Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

142

УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОМАТИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

[ГЛ 10

Нормированная

частотная характеристика

(/со), соответ-

ствующая устойчивой замкнутой системе при

изо-

бражена на рис. 10.5. Сформулированный частотный критерий

устойчивости II — отрезковый критерий — остается справедли-

вым и для систем, передаточная функция

W(p)

которых обла-

дает ненулевым индексом

W(jo)

апериодической нейтрально-

сти,

т. е. когда передаточная

функция

разомкнутой систе-

мы представима в виде

(10.44)

Рис.

10.5.

где

— индекс апериодиче-

ской

нейтральности. Как и

ранее,

корни уравнения

(p)

= 0 предполагаются левыми. Нормированная частот-

ная

характеристика, получаемая из

(10.44)

делением на

заменой

р на

/со,

имеет вид

(/со)

(/«О

Qn-s

(/«)

(10.45)

обращается в бесконечность при со = 0, что затрудняет непо-

средственное установление факта

«неохвата»

отрезка

(

—г~).

Для устранения этого затруднения при малых со, а

значит, и при малых \р\

будем

полагать

;4,

(Ю.46)

(10.47)

где е достаточно мало. При малых | р

имеем

Q»-..

(0)

(р)

е~

/5аФ

(10.48)

Отсюда

следует,

что при малых

\р\,

т. е. при малых со, нормиро-

ванную частотную характеристику

W(/со)

следует

дополнить ду-

гами достаточно большого радиуса, начинающимися на положи-

тельной действительной оси, соответствующими

ЧАСТОТНЫЕ

КРИТЕРИИ

УСТОЙЧИВОСТИ

143

нормированной

частотной характеристики разомкнутой системы

W(](o)

дополненной

дугами

достаточно большого радиуса, спра-

ведливы приведенные выше формулировки частотных критериев

устойчивости, если в них заменить

на

Примеры нормиро-

ванных частотных характеристик

tF(/co),

соответствующих устой-

чивым замкнутым системам при

<С

ko,

приведены на

рис.

10.6,

а,

б.

Рис. 10.6.

Аналогичным образом рассматривается случай систем, пере-

даточная функция

W(p)

которых обладает ненулевым индексом

колебательной нейтральности, на-

пример,

= 2, т.е.

W(p)=

(p2 +

}

{р)

•

(Ю.49)

Теперь нормированная частотная

характеристика равна

-^--

(10.50)

Рис. 10.7.

л)

(

^*.

)

[

W(j(o)

обращается в бесконечность

при

со =

соо.

Дополнив при

близких к соо, частотную характе-

ристику дугой, соответствующей

углу

5&-2~

л;,

можно использовать обычные формулировки

частотных критериев (рис. 10.7).

Предположим теперь, что разомкнутая система неустойчива.

Это значит, что ее передаточная функция

W(p)

имеет правые

144

УСТОЙЧИВОСТЬ

АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

[ГЛ.

Рис.

10.8.

полюсы, число которых

> О определяет индекс неустойчиво-

сти.

В этом случае характеристическое уравнение разомкнутой

системы Q(p)= 0 имеет

правых

корней.

Для того чтобы за-

мкнутая система при заданном значении k =

была устойчива,

необходимо, чтобы при возрастании — -^ от -— оо до

~~~-~j~~

разность числа пересечений

(/со)

(-—оо

^ со ^ оо) с заштри-

хованной и незаштрихованной стороны была бы равна индексу

неустойчивости

Если рассматривать

(/со) для со

О, то это

условие

будет

выполнено,

если при возрастании со раз-

ность числа подъемов и спу-

сков

(/со) на интервале

~~°°>

—г~)

будет

равна

у-.

При

этом половина подъ-

емов или спусков

(/со) мо-

жет иметь место при со = О,

если

№(/оо)

|ю=о

начинается

на

отрезке { — оо,

-т-

Оче-

видно,

что это

будет

иметь место, если нормированная частотная

характеристика

tF(/co)

будет

охватывать

-у-

раз точку

-£-,

/0J.

Поэтому частотные критерии устойчивости в этом

случае можно сформулировать в следующей форме.

Частотный

критерий I

(точечный

критерий). Если

разо-

мкнутая

система

неустойчива

обладает

индексом

не-

устойчивости

для

того,

чтобы

замкнутая

система

была

устойчива

при k =

необходимо

достаточно,

что-

бы

нормированная

частотная

характеристика

(/со) охва-

тывала

бы точку

(—г-

/0J

против

часовой

стрелки

-у-

раз.

Частотный

критерий

(отрезковый

критерий).

Если

разо-

мкнутая

система

неустойчива

обладает

индексом

не-

устойчивости

для

того,

чтобы

замкнутая

система

была

устойчива

при

<С

&o,

необходимо

достаточно,

чтобы

нормированная

часто!

пая характеристика

W(/со)

охватывала

бы

отрезок

(

, — —

против

часовой

стрелки

раз,

не

пересекая

его.

Нормированная

частотная характеристика

Щ/со),

соответ-

ствующая устойчивой системе при

=2,

изображена на рис. 10.8.

Ю.4]

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ

ЧАСТОТНЫЕ

КРИТЕРИИ

145

Характерная черта частотного критерия устойчивости состоит

том, что он

дает

возможность судить

об

устойчивости замкну-

той системы

по

устойчивости разомкнутой системы.

Для

устой-

чивых

= 0,

0) и

нейтральных

ф 0,

= 0)

разомкнутых систем частотная характеристика

W(j&)

может быть снята экспериментально

затем использована

для

суждений

об

устойчивости замкнутой системы.

Для

неустойчи-

вых разомкнутых систем, разумеется, нельзя снять частотную

характеристику экспериментально, поэтому

для

этого случая

частотный критерий устойчивости носит формальный характер.

10.4. Логарифмические частотные критерии устойчивости

Для реальных автоматических систем модуль частотной

ха-

рактеристики

W(JG>)

(<u)ei*№

(10.51)

при

изменении

со

изменяется

очень широких пределах

— от 0

до

Поэтому практически изображение

их в

обычном

мас-

штабе невозможно.

этих случаях удобно пользоваться лога-

рифмическими

частотными характеристиками,

именно лога-

рифмической

амплитудно-частотной характеристикой

логариф-

мической

фазочастотной характеристикой.

Логарифмическая

амплитудно-частотная

характеристика

определяется соотношением

L(co)

201gW

(co)

(10.52)

измеряется

децибелах

(дБ).

Сопоставление величин

(со)

£(со)

приведено

табл.

10.3.

Го

(СО)

Мсо)

0,01

-40

0,1

-20

0,2

-6,02

1,12

6,02

Та

блица

10.3

100

1000

Логарифмическая

фазо-частотная

характеристика

(со)

изме-

ряется

градусах

или

радианах,

как и

ранее.

Для

изображения

L(co)

(со) применяется полулогарифмическая система коорди-

нат:

по оси

абсцисс откладывается

со в

логарифмическом

мас-

штабе,

а по оси

ординат

L(co)

в дБ и

(со)

градусах

или

радиа-

нгх

(рис.

10.9). Изменение

со в два

раза соответствует окгаве,

10 раз —

декаде.

Назовем

положительным (отрицательным) переход фазо-ча-

стотной характеристикой

при

L(co)>0

прямых

9 =

~я,

—Зя,

146

УСТОЙЧИВОСТЬ

АВТОМАТИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

[ГЛ.

—5я,

—

(2т

1)я снизу вверх (сверху вниз) (рис. 10.9). Тогда

частотный критерий устойчивости можно сформулировать сле-

дующим образом.

Для

того

чтобы

система

автоматического

регулирования

была

устойчива,

необходимо

достаточно,

чтобы

разность

между

числом

подъемов

числом

спусков

фазо-частотной

характеристики при

L(co)>0

на

прямых

0 =—я,

—Зя,

—5я,

...

равнялась

половине

индекса

неустойчивости,

т. е,

-~-. Если разомкнутая

система

устойчива

или

нейтраль-

на,

то

= 0 и для

того,

чтобы

замкнутая

система

была

устойчива,

необходимо

достаточно,

чтобы

разность

ме-

жду

числом

подъемов

числом

спусков

фазо-частотной

характеристики

была

равна

нулю (рис. 10.10).

На

рис. 10.9 изображены логарифмические амплитудно-ча-

стотные и фазо-частотные характеристики для устойчивой (1) и

неустойчивой (2) замкнутой системы. В частном случае, когда

-/Г

Рис.

10.9.

0)2.

—

L(Q)>0

—

Рис.

юла

существует единственное пересечение фазо-частотной характери-

стики

0((о)

прямой

—я

удобно использовать понятие за-

паса

по

фазе,

представляющее собой отклонение фазо-частотной

характеристики от прямой

—я

при частоте, соответствую-

щей

L(o))=0.

Тогда, если разомкнутая система устойчива, то

замкнутая система

будет

устойчива, если запас по фазе у поло-

жителен, и неустойчива, если запас по фазе

отрицателен.

Изо-

бразим логарифмические частотные характеристики в декарто-

вой

системе координат, откладывая по оси абсцисс

0(со)

или за-

Ю.4]

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ

пас

по фазе

(со)—я, а по оси ординат

L(co).

Сформулирован-

ные

выше критерии устойчивости остаются справедливыми и для

таким образом изображенных логариф-

мических характеристик (рис. 10.11).

Применение

логарифмических частот-

ных характеристик позволяет внести су-

щественные упрощения при конкретных

исследованиях устойчивости. Пусть пере-

даточная функция разомкнутой системы

равна

(п)

(1 +

р)

(Г

)

(10.53)

При

/со получаем частотную харак-

теристику

(/со)

Рис.

10.11.

откуда находим амплитудно-частотную характеристику

(10.55)

фазо-частотную характеристику

(со)

—

arctg

Г!©

+ arctg

—

arctg

7>.

(10.56)

Логарифмическая

амплитудно-частотная

характеристика опре-

деляется как

(со)

20 lg

—

со

!®

(10.57)

Рассмотрим соответствующие слагаемые в выражениях лога-

рифмической

амплитудно-частотной характеристики

(10.57)

фазо-частотной характеристики (10.56). Первые слагаемые

(ш)

= 0

(10.58)

представляют собой прямые, параллельные оси частот

(рис.

10.12).

Li(co)

приводит к смещению логарифмической ам-

плитудно-частотной характеристики, соответствующей

= 1,

вверх (если k\ > 0) или вниз

(^сли

k\ < 0) на величину 20 lg

(рис.

10.12). Вторые слагаемые

—

201gco

(10.59)

148

УСТОЙЧИВОСТЬ

АВТОМАТИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

{ГЛ.

(co)

представляют собой прямую, проходящую через

ось

абс-

цисс

в точке

= 1 с наклоном 20 децибел на декаду (рис. 10.13),

20Щ

(u)).

Цо)

0,1

о)

Рис.

10.12.

Рис

10.13.

02(со)—постоянная

фаза. Третьи слагаемые имеют вид

(со) = — arctg

со

(10.60)

При

(£>

<С

1 пренебрегаем

Т^со

по сравнению с 1. Тогда

(u>)«201gl

=0,

(со)^0.

(10.61)

При

Tj0

1 пренебрегаем 1 по сравнению с

{

а>:

(<*>)«

Ig7>

(ю)«

—

-£•

(10.62)

В этом случае

(co)

представляет собой прямую, проходящую

через ось абсцисс в точке

coi

у-

с наклоном в

—20

децибел

на

декаду. Выражения (10.61),

(10.62)

определяют асимптотиче-

ские

логарифмические амплитуд-

но-частотную и фазо-частотную

до характеристики, изображенные на

рис.

10.14.

Частота

coj

-у—

на-

зывается

сопрягающей.

Отличие

асимптотической характеристики

от истинной максимально в точке

сопряжений

и равно 3 дБ. Чет-

вертые слагаемые

Рис.

10.14.

(со) = arctg

со.

(10.63)

((o)

04(со)

отличаются от

((o)

64(00)

только величиной

постоянной

времени и знаком. Постоянная времени, определяю-

щая

сопрягающую частоту

Y~~>

приводит к смещению ам-

Ю.4]

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ

ЧАСТОТНЫЕ

КРИТЕРИИ

149

плитудно-частотной и фазо-частотной характеристик вдоль оси со,

а знак изменяет наклон —20 дБ/дек на

4:20

дБ/дек (рис.

10.14).

Пятые

слагаемые

(со) = — 20 !g

+TW,

(со)

- arctg

со

(10.64)

отличаются от третьих лишь величиной постоянной времени.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика

L(co)

(10.51)

и фазо-частотная характеристика

8(0)

(10.50)

по-

лучаются в

результате

суммирования характеристик, соответ-

ствующих каждому слагаемому. Практически удобно произво-

дить построение логарифмической амплитудно-частотной харак-

теристики следующим образом:

1) отмечаем на оси со сопрягающие частоты

со&

Т~~

(k =

2, 3);

2) проводим через точку

201g&i

при со = 0 прямую с накло-

ном

—20

дБ/дек;

3) после каждой сопрягающей частоты изменяем наклон ам-

плитудно-частотной характеристики на

—20

дБ/дек, если мно-

житель (1 +

Thj®)

находится в числителе

Щ/to),

или на

(

20 дБ/дек, если множитель

(1+

Г/г/со)

находится в знаменателе

4) проводя сглаженную кривую,

отличающуюся от асимптотической

амплитудно-частотной характери-

стики

в точках частот сопряжения

на

дБ, получаем прибли-

женно

амплитудно-частотную ха-

рактеристику.

Фазо-частотная характеристика

строится следующим образом:

1) отмечаем на оси со сопрягаю-

-до

шие

частоты

со&

= —

—

2, 3);

2) проводим фазо-частотную

ха-

-fSD

рактеристику

©i

(со) = —^";

Рис.

10.15

3) из каждой сопрягающей частоты вычитаем -^, если

множитель

(1+7\/со)

находится в числителе

W(/co),

или при-

бавляем-|г,

если множитель (1 +

7\/со)

находится в знамена-

теле;

4) сглаживая полученную ступенчатую кривую, находим при-

ближенную фазо-частотную характеристику.

150

УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ 10

Более точные результаты получаются, если

фазо-частотная

характеристика строится как сумма отдельных фазо-частотных

характеристик. При этом используется, по

существу,

одна и та же

кривая

arctg

7\co,

которая в зависимости от величины

сме-

щается вдоль оси со и изменяет знак вместе с изменением знака

наклона

((o).

Пример построения

L(o))

(со)

приведен на

рис.

10.15.

Там же изображена логарифмическая частотная ха-

рактеристика в декартовой системе координат.

Задачи

10.1.

Показать, что система

будет

неустойчива, если в характеристиче-

ском

уравнении какой-либо из коэффициентов равен нулю или не все

коэффи-

циенты

имеют одинаковые знаки.

10.2. Показать, что граница устойчивости линейной системы определяется

равенствами

-а

или

где

Лп-1

— предпоследний определитель Гурвица, а

— свободный член ха-

рактеристического уравнения.

10.3. Показать, что если линейная система находится на границе устойчи-

вости, то соответствующая граничная частота равна

или

П-\

Гр

С\

л-1

где

-2»

Л/г-з

— определители Гурвица,

ttl

-\ ~~ коэффициенты

Рауса. Проверить формулы для

при п = 2, 3, 4.

лава

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ

АВТОМАТИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

11.1.

Исследование

устойчивости

типовых

систем

Рассмотрим системы первого и второго порядка. Передаточ-

ные

функции разомкнутых систем равны

Характеристические уравнения замкнутых систем соответственно

представляются в виде

0, (11.1)

-1+6

= 0. (11.2)

Поскольку

постоянные времени

и коэффициент усиления

П1

К?

Л*

Ър+f

p+1

р±1

предполагаются положительными, то все коэффициенты уравне-

ний

(ИЛ)

(Н.2)

положительны и, согласно алгебраическому

критерию устойчивости (табл. ЮЛ, строки

и 2),

замкнутые

системы

первого

второго

порядка

всегда

устойчивы.

Рассмотрим теперь систему третьего порядка, граф которой

изображен на рис.

ИЛ.

Передаточная функция разомкнутой си-

стемы имеет вид

(Р)

*1*2*Э

W(p).

Q(p)

(Т

1Р

+\)(Т

р+\)(Т