Дьяченко В.Г. Теория двигателей внутреннего сгорания

Подождите немного. Документ загружается.

278

разрежения, то есть имеет место тангенциальный разрыв (скачок

температур b–b, который перемещается вместе с газом со скоро-

стью W).

В случае волны сжатия (при медленном раскрытии диа-

фрагмы) в волне сжатия будет происходить адиабатное сжатие

газа от давления р

до давления р

и увеличение скорости газа до

значения, соответствующего скорости газа за волной разрежения.

Фронт волны сжатия перемещается по неподвижному газу со

скоростью, соответствующей скорости распространения звука в

газе перед фронтом волны. В отличие от волны разрежения волна

сжатия имеет тенденцию к уменьшению протяженности (ширина

зоны, в которой происходит изменение параметров газа, с тече-

нием времени уменьшается), переходя в ударную волну.

Между волной разрежения и ударной волной находится зона

установившегося течения с постоянными параметрами газа, дви-

жущегося в направлении распространения ударной волны с по-

стоянной скоростью W. Любое другое предположение нереально.

Отличие, например, скорости потока за образовавшимися волной

разрежения и ударной волной предопределит образования скачка

давления, который совпадает с начальной волной разрежения или

ударной волной (волной сжатия).

Для определения скорости распространения ударной волны,

изменения скорости газа в ударной волне (волне сжатия) и волне

разрежения воспользуемся основными положениями теоретичес-

кой физики [4, 5].

Скорость распространения ударной волны

рр





 , (8.1)

где 

– плотность газа впереди ударной волны; V

, V

– удельный

объем газа впереди и за ударной волной.

Изменение скорости газа в ударной волне









2112

VVppW  . (8.2)

С уменьшением интенсивности ударной волны (отношения

давления за волной к давлению газа перед волной) уравнение

(8.2) в пределе приводится к виду:

279









dpdC

ddрdW V . (8.3)

При преобразовании уравнения (8.3) использована зависи-

мость для скорости звука:

 dp/dC

. (8.4)

Профиль волны сжатия (под профилем волны понимаем

распределение различных параметров – скорости, плотности и

т.п. – в направлении распространения волны) может быть пред-

ставлен как ряд бесконечно малых возмущений, следующих друг

за другом и распространяющихся со скоростью равной местной

скорости звука. Тогда изменение скорости газа в волне сжатия







































W (8.5)

или

 

W 



 , (8.6)

где С

– скорость звука в газе за волной сжатия.

При решении интеграла использовалась зависимость









/CC . (8.7)

Соотношение пара-

метров газа в ударной вол-

не и волне сжатия зависит

от отношения давления за

волной и перед волной. На

рис. 8.2 представлены со-

отношения некоторых па-

раметров газа в ударной

волне и волне сжатия в за-

висимости от отношений

давлений р

/р

для идеаль-

ного двухатомного газа,

при постоянном давлении

Рисунок 8.2 – Соотношение параметров

газа в ударной волне и волне сжатия

D/C

W/W







1,0

1,1

1,0

1,4

1,8

2,2

2,6

0,8

0,9

D/C

W/W







280

за ударной волной и волной сжатия (р

= 10

Па) и постоянной

температурой газа впереди волны (Т

= Т

= 288 К). Скорость

распространения звука в газе перед волной, а соответственно и

скорость фронта волны сжатия, сохранялись постоянными (С

= 341 м/с). Интенсивность волны сжатия определялась давлением

газа перед волной р

С увеличением интенсивности ударной волны ее скорость

возрастает. Увеличение плотности газа в ударной волне 

 вслед-

ствие большего повышения температуры, чем в волне сжатия, не-

сколько меньше. В волне сжатия плотность изменяется по адиа-

бате. Отношение плотности газа за ударной волной 

 к плотно-

сти газа за волной сжатия 

с увеличением интенсивности волны

уменьшается. Скорости газа за ударной волной W и волной сжа-

тия W до отношений давлений р

/р

= 2,5 практически совпадают,

а затем изменение скорости газа в ударной волне возрастает за-

метно быстрее, чем в волне сжатия.

В случае волны разре-

жения для определения из-

менения скорости газа в

волне будем рассматривать

профиль волны разрежения,

как и волны сжатия, со-

стоящим из бесконечно ма-

лых разрывов (возмуще-

ний), следующих друг за

другом (рис. 8.3). За волной

разрежения, образовавшей-

ся в трубе 1 после разрыва

диафрагмы 2, устанавлива-

ется поток с постоянными

параметрами. Запишем

уравнения второго закона

Ньютона для одного из бес-

конечно малых разрывов

волны разрежения

dWf

dxfdpf 

Рисунок 8.3 – Схема изменения парамет

ров

потока в волне разрежения:

1– труба; 2 – мембрана

= 0

, T

, W

= 0

, T

281

или





dр

dW ,

где f – площадь поперечного сечения трубы; dx – перемещение

разрыва за время dt;  – плотность газа впереди разрыва; dW –

изменение скорости газа при прохождении разрыва; C = dx/dt –

скорость перемещения разрыва (скорость звука в газе впереди

разрыва).

Полное изменение скорости газа в волне разрежения, соот-

ветствующее изменению давлению от р

до р

 











кC

dр

, (8.8)

где С

– скорость звука в газе за волной разрежения.

В волне разрежения, как и в волне сжатия, изменение ско-

рости потока газа определяется скоростью звука в газе перед

волной и за волной. К этому же выводу мы придем, если будем

исходить из уравнения неразрывности и уравнения Эйлера при

отсутствии внешних сил применительно к условиям одномерного

течения газа:





0















, (8.9)















. (8.10)

Общее решение уравнений (8.9) и (8.10) предложено Б. Ри-

маном [6] и может быть представлено следующим образом [7]:

 









dрdр

CW , (8.11)









WfCWtх







, (8.12)

где f(W) – произвольная функция скорости.

Изменение параметров потока газа в волнах сжатия или раз-

режения, перемещение волн по трубопроводу может быть опре-

282

делено с помощью уравнений (8.11) и (8.12).

Следует обратить

внимание на использо-

вание законов сохране-

ния (массы, движения,

энергии) применительно

к неустановившемуся

потоку газа. Рассмотрим

для примера изменение

параметров потока в

трубе постоянного сече-

ния после удаления

пробки на входе в трубу

(рис. 8.4). Давление газа

в трубе до открытия

пробки меньше давления

окружающей среды (р

 р

, Т

= Т

). После удаления пробки в

трубе образовалась волна сжатия, фронт которой перемещается

по неподвижному газу со скоростью звука С

. Скорость гребня

волны сжатия С

 (С



 С

). Разрыв температуры (а–а) перемеща-

ется за волной сжатия со скоростью потока, разделяя газ, нахо-

дящийся в трубе до открытия пробки и втекающий в трубу после

открытия пробки. Температура газа слева от разрыва a–a меньше

(Т

 Т

), так как газ адиабатически расширяется от давления р

до давления р

, и тем более меньше температуры газа справа от

разрыва (Т

 Т

), так как в волне сжатия газ адиабатически сжи-

мается от давления р

до давления р

. Поэтому температура газа

за волной сжатия до разрыва температуры а–а будет больше на-

чальной температуры газа (Т

  Т

= Т

Законы сохранения для волны сжатия (зона между фронтом и

гребнем волны сжатия) в системе координат перемещающихся с

волной сжатия, если не учитывать деформацию волны, можно за-

писать следующим образом:









, (8.13)

CрCр







 , (8.14)

= 0



= 0

l/C

>t>0

Рисунок 8.4 – Схема изменения парамет

ров

потока в волне сжатия

283





, (8.15)

где i

, i

– энтальпия газа перед волной сжатия и за волной сжа-

тия.

В волне сжатия происходит разгон газа до скорости

 

122

W 





 . (8.16)

За волной сжатия перемещается зона с неизменными пара-

метрами (р

, Т

, W

). На входе в трубу (участок I-II) происходит

расширение газа, разгон газа до скорости W

, формируется поток

втекающего в трубу газа. Скорость потока в сечении II-II опреде-

ляется из уравнения сохранения энергии для установившегося

течения (участок I-II):

ii 

(8.17)

или

 





0202

2 CC

iiW 



 , (8.18)

где i

, i

– энтальпия газа на входе в трубу (сечение I-I) и в трубе

(сечение II-II). При преобразовании использована зависимость

для идеального газа











сi

, (8.19)

где с

– удельная массовая теплоемкость газа при постоянном

давлении.

Изменение скорости газа на входе в трубу (участок I–II) и в

волне сжатия равны, так как между волной сжатия и сечением

II–II установилась зона течения с постоянным значением пара-

метров потока. Однако природа явления на срезе трубы и в вол-

не сжатия различна, различна и форма зависимостей, опреде-

ляющих изменение скорости потока.

Представленная выше схема процессов неустановившегося

течения газа может быть проверена и на физической модели [8].

Экспериментальная установка представляет собой бак, к которо-

284

му подсоединяется труба (рис. 8.5). В баке и в трубе установлены

тензодатчики давлений 1, 2, 3 и скорости 4, сигналы от которых

через блок усилителей поступают на осциллограф. Между трубой

и баком устанавливается узел диафрагмы а–а, обеспечивающий

раскрытие диафрагмы и включение с некоторым опережением по

отношению к моменту раскрытия диафрагмы осциллографа, ре-

гистрирующего изменение давления и скорости потока газа в

трубе. На свободном конце трубы для предотвращения срыва по-

тока устанавливается конфузор. Воздух из бака откачивается ва-

куумным насосом. При достижении в баке требуемого разреже-

ния замыкается электрическая цепь пуска осциллографа и узла

разрыва диафрагмы.

Давление в баке, вследствие большого объема бака и малых

скоростей потока в начальный период разгона газа изменяется

незначительно.

Образовавшаяся при раскрытии диафрагмы волна разреже-

ния проходит датчик давления 2 и через время t

подходит к дат-

чику давления 3. Скорость перемещения фронта волны разреже-

ния равна скорости распространения звука в покоящемся газе пе-

Рисунок 8.5 – Схема установки и осциллограммы изменения парамет

ров

потока газа в цилиндрической трубе после раскрытия диафрагмы

при разности давлений на диафрагме p = 0,98·10

Па:

1, 2, 3 – тензодатчики давления и соответствующие им кривые

изменения давления; 4 – датчик скорости и соответствующая

ему кривая изменения скорости потока газа в трубе;

–

отметка вр

мени

2м



-p



мс

285

ред диафрагмой. Датчик скорости регистрирует изменение ско-

рости газа в волне разрежения. За волной разрежения скорость

потока газа равна изменению скорости потока в волне разреже-

ния (волна разрежения распространяется по покоящемуся газу).

Значения скорости и давления за волной разрежения в сечении,

соответствующем установке тензодатчика и датчика скорости,

сохраняются постоянным, то есть за волной разрежения образу-

ется зона установившегося течения.

При движении волны разрежения вправо от диафрагмы ско-

рость переднего фронта волны разрежения соответствует скоро-

сти распространения звука в покоящемся газе перед волной. В

данном случае (р

= 10

Па, Т

= 290 К) скорость распростране-

ния звука С

= 342 м/с. Скорость звука может быть непосредст-

венно определена и из осциллограммы:





м/с3401089,5/2/





tlC .

С подходом волны разрежения к открытому концу трубы

образуется волна сжатия. Скорость движения переднего фронта

волны сжатия относительно движущегося газа впереди волны

также будет равна скорости звука, то есть,

   

м/с3371/9,0342/

4,12

14,1

0101







ррCC .

Относительно неподвижной системы координат скорость

волны сжатия будет больше на величину скорости потока газа за

волной разрежения, которая равна изменению скорости газа в

волне разрежения:

м/с24337

1054,5

121









CtlW .

Изменение скорости потока газа в волне разрежения может

быть определено и по значениям скорости звука в газе впереди

волны и за волной разрежения:

   

м/с253373425

101





 CC

W .

Точность определения скорости потока газа за волной раз-

режения по осциллограмме зависит, в основном, от точности оп-

286

ределения t

. При этом необходимо учитывать, что вследствие

инерционности механической системы осциллографа, масштаб

времени на различных участках осциллограммы не одинаков. В

начальный момент после пуска осциллографа он заметно меньше.

С уменьшением времени опережения пуска осциллографа по от-

ношению к моменту раскрытия диафрагмы погрешность опреде-

ления скорости потока газа за волной разряжения вследствие не-

стабильности масштаба времени возрастает.

К особенностям изменения давления в волне разрежения,

регистрируемом тензодатчиком 2, следует отнести также наличие

небольшой ступеньки, после которой давление в волне разреже-

ния продолжает падать до значения, соответствующего давлению

в баке. Возникновение ступеньки обусловлено наличием между

баком и диафрагмой участка трубы небольшой длины, необходи-

мого для размещения узла диафрагмы. С увеличением длины

участка между баком и диафрагмой ступенька в изменении дав-

ления в волне разрежения, возрастает.

На рис. 8.6 показана схема установки и осциллограмма из-

менения параметров потока (давления и скорости), когда между

диафрагмой и баком длина трубы составляет 1 м. В отличие от

ранее рассмотренного случая с раскрытием диафрагмы образует-

ся волна сжатия, давление в которой изменяется от давления р

(давление в баке до раскрытия диафрагмы) до давления р

за вол-

ной сжатия. В волне сжатия происходит адиабатное сжатие газа

от давления р

до давления р

и увеличение скорости потока газа,

соответствующей скорости потока газа за волной сжатия (волна

сжатия распространяется по покоящемуся газу в сторону бака).

Скорость переднего фронта волны сжатия равна скорости рас-

пространения звука в газе перед волной. Вправо от диафрагмы

распространяется по покоящемуся газу с параметрами р

, Т

вол-

на разрежения. Давление в волне разрежения падает от давления

до давления р

за волной сжатия. Изменение скорости газа в

волне разрежения равно скорости потока газа за волной разреже-

ния (волна разрежения также распространяется по покоящемуся

газу).

Между волной сжатия и волной разрежения образуется зона

установившегося течения газа со скоростью W

при давлении р

Температура газа в зоне установившегося течения в общем слу-

287

чае не одинакова, т.е. будет иметь место разрыв значений темпе-

ратуры.

Параметры потока в зоне установившегося течения могут

быть определены из условия равенства изменения скоростей газа

в волне сжатия и в волне разрежения. Если бы изменение скоро-

сти газа в волне сжатия и в волне разрежения были бы не равны,

на осциллограмме были бы не постоянны скорость и давление в

зоне установившегося течения газа (рис. 8.6). Изменение скорос-

ти газа в волне разрежения

 

W 



 ,

где С

– скорость звука в газе за волной разрежения.

Изменение скорости газа в волне сжатия

 

W 





 ,

где



– скорость звука в газе за волной сжатия.

Приравняв правые части этих уравнений, мы приходим к

уравнению

Рисунок 8.6 – Схема установки и осциллограмма изменения параметров

потока газа в цилиндрической трубе после раскрытия

диафрагмы при p = 0,98·10

Па:



= 1 м,

= 2 м, обозн

чения те же, что и на рис. 8.5

, Т

р

= р

– р

р

= р

– р



р = р

–

р

= р

– р



мс