Елизаров А.М. Математические методы в библиотечной работе

Подождите немного. Документ загружается.

будет функционировать наилучшим образом. Ее реше-

ние требует привлечения других методов, что делается,

например, в линейном программировании.

Приведем некоторые числовые характеристики, опи-

сывающие систему и используемые при количествен-

ной характеристике эффективности ее деятельности.

В качестве таких показателей применяются:

— абсолютная пропускная способность (среднее

число заявок, обслуженных системой в единицу вре-

мени);

— относительная пропускная способность (средняя

доля обслуженных заявок);

— вероятность отказа (вероятность того, что по

ступившее требование покинет систему, не получив

обслуживания);

— среднее время ожидания в очереди;

— среднее время пребывания заявки в системе

(в очереди или под обслуживанием);

— среднее число заявок, ожидающих обслуживания

в очереди.

Рассмотрим систему массового обслуживания со

следующими характеристиками: а) пусть и

—интен-

сивность прибытия заявок, рассчитывающих на обслу-

живание. Предположим, что и

прибытий распределены

случайно. Число 1/и

есть среднее время между при-

бытием двух заявок; б) пусть и

— ожидаемая интен-

сивность обслуживания. Число 1/и

есть среднее время

обслуживания одной заявки.

Коэффициентом загрузки называется число 3 = и

показывающее на среднюю долю времени, в течение

которого канал обслуживания занят. Наконец, обра-

щаемостью О называется ожидаемое число обслужи-

ваний абонентов за некоторый период времени.

Любая современная библиотека представляет собой

систему массового обслуживания, состоящую из не-

скольких подсистем, которые можно исследовать

с помощью методов теории массового обслуживания.

Такими подсистемами, например, являются абонемент

библиотеки, куда поступает читательский поток, чи-

тальный зал, каталог и т. д. С помощью теории мас-

сового обслуживания можно изучать модели обраще-

ния фондов, занятость персонала библиотеки и т. д.

4. Понятие о потоке заявок. Первичной нашей

задачей нужно считать изучение того потока требо-

11 Т-743 161

ваний, который поступает на обслуживающий канал.

В большинстве работ по теории массового обслужи-

вания рассматривают так называемый простейший

поток, когда вероятность поступления в промежуток

времени t ровно k заявок задается формулой

(1)

где λ > 0—постоянное число, смысл которого будет

указан ниже. Поступающий поток при этом считается

таким, что для любой конечной группы непересекаю-

щихся отрезков времени числа появившихся на их

протяжении заявок представляют собой взаимно неза-

висимые случайные величины. Попытки указать доста-

точно общие условия, когда такой поток имеет место,

были предприняты многими авторами. В окончатель-

ном виде эти условия были приведены к трем сле-

дующим: стационарность, отсутствие последействия,

ординарность. Стационарность потока означает, что

для любой группы из конечного числа непересекаю-

щихся отрезков времени вероятность появления в них

соответственно k

, k

, ..., k

заявок зависит только от

этих чисел и от длин указанных временных про-

межутков, но не зависит от их расположения на оси

времени. В частности, вероятность появления k заявок

в промежуток (T, Т + t) не зависит от T и является

функцией только переменных k и t.

Отсутствие последействия состоит в том, что

вероятность поступления k заявок в интервале (T, T+t)

не зависит от количества поступивших ранее требо-

ваний. Это означает, что условная вероятность по-

ступления k заявок за промежуток (T, T + t), вычис-

ленная при произвольном предположении о поступле-

нии заявок до этого промежутка, совпадает с без-

условной вероятностью (см. § 7).

Ординарность потока выражает условие практи-

ческой невозможности появления двух или нескольких

заявок в один и тот же момент времени.

При выводе формулы (1) из трех вышеуказанных

предпосылок удобно добавить к ним еще такое усло-

вие: Р

(h) ≈ λh, где λ > 0 — некоторое постоянное

число. Это означает, что вероятность появления;

заявки в промежутке времени h пропорциональна

длине этого промежутка. Оказывается, это требование

162

вытекает из трех основных предположений. Напом-

ним, что распределение случайной величины, опреде-

ляемое в (1), в § 10 мы назвали распределением Пуас-

сона.

Из формулы (1) вытекает, что P

(t) = e

-λt

. Это

свойство можно трактовать так: вероятность того,

что промежуток времени между двумя последователь-

ными моментами наступления событий стационарного

потока без последействия превзойдет t, равна е

-λt

Значит, функция распределения длины промежутка

между двумя последовательными наступлениями собы-

тий потока равна F(t) = 1-e

-λt

. В главе III было указано,

что для распределения Пуассона величина λ есть

математическое ожидание случайной величины,

распределенной по этому закону. Так как число заявок

за время t в среднем равно λt, то за единицу времени

поступает λ заявок. Эта величина называется

интенсивностью потока. Таким образом, для простей-

шего потока его интенсивность совпадает с парамет-

ром λ.

Обозначим через π

(t) вероятность поступления

за промежуток t хотя бы одного требования. Тогда

(t) = 1 — P

(t), что служит для определения λ, если

величина π

(t) известна. При указанных нами предпо-

ложениях о потоке и о длительности обслуживания

решаемые задачи приобретают некоторые черты,

облегчающие проведение исследований. Сформулируем

одно принципиальное соображение.

В любой момент времени система может находиться

в одном из следующих состояний: в ней находится

k заявок. Если k ≤ п, то все заявки обслуживаются.

Если k > п, то п — k заявок покидают систему (совсем

или становятся в очередь). Обозначим через E

со-

стояние» когда в системе к требований. Тогда имеем

всего k + 1 состояний Е

, Е

, ..., Е

. Пусть p

(t) —

вероятность того, что в момент t имеем состояние E

Особенность изучаемых нами задач состоит в следую-

щем: показательный закон распределения времени

обслуживания гарантирует, что длительность остаю-

щейся части времени обслуживания не зависит от

того, как долго оно продолжалось до рассматривае-

мого момента t

. Так как поток простейший, то прошлое

не влияет на количество заявок, появляющихся после

момента t

. Наконец, длительность об служива-

11* 163

ния заявок, появившихся после t

, никак не зависит от

того, что и как обслуживалось до момента t

. Итак,

в смысле теории вероятностей последующее течение

процесса обслуживания не зависит от того, что

происходило до момента t

Известно, что случайные процессы, для которых

будущее развитие не зависит от развития в прошлом,

называются марковскими или же процессами без

последействий. Для них разработана специальная

теoрия. Из выше сказанного следует, что в случае

простейшего потока и при показательном распределе-

нии времени обслуживания мы можем рассматривать

процесс обслуживания в системе как марковский.

Это облегчает изучение этих процессов, что мы и

увидим в дальнейшем.

5. Формулы Эрланга. Рассмотрим установившийся

(стационарный) режим работы с „отказами" системы

массового обслуживания из n аппаратов. Если в мо-

мент поступления заявки есть хотя бы один свобод-

ный канал, он немедленно приступает к обслуживанию.

Каждый канал может обслужить только одну заявку.

Пусть время обслуживания одного требования

одним каналом подчинено показательному закону

с параметром и

, т. е. F (t) = 1 — e

-u

, где F (t) — функция

распределения, а 1/и

есть среднее время обслу-

живания. В систему поступает простейший поток

заявок с параметром λ. Значит, вероятность поступ-

ления ровно k заявок за время t есть

Основным критерием функционирования такой

системы является вероятность отказа, т. е. вероят-

ность того, что в момент поступления очередной

заявки все аппараты будут заняты. Кроме того, в не-

которых случаях представляет интерес определить

среднее число аппаратов, занятых обслуживанием.

Для марковских процессов доказано следующее

важное свойство: при увеличении времени t→∞ зна-

чения P

(t) стремятся к конечным пределам p

, где p

—

постоянные числа, не зависящие от начального

положения, в котором находилась обслуживающая

система. С использованием этого свойства Эрлан-

164

гом были получены формулы для определения p

k = 0, 1, ..., n. Они имеют вид

(2)

и носят название формул Эрланга. Напомним, что

в (2) и (3) λ—среднее число требований, поступающих

за единицу времени, а 1/и

— среднее время обслужи

вания одного требования. Из формул Эрланга вы

водим:

1) вероятность отказа очередной заявке в обслу-

живании есть

(3)

2) среднее число занятых обслуживанием аппа-

ратов

ГЛАВА V

ЭЛЕМЕНТЫ СИСТЕМНОГО

АНАЛИЗА БИБЛИОТЕКИ

Под системным анализом понимаются методы

создания структур и исследования на них закономер-

ностей функционирования систем с целью подготовки

рекомендаций для принятия практических решений.

Применительно к библиотекам назначение системного

анализа состоит в прогнозировании развития библио-

течных процессов с целью управления ими, в разра-

ботке рекомендаций по управлению процессами ком-

плектования и обслуживания, оценке эффективности

деятельности библиотеки в целом по показателям

оперативности, точности, полноты обслуживания.

Отличие системного анализа от общепринятых подхо-

дов заключается в том, что исследование закономер-

ностей поведения объекта проводится в процессе

создания структур, что предполагает четкое опреде-

ление и разграничение целей, задач, взаимных связей

элементарных объектов, составляющих систему. Струк-

тура системы может быть выражена определенными

математическими понятиями или представлена в виде

иерархического структурного графа с определенным

содержанием вершин и ребер.

Структурно-функциональный анализ библиотеки как

системы включает разработку структур ее подсистем:

комплектования, организации хранения, обработки,

библиографического информирования, библиотечного

обслуживания. Исторически сложилось, что основными

единицами исследования библиотечных процессов

явились фонд как сумма единиц хранения, читатели

как определенный контингент и приемы обработки

литературы. Рост объема фонда, усложнение читатель-

ских запросов, расширение каналов обслуживания —

все это потребовало привлечения системного анализа

для выработки оптимальной политики комплектова-

ния, обработки фондов, обслуживания читателей.

Одна из проблем управления фондом связана

с исследованием процессов роста количества и ста-

рения литературы, с выработкой рекомендаций по

166

исключению некоторых изданий из фонда. Зная и по-

стоянно корректируя состав активной части фонда,

можно определять размеры хранилищ, методы обслу-

живания, прогнозировать объемы депозитарного хра-

нения.

Опишем несколько групп задач, решением которых

занимается системный анализ:

1. Определить бюджет на приобретение изданий

и его распределение по всей структуре фонда.

2. Определить способ размещения книг (на откры-

тых полках, в более или менее удаленных хранили

щах и т. д.), дать прогноз количества выдач. Найти

возможности удовлетворения читательских запросов

за счет дублирования книг.

3. Найти степень снижения полезности книг, если

их использование ограничено, например, читальным

залом.

4. Определить оптимальную ценность просмотра

литературы в открытом доступе, в хранилище или

через карточный каталог.

5. Прогнозировать операции над фондом, когда

он становится малодоступным.

В результате структурно-функционального анализа

выбирается модель из числа имеющихся в наличии

или создается новая, если по каким-либо причинам

имеющиеся модели не могут отразить сути модели-

руемого процесса. На основе модели разрабатыва-

ется алгоритм решения задачи и производится выбор

вариантов решения.

Для выбора той или иной модели следует знать:

виды обслуживания (читальный зал, абонемент, про-

смотр каталога и т. п.); структуру визитов различных

посетителей библиотеки; наличие и оценку корреля-

ции между продолжительностью пребывания и струк-

турой посещений библиотеки при заданной структуре

использования книг; изменение условий использования

в зависимости от типа книг и др.

Построенная модель должна точно отражать изу-

чаемую ситуацию и быть гибкой, т. е. приспособлен-

ной к изменениям ситуации, должна обеспечивать

несложность обращения с ней и простоту истолко-

вания результатов; стоимость разработки и реализа-

ции модели должна быть приемлемой.

167

Различают два типа моделей: детерминированные

и стохастические. В детерминированных моделях

входные данные и изменения параметров получают

непосредственными измерениями, В стохастических

моделях некоторые характеристики являются случай-

ными и их изменения описываются вероятностными

функциями. Библиотечные детерминированные модели

могут быть очень простыми; например, обращаемость

литературы может быть подсчитана путем обработки

формуляров читателей. В библиотечных стохастиче-

ских моделях некоторые из переменных оцениваются

на основе статистических испытаний,

К настоящему времени создано большое количе-

ство различных моделей, основными из которых явля-

ются аналитические, статистические, имитационные

и сетевые. Не останавливаясь на анализе свойств

моделей каждого типа, отсылаем читателя к рабо-

там [20], [21].

В настоящей главе описываются основные аспекты

моделирования библиотечных процессов, подробно

обсуждаются вопросы формирования библиотечных

фондов и обслуживания читателей. При построении

математических моделей исследуемых библиотечных

процессов использовались результаты многих авторов,

опубликованные в специальной литературе. Некото-

рые из этих моделей описаны ранее в учебных посо-

биях [15,16,20-22].

При изложении теоретико-множественной модели

ИПС существенное внимание было уделено подходам»

разработанным А. В. Соколовым, Дж. Солтоном и Ф.

Ланкастером (см. [9], [17], [18]). При описании мате-

матических моделей количественного роста публика-

ций, старения и рассеивания литературы мы опира-

лись на классические библиометрические законы

(см., например, [3], [17]) и результаты Ю. А.

Шрейдера, В. М. Мотылева, В. Н. Губанкова. Основные

аспекты теории шкалирования изложены в работах

[7] и [13].

Математические модели формирования библиотеч-

но-информационного фонда и обслуживания читателей

заимствованы из работ А. В; Кокарева, И. М. Алексеевой,

Р. И. Богачевой, С. Л. Бубель, В. И. Тарасова, Э. К.

Ф. Ваттера, Ж. Шадриной, А. С. Прудникова, Дж. Сол-

тона. Некоторые модели получены как непосредствен-

ное приложение теории массового обслуживания.

168

§ 16. Моделирование библиотечных процессов

1. Понятие модели. Как отмечалось ранее, одной

из задач математических наук является построение

математических моделей. Дадим строгое определение

этому важному понятию.

Определение 1. Моделью называется мно-

жество М с заданными на нем и отношениями

, ..., А

Итак, модель — это совокупность М = (M; A

, ..., A

), где М — исходное, базовое множество

(или носитель), а А

— отношения на нем.

Пример 1. Бинарное отношение R, заданное на

множестве M, — частный случай модели с единствен-

ным отношением.

Пример 2. В качестве базового множества возь-

мем группу читателей, записанных в библиотеку (рес-

понденты). На нем можно задавать самые разнообраз-

ные отношения, например:

= ,,респонденты х и у одинаково удовлетворены

качеством обслуживания";

= „респондент х больше, чем у, любит худбже-

ственную литературу";

= ,,разница между удовлетворенностью обслу-

живанием у респондентов х и у больше таковой для

Пример 3. С точки зрения математики, тезаурус

научно-технических терминов является моделью разо-

вое множество — множество смыслоразличающих эле-

ментов языка (слов и сочетаний), не разложимых на

простейшие смысловые единицы. Тезаурус строится

так, чтобы между смыслоразличающими элементами

можно было определить основные отношения — в дан-

ном случае смысловые (семантические). Вот некото-

рые примеры таких отношений: R

— отношение сино-

нимии. Тезаурус дает возможность для каждого эле-

мента множества М найти все его синонимы; R

— отно-

шение „род—вид", которое выполняется, когда смысл

одного термина шире, чем смысл другого (легковой

автомобиль — автомобиль — транспортное средство и

т. д.). Конкретные тезаурусы отличаются, во-первых,

выбором базового множества М (способом отбора

терминов); во-вторых, перечнем семантических отно-

шений и, в-третьих, способом задания этих отношений.

169

Существует два вида моделей.

Определение 2. Модели, носитпелями

которых служат множества чисел и отношения на

которых заданы между числами, называются

числовыми. Все остальные модели называются

эмпирическими.

Задачей моделирования является установление

связей между различными моделями и, в первую оче-

редь, между эмпирическими и числовыми.

Определение 3. Две модели

M=(M; A

, ..., A

) и M' = (M', A'

,..., А'

)

называются гомоморфными (изоморфными), если

существует отображение (биекция) f множества

М в множество М', при котором из выполнимости

отношений хА

у для элементов М следует выпол-

нимость отношений f(x)A'

f(y) для элементов M'

при всех значениях k = 1, 2, ..., п.

Грубо говоря, изоморфные модели устроены из

разного материала, но имеют идентичную конструк-

цию. В той мере, в какой нас интересует не природа

элементов множества М, а только структура отноше-

ний между ними, изоморфные модели можно вообще

не различать.

Пример 4. При изображении чертежей на доске

и в тетради мы мысленно отождествляем обе пло-

скости (доску и тетрадь), поскольку они имеют изо-

морфную геометрическую структуру.

Пример 5. Для библиотековедческого исследо-

вания не имеет значения, чем будет представлен чи-

татель — номером своего билета, формуляром или

фамилией. Это тоже пример изоморфизма.

Вопросы установления гомоморфных и изоморфных

отображений эмпирических моделей в числовые рас-

сматриваются в теории шкалирования (теории изме-

рений), основные положения которой будут изложены

ниже.

В заключение настоящего пункта обсудим вопрос

о способах хранения в памяти ЭВМ информации,

записанной на естественном языке. При некоторых

упрощающих предположениях любое предложение

русского языка может быть описано как модель вида

(М; R

, R

), где М— множество слов, R

— отношение

линейного порядка, устанавливающее порядок следо-

вания слов в предложении (слова могут быть прону-

170