Евсюков В.Н. Нелинейные системы автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

151

(прямая 1), то спектральная плотность существует только при нулевой частоте

и равна

)(a2)(S

ωδπω

В другом предельном случае, когда случайная величина

x(t) является аб-

солютно случайным процессом (белый шум), то корреляционная функция су-

ществует только при

τ = 0 (прямая 2). Спектральная плотность такого случай-

ного процесса равномерно распределена по всем частотам и равна

C)(S =

Для непериодического случайного процесса (кривые 3, 4) корреляцион-

ная функция аппроксимируется

τα

−

⋅= åDR

)(, тогда спектральная плотность

определяется

)(S

Если случайная величина

x(t) имеет периодическую составляющую при

ω = ω

, то спектральная плотность при частотах ω = + ω

и ω = - ω

будет

иметь соответствующие пики (кривая 5). Корреляционная функция такого слу-

чайного процесса аппроксимируется

.cos)(

βττ

τα

−

⋅= åDR

Спектральная

плотность определяется

)(

)(S

βωα

−+

Одним из основных параметров работы системы при случайных воздей-

ствиях является среднеквадратичное отклонение, которое характеризует от-

клонение случайной величины от его среднего значения. Если известна спек-

тральная плотность сигнала

S(ω), то при τ = 0 можно определить дисперсию

∫∫

∞

∞−

⋅==

d)(S

då)(S

)0(R

ωω

Тогда среднеквадратичное отклонение (СКО)

)0(RD

По полученным основным характеристикам случайного процесса иссле-

дование автоматической системы на статистическую точность работы проводят

в следующей последовательности:

- по заданному случайному процессу определяют его корреляционную

функцию

(τ);

- по корреляционной функции

(τ) определяют спектральную плотность

сигнала на входе системы

(ω) ;

- по известной частотной передаточной функции системы

W(jω) опреде-

ляют спектральную плотность на выходе системы

(ω);

- по полученной спектральной плотности на выходе системы

(ω) опре-

деляют корреляционную функцию выходного сигнала

(τ);

152

- по корреляционной функции выходного сигнала

(τ) определяют дис-

персию

= R

(0) и среднеквадратичное отклонение регулируемой величины.

6.4 Анализ точности работы линейной системы при случайном

воздействии

Если входное воздействие, приложенное к линейной системе, является

случайным стационарным процессом

x(t), то выходная величина y(t) то же бу-

дет случайным стационарным процессом. При этом предполагается, что рас-

сматриваемая система устойчива. Ясно, что в этих условиях судить о точности

работы системы нужно не по мгновенным значениям выходной величины, а по

некоторым средним значениям, которые вычисляются по спектральной плотно-

сти выходного сигнала

(ω) .

Пусть спектральная плотность входного сигнала

(ω), тогда спектраль-

ная плотность выходного сигнала

(ω) определяется (без вывода) [5, 9, 10]

)()()(

ωωω

SjWS =

Спектральная плотность выходного сигнала автоматической

системы равна спектральной плотности входного сигнала ум-

ноженного на квадрат модуля частотной характеристики ис-

следуемой системы.

Закон распределения случайной величины при прохождении ее через ав-

томатическую систему в общем случае может меняться. Но если на входе ли-

нейной системы закон распределения нормальный, то и на выходе системы

можно принять нормальное распределение.

Пусть математическое ожидание

m стационарного процесса x(t), на

входе линейной системы не равно нулю, тогда на основании принципа суперпо-

зиции для линейных систем этот случайный процесс на входе системы можно

представить

),t(xm)t(x

где

)(tx

- центрированный случайный процесс на входе системы.

В этом случае математическое ожидание на выходе системы

определя-

ется, если

умножить на частотную передаточную функцию при ω =0

m)0(Wm

⋅

Когда на систему одновременно действует случайный сигнал управления

(t) и случайный сигнал возмущения x

(t), то спектральная плотность ошибки

регулирования

oш

(ω) определяется

),(S)j(W)(S)j(W)(S

aîø

ωωωωω

где

(ω) - спектральная плотность сигнала управления;

(ω) - спектральная плотность сигнала возмущения;

(jω) - передаточная функция по ошибке регулирования;

(jω) - передаточная функция по возмущению.

153

Дисперсия ошибки регулирования

и общее среднеквадратичное ее зна-

чение

определяется по формулам

[]

,d)(S)j(W)(S)j(W2/1D

ωωωωωπ

∫

∞

∞−

или D

= D

+ D

, или .

σσσ

При подаче на вход системы случайных сигналов управления и

возмущения общая среднеквадратичная ошибка определяется по

теореме Пифагора по СКО управления и СКО возмущения

Отметим преимущества и недостатки оценки точности работы системы

по среднеквадратичной ошибке регулирования (СКО). С помощью СКО можно

оценить вероятность появления ошибки сверху. Так оценивает усредненное,

статистическое значение ошибки, а не величина мгновенного значения ошибки.

Поэтому для систем, где недопустимы большие ошибки (хотя и кратковремен-

ные) применяется другой метод расчета. Кроме этого

, полученное СКО спра-

ведливо для больших промежутков времени (при

T → ∞), а ошибки, связанные

с кратковременным переходным процессом, практически не учитываются.

Если спектральные плотности и частотные передаточные функции заданы

в виде дробно-рациональных функций от ω, то можно сразу определить дис-

персию выходного сигнала

, образно говоря, минуя определения S

(ω) вы-

ходного сигнала и

(τ) выходного сигнала. Значение дисперсии выходного

сигнала определяется по табличному интегралу

в зависимости от порядка ха-

рактеристического уравнения системы. Для этого подинтегральное выражение

приводится к табличному виду

где

4n2

2n2

a...)j(a)j(a)j(H

;b...bb)(G

)j(H

d)(G

d)(S)j(W

+++=

−

−−

∞

∞−

∞

∞−

∫∫

ωωω

ωω

ωωω

Покажем формулы вычисления табличного интеграла по коэффициентам

передаточной функции

n = 1

aa2

J =

; n = 2

210

0120

aaa2

abab

−

= ;

n = 3

)aaaa(aa2

aabaabaab

302130

102301320

−

= .

Для более высокой степени характеристического уравнения вычисления

этих табличных интегралов становится громоздким. Поэтому используются

другие методы статистического анализа.

Параметры системы, выбранные по критерию минимизации СКО необхо-

димо оценить по возможности их технической реализации и, кроме этого, оце-

нить изменившиеся динамические характеристики системы.

154

n(t)

Пример 6.1 –По критерию минимизации СКО Определить оптимальное

значение коэффициента усиления

для заданной линейной следящей системы

(рисунок 6.4). На вход системы поступает случайный сигнал, управляющая

спектральная плотность которого

()

ωα

⋅

S Одновременно на вход посту-

пают случайные помехи в виде белого шума со спектральной плотностью

(ω)

=С

РЕШЕНИЕ

1 Определяем частотную передаточную

функцию по ошибке управления

îø

j/K1

)j(W

Рисунок 6.4 – Структурная

схема системы к примеру 6.1 2 Частотная передаточная функция замк-

нутой системы

îø

j/K1

j/K

)j(W

3 Дисперсия ошибки регулирования по управлению

()

îø

JD2

KjKj

)j)(Kj(

D2D2

⋅=

+++

∫

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

αωαω

ωω

ωαω

ωω

ωα

γγ

Полученное подинтегральное выражение соответствует табличному

интегралу

G(ω) = ω

, b

= 1, b

= 0,

()

() ()

ααα

αααωαωω

+−

=+==+++=

yyy

210

0120

y2y10yy

KK2

aaa2

abab

Ka,Ka,1a,KjKj)(H

5 Это значение J

подставим в формулу D

ош

()

γγ

îø

γ (t)

n(t)

155

6 Дисперсия ошибки регулирования от случайных помех в виде белого

шума

пом

JKС

KС

dС

D =

=⋅

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

ωπ

7 Полученное подинтегральное выражение соответствует табличному ин-

тегралу

G(ω) = 1, b =1

y10

y10y

aa2

Ka,1a,Kj)(H

8 Это значение

подставим в формулу

ïîì

KС

пом

9 Дисперсия суммарной ошибки

общ

KС

DDD

помошобщ

=+=

;

помошош

DD +=

10 Для определения оптимального значения

, при котором суммарная

ошибка минимальная, построим графики

ош

, D

пом

, D

общ

в зависимости от K

(рисунок 6.5).

По графикам видно, что с

увеличением

дисперсия

ошибки по управлению

ош

уменьшается, а дисперсия

ошибки от помех

пом

увеличи-

вается. При большем коэффи-

циенте усиления помехи сво-

боднее проходят через систему.

В зависимости от степени не-

определенности сигнала управ-

ления (коэффициент α) и от ин-

тенсивности помех (коэффици-

ент С

) можно получить разное

оптимальное значение

Рисунок 6.5 – Графическое определение

оптимального значения

к примеру 6.1

ош

пом

общ

пом

опт

156

6.5 Особенности расчета случайного процесса в нелинейной системе

Если случайный сигнал проходит нелинейное звено, то расчет такой сис-

темы существенно усложняется по сравнению с расчетом прохождения случай-

ного сигнала через линейное звено. На рисунке 6.6 показано прохождение слу-

чайного сигнала через нелинейный элемент с насыщением

F(x).

Рисунок 6.6 – Прохождение случайного сигнала через нелинейный элемент

В данном примере за счет участка насыщения случайный сигнал не пол-

ностью проходит через нелинейный элемент и в результате дисперсия выход-

ного сигнала или «коридор», в пределах которого размещаются выходной сиг-

нал, будет меньше.

На рисунке 6.6 показано, что часть случайного входного

сигнала попала на зону насыщения и не прошла через нелинейное звено. Это

привело к изменению дисперсии выходного сигнала (она уменьшается) и к

уменьшению его среднего значения. Уточняем, уменьшение этих параметров

выходного случайного сигнала произошло не за счет коэффициента усиления, а

из-за нелинейности характеристики

элемента в виде зоны насыщения.

Рассмотрим вначале структурную схему

линейной системы управления

(рисунок 6.7), на вход который подается случайный сигнал

)t(x)t(m)t(x

где

- математическое ожидание входного сигнала;

(t)- помехи и шумы входного сигнала, которые характеризуются

дисперсией

а - прохождение случай-

ного сигнала через нели-

нейный элемент;

б - случайный входной

сигнал;

в - нелинейный элемент с

насыщением;

г - выходной сигнал по-

сле нелинейного элемен-

та

157

В этой линейной системе, используя принцип суперпозиции, можно от-

дельно и независимо друг от друга определить математическое ожидание вы-

ходного сигнала

)t(m

и дисперсию случайной выходной величины

)t(y

(ри-

сунок 6.7). Этот расчет показан в

подразделе 6.4 и в примере 6.1.

Если такой же случайный

сигнал будет подан на нелинейную

систему управления (рисунок 6.8),

то математическое ожидание на

выходе системы зависит от изме-

нения дисперсии, а изменение дис-

персии зависит от изменения ма-

тематического ожидания. Эти две

характеристики случайного про-

цесса становится

взаимно связан-

ны. Обозначим через

( m

)

эту взаимозависимость математи-

ческого ожидания от дисперсии

входного сигнала

При расчете

удобнее вместо дисперсии

ис-

пользовать среднеквадратичное

отклонение

Соответственно обозначим

через

( m

) взаимосвязь сред-

неквадратичного отклонения от

математического ожидания. Тогда

)t(xKmK)t(ym)t(y

1x0ym

+=+=

Для нахождения этих коэффициен-

тов

при расчете прохожде-

ния сигнала через нелинейное зве-

но используется

метод стати-

стической линеаризации нелиней-

ного элемента

Метод статистической

линеаризации основан на замене

нелинейного элемента стати-

стически эквивалентным линеа-

ризованным элементом.

Этот метод статистической

линеаризации по общей идее (ана-

логичен методу гармонической

линеаризации.

(t) x(t)

)t(m

(t)

(t) x(t)

W(p)

W(0)

W(p)

)(tm

)t(y

- действительный выходной

сигнал

)t(y

-теоретически рассчитанный

выходной сигнал

Рисунок 6.7 – Прохождение случай-

ного сигнала через линейную систему

управления

W(p)

)W(0)

)W(p)

(t)

)(tm

Рисунок 6.8 – Прохождение слу-

чайного сигнала через нелинейное

звено

(t)

158

При гармонической линеаризации нелинейная характеристика элемента

заменялась линейной, при которой в этой линейной зависимости постоянная

составляющая и первая гармоника совпадала с постоянной составляющей и

первой гармоникой данной нелинейной характеристики. Это осуществлялось с

помощью разложения нелинейной характеристики в ряд Фурье и учитывалось

только два первых члена ряда. Остальные гармоники, которые возникали на

выходе данного нелинейного

элемента не учитываются. Соответственно, не

учитывались остальные члены ряда Фурье. Таким образом коэффициент гармо-

нической линеаризации

(A) и q

(A) зависит от амплитуды входного сигнала и

от вида нелинейной характеристики.

При статистической линеаризации нелинейная характеристика элемента

тоже заменяется на линейную, но по другим показателям. При этом среднее

значение (или математическое ожидание) и дисперсия в полученной линейной

характеристике совпадает со средним значением и дисперсией данной нели-

нейной характеристики. Таким образом, учитывается только два первых веро-

ятностных момента случайного процесса (среднее значение и дисперсия), а ос

тальные параметры случайного процесса не учитываются. Таким образом, ко-

эффициенты статистической линеаризации

, σ

), и K

, σ

) зависят от

закона распределения случайного процесса и от вида нелинейной характери-

стики.

6.6 Определение коэффициентов статистической линеаризации

Существуют два способа определения коэффициентов статистической

линеаризации:

первый способ – по равенству математического ожидания и дисперсии

на выходе действительной нелинейной характеристики элемента

дей

, D

дей

(y)

и линеаризованной , то есть теоретически рассчитанной характеристикой

)y(Dиm

теорy

дей

, D

дей

(y)= D

теор

(y)

- второй способ – по минимуму среднеквадратической ошибки при заме-

не действительной нелинейной характеристики линеаризованной характери-

стикой

[

]

{

}

min)t()t(М

дей

→−=

σσε

Оба способа позволяют произвести приближенную статистическую ли-

неаризацию, то есть без учета моментов распределения случайной величины

третьего и более высокого порядка.

Математическое ожидание случайного стационарного процесса на выходе

нелинейного элемента определённое этими двумя способами практически сов-

падет. Пусть нам известна характеристика нелинейного элемента

F(x) и плот-

ность распределения случайного процесса. Тогда математическое ожидание на

выходе нелинейного элемента

159

∫

∞

∞−

⋅⋅= ,dx)x()x(Fm

Коэффициент статистической линеаризации по математическому

ожиданию K

, σ

) можно определить, если известно математическое ожи-

дание случайного стационарного процесса на входе

xx0

dx)x()x(F

),m(K

∫

∞

∞−

⋅⋅

Значение этого коэффициента

, σ

) для трех видов нелинейной ха-

рактеристики при нормальном законе распределения показаны на графиках ри-

сунков 6.9, 6.10, 6.11. Для удобства пользования этим графиками зависимости

= φ(m

) даны в относительных значениях.

Для идеального реле

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

где

b - выходная величина реле;

- математическое ожидание выходной случайной величины;

- математическое ожидание входной случайной величины;

- СКО входной величины.

Для реле с зоной нечувствительности

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Kт

где

а – зона нечувствительности реле

Для нелинейного элемента с зоной насыщения

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Kт

где

а – линейная часть характеристики

В графиках на рисунках 6.10 и 6.11 значение

/ b дополнительно за-

висит от

, которое тоже берется в относительных значениях σ

= σ

/α

Коэффициента статистической линеаризации по дисперсии выходного

сигнала K

, σ

) можно определить разными способами и получаем различ-

ные значения

, σ

По первому способу для определения

(

)

К (m

, σ

) в качестве критерия эк-

вивалентности принимается, что среднее значение дисперсий действительного

процесса [

(y)] и теоретически определенного [D

(y)] должны быть равны

[

]

[

]

)y(DM)y(DM

òq

где

M – знак усреднения

Дисперсия стационарного выходного сигнала определяется

160

[]

()

dyym)t(y)y(D

yт

⋅−==

∫

∞

∞−

ωσ

При заданной нелинейности элемента

F(x) и заданной плотности распре-

деления случайного процесса

(x) дисперсия стационарного выходного сиг-

нала

()

mdxx)x(F)y(D −⋅=

∫

∞

∞−

Тогда по заданному значению СКО входного случайного процесса

СКО выходного процесса

определяем

(

)

(

)

()

mdtx)x(F

),m(K

−

∫

∞

∞−

Значения этого коэффициента

(

)

(

)

,mK

для трех видов нелинейной ха-

рактеристики при нормальном законе распределения показаны на графиках ри-

сунков 6.9, 6.10, 6.11. Они показаны в таких же относительных единицах , как

для коэффициентов

, σ

По второму способу для определения

(

)

в качестве критерия экви-

валентности принимается минимум квадрата разницы между действительным и

теоретически определенном значением дисперсии выходного сигнала.

[]

min)y(D)y(DM

→−

Этот минимум определяется с помощью нахождения производных по

и К

(2)

и в результате получаем

)2(

dt)x()mx)(x(F

),m(K

∫

∞

∞−

−

Полученное значение

)2(

K по второму способу обычно меньше

)1(

K по

первому способу. В дальнейшем при расчете будем использовать

)1(

Пример 6.2 – Определить коэффициенты статистической линеаризации

по математическому ожиданию

и по дисперсии выходного сигнала для идеаль-

ного реле

xsiqnbxz

âûõ

⋅

=)(

при нормальной плотности распределения входного

сигнала, то есть

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−⋅=

)mx(

exp

)x(

πσ