Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

172

ИССЛЕДОВАНИЕ

УСТОЙЧИВОСТИ

СИСТЕМ

!ГЛ,

Эта зависимость изображена на рис. 11.23. Система устой-

чива при

т<т

Чем больше запаздывание

т,

тем меньше

допустимый коэффициент усиле-

ния

В тех

случаях,

когда система с

запаздыванием сложна, удобно ис-

пользовать логарифмические частот-

ные

характеристики предельной си-

стемы, о которых шла речь в гл. 9.

Окружность радиуса

для лога-

рифмической

частотной характери-

стики

предельной системы преобра-

зуется в прямую, параллельную оси

абсцисс и проходящую на уровне

•у

—20

(рис. 11.24). Точка пересе-

чения

этой прямой с логарифмиче-

Рис.

11.23 ской частотной характеристикой оп-

ределяет критическую частоту со =

сокр,

запас по фазе (возможно, с

учетом

кратности), отне-

сенный

к частоте

со

р,

— критическое время запаздывания

Область

устойчивости

го

-2Щк

-го

-so

Рис.

11.24.

Рис.

11.25.

(рис.

11.24).

Подобным же образом определяются критическая

частота и время запаздывания по логарифмическим амплитудно-

ЗАДАЧИ

173

частотной и

фазочастотнои

характеристикам. Критическая часто-

та определяется как абсцисса точки пересечения прямой — 20

с логарифмической амплитудно-частотной характеристикой

(рис.

11.25).

Задачи

11.1.

Показать, что если передаточная функция разомкнутой линейной си-

сгемы равна

то граничное время запаздывания определяется соотношением

Тг

""Т

замкнутая система

будет

устойчивой при

11.2.

Показать, что если передаточная функция разомкнутой линейной си-

стемы равна

то факт устойчивости замкнутой системы не зависит от т и замкнутая система

будет

устойчивой при

k<e

23,14.

11.3.

Показать, что если передаточная функция разомкнутой линейной

системы имеет вид

то замкнутая система

будет

структурно неустойчивой»

Глава

СВОБОДНЫЕ

ПРОЦЕССЫ

АВТОМАТИЧЕСКИХ

СИСТЕМАХ

12.1.

Мера

быстродействия

автоматических систем

Факт

устойчивости автоматической системы свидетельствует

том, что свободные процессы

затухают

с течением времени и

системе устанавливается вынужденный процесс. При этом вре-

менная

характеристика замкнутой системы абсолютно интегри-

руема, т. е. ограничена и с течением времени стремится к нулю.

Чем быстрее происходит это стремление к нулю, тем больше

быстродействие системы и, значит, тем быстрее наступает

уста-

новившийся

режим. Подобно

тому,

как мобильность эскадры ко-

раблей характеризуют мобильностью наименее быстроходного

корабля,

быстродействие системы можно оценивать той компо-

нентой

временной характеристики, которая

затухает

медленнее

всех.

Как

было показано в § 8.4, временная характеристика систе-

мы равна

v-l

Выражение (12.1) можно представить также в виде

v-l

Выберем значение

таким, чтобы всегда выполнялись неравен-

ства

Re(p

l)<0,

v=l,2,

...,

п.

(12.2)

Очевидно, что максимально возможное значение

Reg,

удовлетво-

ряющее условию (12.2), равно по абсолютной величине действи-

МЕРА

БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

175

тельной части полюса, расположенного ближе всего

мнимой

оси

(рис.

12.1). Замечая,

что

модуль суммы

не

превосходит

сум-

мы модулей, получаем

из

(12.1)

оценку

Обозначая

V-1

V=l

замечая,

что в

силу

(12.2)

получаем

(t)

Me-**.

Это неравенство

дает

оценку быстродействия автоматической

системы: процессы

системе

затухают

быстрее,

чем

е~^,

где

min|Rep

Величина

называется

степенью

устойчивости

системы.

Она ха-

рактеризует

предельное

быстродействие

системы. Поэтому далее

будем

называть

еще

мерой

быстродействия

системы.

Из вы-

ражения

(12.2)

следует,

что

k{t)e&

абсолютно интегрируема лишь

при J

<С

go,

а при

абсолютная

ве-

личина

неограниченно возрастает

ростом

t. По

определению времен-

ной

характеристики

L{k{t)}

и,

значит,

силу теоремы смещения

(теорема

приложения

K(p-l).

(12.3)

Назовем

замкнутую систему, пере-

Рис

12.1.

Даточная

функция которой равна

К(р

—

g),

смещенной.

Тогда

из

(12.3)

следует,

что

предельное

быстродействие определяется таким выбором

go,

при

котором

смещенная

система

еще

сохраняет устойчивость. Таким образом,

исследование степени устойчивости,

или

быстродействия, замк-

нутой системы сводится

исследованию устойчивости замкну-

той смещенной системы.

176

СВОБОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

ГЛ. Г2

Определим верхние границы предельного быстродействия

ти-

повых автоматических систем,

граф которых приведен на

Рис.

12 2,

рис.

12.2.

Положим,

что

передаточная функция управляемого

объекта имеет

вид

Примем,

что

>Г

...

Передаточные

же

функции управляющего устройства могут быть

различными:

Интегральный

закон управления

{И-управление):

Пропорциональный

закон управления

(П-у

правление):

Пропорционально-интегральный

закон управления

(ПИ-

управление):

Передаточная функция разомкнутой системы равна

В зависимости

от

выбора управляющего устройства

вид

(р)

будет

различен.

Так,

для

И-управления

W(p)

p(T

+l)(T

p+\)(T

При

замене

р на р —

\ получаем передаточную функцию

ра-

зомкнутой смещенной системы

МЕРА БЫСТРОДЕЙСТВИЯ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 177

Как

было показано в §

11.2,

если степень передаточной функции

разомкнутой системы совпадает с порядком передаточной функ-

ции

и сумма индексов нейтральности и неустойчивости больше

или

равна двум, то такая система структурно неустойчива. За-

мкнутую смещенную систему можно стабилизировать, если ин-

декс неустойчивости не превосходит единицы. Для этого должно

выполняться

неравенство 1 —

Т\\

> 0. Отсюда находим

Быстродействие

системы

И-управлением

не

может

пре-

восходить

быстродействие

самого

объекта,

которое

опре-

деляется

величиной,

обратной

наибольшей

постоянной

времени,

г.

е.

-~-.

Для П-управления

(р)

——^-^^

;

(12.4)

передаточная функция разомкнутой смещенной системы, полу-

ченная

заменой р на

р—

в (12.4), для этого случая имеет вид

Замкнутую смещенную систему можно стабилизировать, если

индекс

неустойчивости равен единице, т. е. если выполнены

неравенства

1-Г,|>0,

1_7\£>0,

(12.6)

так как

{

то из (12.6) находим

Быстродействие

системы

П-управлением

может

превос-

ходить

быстродействие

объекта,

которое

определяется

ве-

личиной,

обратной

наибольшей

постоянной

времени,

но

оно

ограничено

величиной,

обратной

постоянной

времени,

следующей

за

наибольшей.

Эти

выводы подтверждают известный из практики результат

о том, что

астатическая

система

уступает

по

быстродействию

статической

системе.

Для более сложного

ПИ-управления

передаточная функция

разомкнутой системы равна

178 СВОБОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ [ГЛ. 12

а передаточная функция разомкнутой смещенной системы имеет

вид

(п — %\ = —

(k\

&£)

В этом

случае

степень

W(p)

W(p

—

не совпадает с поряд-

ком

= п — 1 и можно показать, что замкнутая смещенная си-

стема

будет

структурно неустойчивой, если при порядке

неми-

нимально-фазовости,

равном нулю, сумма индексов нейтрально-

сти и неустойчивости

будет

больше или равна трем. Поэтому,

чтобы замкнутая смещенная система могла быть устойчива, по-

рядок

неустойчивости не должен быть больше

двух.

Отсюда по-

лучается условие

Т£

> 0,

и,

значит,

Таким

образом,

ПИ-управление

приводит

астатизму,

но при

этом

сохра-

няет

быстродействие,

как и в

статической

системе

П-управлением.

12.2.

Связь

временной

частотной

характеристик

автоматических

систем

Связь

передаточной функции замкнутой системы

К(р)

с вре-

менной

характеристикой

k(t)

определяется соотношением

/t(p)=J

k(i)e-p*dt.

Полагая

р = /со, получаем соотношение, связывающее частот-

ную характеристику системы с ее временной характеристикой:

оо

/С

(/со) =

k(t)e~№dt.

(12.7)

Это соотношение справедливо только для устойчивых замкнутых

систем, ибо в противном

случае

интеграл, стоящий в правой ча-

сти (12.7), расходится.

При

анализе качества процессов в автоматических системах

приходится решать и обратную

задачу,

связанную с построением

временной

характеристики

k(t)

по частотной характеристике

/С(/со).

Напомним, что временная характеристика системы пред-

12 2] СВЯЗЬ ВРЕМЕННОЙ И ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИК 179

ставляет собой реакцию системы

на

дельта-функцию

б(/).

Пред-

положим,

что на

систему

действует

периодическая последова-

тельность дельта-функций

(рис.

12.3).

Эта

периодическая после-

довательность, которую

будем

обозначать

бг(/),

может быть

представлена

виде ряда Фурье:

^-.

(12.8)

Вычисляя коэффициенты Фурье, получаем

Т/2

(12.9)

-Т/2

Подставляя значение

из

(12.9)

в (12.8), находим ряд Фурье

для

6т

в явной форме:

оо

(л=4-

е/™<ч

т»

—

оо

Реакция

системы, обладающей частотной характеристикой

K(j(o),

на последовательность

6т

(О

силу принципа суперпозиции бу-

дет определяться соотношением

(12.10)

Временную характеристику системы

k(t)

можно получить из

(12.10), устремив Г к оо, ибо

k(t)=

lim

(t).

Поскольку

со

—

(т—1)

со

ACD

2я

~" 2я ""

^T'

Aco.

(12.11)

При

Г~>оо

из

(12.11)

получаем

пределе

(12.12)

180

СВОБОДНЫЕ

ПРОЦЕССЫ

В АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ [ГЛ. 12

Соотношения

(12.7)

(12.12)

определяют прямое и обратное

преобразования

Фурье. Преобразуем

(12.12)

к более удобной

форме.

Положим

где

(со) и

М(ш)—вещественная

и мнимая частотные характе-

ристики

замкнутой системы. Учитывая еще,

что

е№

= cos со/ +

sin со/,

представим

k(f)

(12.12)

в виде

оо

(/)

~2^-

[В

(со) cos со/

—

М (со) sin

cot]

d®

—

оо

сю

4--^

[В (со)

sin

+ М (со)

cos

arf]

dta.

(12.13)

—

оэ

Подынтегральная

функция во втором интеграле представляет

собой

нечетную функцию частоты со, поэтому интеграл от этой

функции

будет

равен нулю. Подынтегральная функция в пер-

вом

интеграле представляет собой четную функцию частоты,

интеграл в пределах от

—оо

до оо от этой функции может

быть заменен удвоенным значением интеграла от 0 до оо. Таким

образом,

из

(12.13)

получаем

[B(co)cosco/iW(0)sin0/]rfco.

(12.14)

Примем

во внимание условие физической реализуемости

/г

(/)===

0 при

/<!0.

Оно

означает, что до приложения воздействия

б(/)

реакция на

это

воздействие не может существовать. Поэтому

оо

(—

-I

\ [В (со) cos (— со/)

—

М (со) sin

(—

со/)]

dco

О,

ЗХ

или

оо

d©

= 0.

(12.15)

Соотношение

(12.15)

определяет связь вещественной и мнимой

частотных характеристик

друг

с другом. Складывая и вычитая

12.3]

ПЕРЕХОДНАЯ

ХАРАКТЕРИСТИКА

СИСТЕМЫ

\g\

соотношения

(12.14)

и (12.15), получим

оо

(

)

cos

°°^

(12.16)

(/)

— — \ М (со) sin

со/

dco.

Эги

выражения определяют временную характеристику по веще-

ственной

или мнимой части частотной характеристики. Важно

подчеркнуть, что

для

определения

k(t)

достаточно

знания

одной

лишь

ее-

щественной

или

мнимой

частотной

характеристики.

12.3. Переходная характеристика автоматической системы

Зная

временную характеристику, можно определить процессы

при

произвольном воздействии на основе интеграла свертки

(f) — \

(т) f (f

TWT

17^

Назовем

переходной

характеристикой

системы реакцию ее на

воздействие вида скачка

ГО

при / —

т<0,

f(/_

)

{

(12.18)

1 v ;

(1 при / — т > 0.

Подставляя

(12.18)

в (12.17), получаем выражение для переход-

ной

характеристики

{x)dx

(12.19)

т. е. переходная характеристика равна интегралу от импульсной

характеристики. Подставляя в

(12.19)

со

2 f

k{t)

— —\ В (со) cos сот dx

меняя очередность интегрирования, получим

оо

h (/) = — \ В

(0)

\ cos сот dx

dco,