, а условие

(9.49) не

будет

выполняться, так как

и,

следовательно, из (9.35),

^=--^•^0-

(

)

В этом случае статическая ошибка полностью не устраняется.

Для системы с положительной внутренней обратной связью

(рис.

6.3) условие нулевой статической

ошибки,

как

следует

из

условий инвариантности (6.20), (6.22), при р = 0 принимает

вид, аналогичный (9.48) и (9.49), но теперь

Аз

(0) =

д.

П7_

(о)

===:

' (9.55)

Т7пГ

(

)

где, как

следует

из (6.16), при

= 0

вос

(0)

#KW

' ^

Условие инвариантности (6.24) при

—0

имеет вид

{0)

(0).

(9.58)

Если

{0)

—

{0)

ky,

то условие (9.58) принимает

простой вид:

*к=4-.

(9.59)

9.4] УСЛОВИЯ ОТСУТСТВИЯ СТАТИЧЕСКОЙ

ОШИБКИ

125

Это условие и обеспечивает нулевую статическую ошибку. Легко

понять

физический смысл этого результата. При выполнении

условия (9.58) или (9.59) передаточная функция

(0)

= oo. (9.60)

Предположим для простоты, что

Wy(p)

TTT^

ИМ/>)

*к.

(9.61)

Подставляя

эти

значения

(6.16),

получим

при учете (9.59)

что соответствует введению в закон управления интегральной

компоненты,

Таким образом,

при

введении

положительной

обратной

связи

выполне-

нии

условия

нулевой

ошибки

при р = 0

элемент,

переда-

точная

функция

которого

имела

индекс

апериодической

нейтральности

= 0,

заменяется

элементом,

передаточ-

ная функция

которого

имеет

индекс

апериодической

нейт-

ральности

= 1.

Следует, однако, отметить, что неточное выполнение соотно-

шений

(9.59) приводит к тому, что элемент передаточной функ-

ции,

обладающей нулевым индексом нейтральности, нулевым

индексом

неустойчивости, может заменяться элементом с переда-

точной функцией, обладающим положительным индексом не-

устойчивости.

Устранение статической ошибки может быть достигнуто и в

системах с отрицательной внутренней обратной связью (рис. 6.2).

В этом случае вместо (6.16)

B0C

(p)

будет

определяться выра-

жением

^(p)-

(

{

y{p)

(9-

)

Пусть по -прежнему

(p)

определяется выражением (9.61), а

(p)

выберем равным

«МР)

ТЙ7-

64)

Подставляя значения

(p)

(9,61) и

(p)

(9.64) в (9.63), по-

лучим

№

65)

126

ВЫНУЖДЕННЫЕ

ПРОЦЕССЫ

[ГЛ

При

достаточно большом значении fe

, что соответствует глубо-

кой

отрицательной внутренней обратной связи,

WBOC

(Р)

Ц^-

(9-66)

мы снова

получаем

элемент, обладающий положительным ин-

дексом нейтральности. Подчеркнем, что

e{p)

(9.65) при до-

статочно большом коэффициенте усиления fe

, как видно из

(9.66), практически не зависит от значения коэффициента уси-

ления.

Таким образом,

при

введении

глубокой

отрицательной

внутренней

обрат-

ной

связи

элемент,

передаточная

функция

которого

(9.63)

имела

индекс

апериодической

нейтральности

= 0, за-

меняется

элементом,

передаточная

функция

которого

имеет

индекс

апериодической

нейтральности

= 1 (9.66).

Введение надлежащей положительной или отрицательной

внутренней связи приводит к тому, что в закон управления вво-

дится интегральная компонента, которая и обеспечивает устра-

нение

вынужденного значения ошибки.

системах

И-,

ПИ-,

ПИJX-yправлением

статическая

ошибка

равна

нулю.

Физический

смысл этого вывода довольно прост. Наличие ин-

тегратора в управляющем устройстве приводит к тому, что упра-

вляющее воздействие может быть любым постоянным воздей-

ствием при нулевом сигнале ошибки. Такие автоматические си-

стемы называются астатическими.

системах

Я-,

ПД-управлением

управляющее

воздей-

ствие

всегда

пропорционально

сигналу

ошибки.

Рассмотрим комбинированную разомкнуто-замкнутую систе-

му. Условие отсутствия статической ошибки получается из об-

щих условий инвариантности, т. е. компенсации (6.48) и воспро-

изведения (6.49) при р = 0. Эти условия имеют вид

(0)

-W

(0)K

(Q)

(9.67)

/С

(0)

2к

(0)/С

(0)

= 1 (9.68)

или, на основании (6.50) и (6.51),

W,K(0)

W7'(0)

(9.69)

2к

(0)

'(0).

(9.70)

9.51 УСЛОВИЯ АСТАТИЗМА

1-ГО

ПОРЯДКА

12?

Так,

например, если

(9-71)

%%р

...)

;

^—

, (9.73)

р+

^±^1.

то статическая ошибка

будет

равна нулю, если, как это

следует

из

(9.69)

и (9.70), выбрать коэффициенты усиления дополни-

тельных корректирующих элементов равными

(9.75)

В этом

случае

статическая ошибка в системе уничтожается за

счет компенсации постоянного возмущающего воздействия и

идеального воспроизведения постоянного задающего воздей-

ствия.

9.5. Условия астатизма

1-го

порядка

Будем

говорить,

что автоматическая система обладает

аста-

тизмом /-го порядка, если при полиномиальных воздействиях

вида

h(t)-=A

3tQ

3tl

...

+Л

,,-!/'-!

(9.76)

Bt0

B9l

...

+Л

/+1

(9.77)

вынужденный процесс изменения ошибки

отсутствует,

т. е.

(/)^0.

(9.78)

Как

видно из выражения вынужденной ошибки (9.15), усло-

вием астатизма

1-го

порядка автоматической системы является

V28

ВЫНУЖДЕННЫЕ

ПРОЦЕССЫ

[ГЛ.

равенство нулю / первых коэффициентов ошибок по задающему

возмущающему воздействиям, т. е.

(k)=^0

(k)

= 0, 1, ... /—1. (9.79)

Действительно, замечая, что для

(t)

(9.76) и

(9.77)

f(k)

(/)

при fe>/, (9.80)

учитывая (9.79), получаем из выражения ошибки (9.15) то-

ждество (9.78).

Астатизм

1-го

порядка

может

быть

достигнут

таким

изме-

нением

закона

управления,

при

котором

передаточная

функция

управляющего

устройства

приобретает

индекс

апериодической

нейтральности

= /, что

достигается

вве-

дением

управляющее

устройство

последовательно

со-

единенных

интеграторов.

комбинированных

разомкнуто-

замкнутых

системах

астатизм

1-го

порядка

может

быть

достигнут

надлежащим

выбором

передаточных

функций

корректирующих

звеньев.

При

/ = 1 мы приходим к астатизму 1-го порядка, соответ-

ствующему нулевой статической ошибке, о которой шла речь в

9.3.

Задачи

9.1.

Показать, что коэфициенты ошибок системы, обладающей передаточ-

ной

функцией

(Р)

•

равны соответственно с (0) = 1 — —~, с

п-2

n-2

n- \

Zip)

Рис.

9.1.

9.2. Показать, что для системы на рис. 9.1 коэффициенты ошибок равны

ЗАДАЧИ

129

9.3. Показать,

что при k\ =

-т—

коэффициент ошибки

с(\)

системы,

изо-

браженной

на рис. 9.2,

обращается

нуль.

Рис.

9.2.

V_^w>

Ш=оо

Ш)

\PlML

)=Об

CO-U

hit)

Рис.

9.3,

9.4. Убедиться в том, что для систем с передаточными функциями

и — —

(

2Т

частотные и временные характеристики имеют вид, изображенный на

рис.

9.3, а, б.

Я. 3

Цып

кий

Глава

УСТОЙЧИВОСТЬ

АВТОМАТИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

10.1.

Условия

устойчивости

Устойчивость является одним из необходимых условий, обес-

печивающих нормальное функционирование линейных автомати-

ческих систем. Будем говорить, что линейная автоматическая

система

устойчива,

если ее реакция на любое ограниченное

воз-

действие также ограничена, и

неустойчива,

если реакция на

огра-

ниченные

воздействия не ограничена.

Появление

неустойчивости часто ограничивает наши возмож-

ности

в создании высококачественных автоматических систем.

Поэтому чрезвычайно важно определить условия, обеспечиваю-

щие

их устойчивость. Для установления условий устойчивости

линейных

систем в силу принципа суперпозиции можно ограни-

читься рассмотрением реакции системы на какое-либо одно воз-

действие — задающее или любое из возмущающих. Реакция си-

стемы на совокупность воздействий

будет

равна совокупности

реакций

на каждое из этих воздействий. Уравнения относитель-

но

изображения и оригинала реакции линейной системы имеют

вид

Z(p)

K(p)F(p)

(10.1)

(10.2)

где F(p) и

f(t)—изображение

и оригинал внешнего воздействия,

К{р)

k(t)—соответствующие

этому воздействию передаточ-

ная

функция и временная характеристика. Предположим, что

внешнее воздействие ограничено, т. е.

| /

оо

при любом

(10.3)

а значит, и

|Д*

—

т)КЛ1

при любом

/>т.

(10.4)

§10

УСЛОВИЯ

УСТОЙЧИВОСТИ

131

Оценим

абсолютную величину реакции системы

z(t).

Поскольку

абсолютная величина интеграла

не

превышает интеграла

от аб-

солютной величины,

то

*(T)||f(f-T)|dT.

(10.5)

Учитывая

(10.4)

увеличивая предел

t до

оо,

мы

несколько уси-

лим

неравенство (10.5)

и,

значит,

\k{x)\dx.

(10.6)

Реакция

системы

z(t)

будет

ограничена, если интеграл

от

абсо-

лютного значения временной характеристики конечен,

т. е.

если

\k{x)\dx<oo.

(10.7)

Отсюда заключаем,

что

для

того,

чтобы

реакция

системы

z(t)

была

ограниченной,

достаточно,

чтобы

временная

характеристика

была

абсо-

лютно

интегрируемой.

Покажем,

что

условие (10.7) является также

необходимым.

Для этого предположим,

что

условие (10.7)

не

соблюдается.

Это

значит,

что

OO.

(Ю.8)

Тогда, выбирая

при

фиксированном

t =

воздействие вида

при

&(т)>0,

при

*(т)

(10.9)

—

при

6(т)<0,

получим

из

(10.2) выражение

для

отклонения

z(t

s(f

)=$

k{x)s\gnk{x)dx

\k{x)\dx.

(10.10)

Это

равенство справедливо при любом

в том

числе

при

до-

статочно

больших

Но с

ростом

как

следует

из

(10.8)