Федосеев В.В. и др. Экономико-математические методы и прикладные модели

Подождите немного. Документ загружается.

Основные

понятия

математического моделирования

Выделенные свойства социально-экономических систем,

естественно, осложняют процесс их моделирования, однако

эти свойства следует постоянно иметь в виду при рассмотрении

различных аспектов экономико-математического моделиро-

вания, начиная с выбора типа модели и кончая вопросами

практического использования результатов моделирования.

1.2. Этапы экономико-математического моделирования

Процесс моделирования, в том числе и экономико-мате-

матического, включает в себя три структурных элемента:

объект исследования; субъект (исследователь); модель, опо-

средующую отношения между познающим субъектом и по-

знаваемым объектом. Рассмотрим общую схему процесса

моделирования, состоящую из четырех этапов.

Пусть имеется некоторый объект, который мы хотим

исследовать методом моделирования. На первом э т а -

п е мы конструируем (или находим в реальном мире) дру-

гой объект — модель исходного объекта-оригинала. Этап

построения модели предполагает наличие определенных све-

дений об объекте-оригинале. Познавательные возможности

модели определяются тем, что модель отображает лишь не-

которые существенные черты исходного объекта, поэтому

любая модель замещает оригинал в строго ограниченном

смысле. Из этого следует, что для одного объекта может

быть построено несколько моделей, отражающих определен-

ные стороны исследуемого объекта или характеризующих

его с разной степенью детализации.

На втором этапе процесса моделирования модель

выступает как самостоятельный объект исследования. На-

пример, одну из форм такого исследования составляет про-

ведение модельных экспериментов, при которых целена-

правленно изменяются условия функционирования модели

и систематизируются данные о ее «поведении». Конечным

результатом этого этапа является совокупность знаний о

модели в отношении существенных сторон объекта-оригинала,

которые отражены в данной модели.

Третий этап заключается в переносе знаний с мо-

дели на оригинал, в результате чего мы формируем множе-

12 Глава 1

ство знаний об исходном объекте и при этом переходим с

языка модели на язык оригинала. С достаточным основани-

ем переносить какой-либо результат с модели на оригинал

можно лишь в том случае, если этот результат соответствует

признакам сходства оригинала и модели (другими словами,

признакам адекватности).

На четвертом этапе осуществляются практиче-

ская проверка полученных с помощью модели знаний и их

использование как для построения обобщающей теории

реального объекта, так и для его целенаправленного преоб-

разования или управления им. В итоге мы снова возвраща-

емся к проблематике объекта-оригинала.

Моделирование представляет собой циклический про-

цесс,

т. е. за первым четырехэтапным циклом может после-

довать второй, третий и т. д. При этом знания об исследуемом

объекте расширяются и уточняются, а первоначально постро-

енная модель постепенно совершенствуется. Таким образом,

в методологии моделирования заложены большие возможно-

сти самосовершенствования.

Перейдем теперь непосредственно к процессу экономико-

математического моделирования, т. е. описания экономиче-

ских и социальных систем и процессов в виде экономико-

математических моделей. Эта разновидность моделирования

обладает рядом существенных особенностей, связанных как

с объектом моделирования, так и с применяемыми аппара-

том и средствами моделирования. Поэтому целесообразно бо-

лее детально проанализировать последовательность и содер-

жание этапов экономико-математического моделирования,

выделив следующие шесть этапов: постановка экономиче-

ской проблемы, ее качественный анализ; построение мате-

матической модели; математический анализ модели; подго-

товка исходной информации; численное решение; анализ

численных результатов и их применение. Рассмотрим каж-

дый из этапов более подробно.

Постановка экономической проблемы и ее качествен-

ный анализ. На этом этапе требуется сформулировать

сущность проблемы, принимаемые предпосылки и допу-

щения. Необходимо выделить важнейшие черты и свой-

ства моделируемого объекта, изучить его структуру и

Основные

понятия

математического моделирования

взаимосвязь его элементов, хотя бы предварительно

сформулировать гипотезы, объясняющие поведение и

развитие объекта.

Построение математической модели. Это этап формали-

зации экономической проблемы, т. е. выражения ее в

виде конкретных математических зависимостей (функ-

ций, уравнений, неравенств и др.). Построение модели

подразделяется в свою очередь на несколько стадий.

Сначала определяется тип экономико-математической

модели, изучаются возможности ее применения в данной

задаче, уточняются конкретный перечень переменных и

параметров и форма связей. Для некоторых сложных

объектов целесообразно строить несколько разноаспект-

ных моделей; при этом каждая модель выделяет лишь

некоторые стороны объекта, а другие стороны учитыва-

ются агрегированно и приближенно. Оправдано стремле-

ние построить модель, относящуюся к хорошо изученному

классу математических задач, что может потребовать не-

которого упрощения исходных предпосылок модели, не

искажающего основных черт моделируемого объекта.

Однако возможна и такая ситуация, когда формализа-

ция проблемы приводит к неизвестной ранее математи-

ческой структуре.

Математический анализ модели. На этом этапе чисто

математическими приемами исследования выявляются

общие свойства модели и ее решений. В частности, важ-

ным моментом является доказательство существования

решения сформулированной задачи. При аналитическом

исследовании выясняется, единственно ли решение, ка-

кие переменные могут входить в решение, в каких пре-

делах они изменяются, каковы тенденции их изменения

и т. д. Однако модели сложных экономических объек-

тов с большим трудом поддаются аналитическому ис-

следованию; в таких случаях переходят к численным

методам исследования.

Подготовка исходной информации. В экономических

задачах это, как правило, наиболее трудоемкий этап мо-

делирования, так как дело не сводится к пассивному

сбору данных. Математическое моделирование предъяв-

Глава 1

ляет жесткие требования к системе информации; при

этом надо принимать во внимание не только принципиаль-

ную возможность подготовки информации требуемого

качества, но и затраты на подготовку информационных

массивов. В процессе подготовки информации использу-

ются методы теории вероятностей, теоретической и ма-

тематической статистики для организации выборочных

обследований, оценки достоверности данных и т.д. При

системном экономико-математическом моделировании

результаты функционирования одних моделей служат

исходной информацией для других.

5. Численное решение. Этот этап включает разработку ал-

горитмов численного решения задачи, подготовку про-

грамм на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов;

при этом значительные трудности вызываются большой

размерностью экономических задач. Обычно расчеты на

основе экономико-математической модели носят много-

вариантный характер. Многочисленные модельные экс-

перименты, изучение поведения модели при различных

условиях возможно проводить благодаря высокому бы-

стродействию современных ЭВМ. Численное решение

существенно дополняет результаты аналитического ис-

следования, а для многих моделей является единствен-

но возможным.

6. Анализ численных результатов и их применение. На

этом этапе прежде всего решается важнейший вопрос о

правильности и полноте результатов моделирования и

применимости их как в практической деятельности,

так и в целях усовершенствования модели. Поэтому в

первую очередь должна быть проведена проверка адек-

ватности модели по тем свойствам, которые выбраны в

качестве существенных (другими словами, должны быть

произведены верификация и валидация модели)

. При-

менение численных результатов моделирования в эко-

номике направлено на решение практических задач

(анализ экономических объектов, экономическое про-

Верификация модели — проверка правильности структуры (логики)

модели; валидация модели — проверка соответствия данных, получен-

ных на основе модели, реальному процессу.

Основные

понятия

математического моделирования

гнозирование развития хозяйственных и социальных

процессов, выработка управленческих решений на всех

уровнях хозяйственной иерархии).

Перечисленные этапы экономико-математического моде-

лирования находятся в тесной взаимосвязи, в частности, мо-

гут иметь место возвратные связи этапов. Так, на этапе по-

строения модели может выясниться, что постановка задачи

или противоречива, или приводит к слишком сложной ма-

тематической модели; в этом случае исходная постановка

задачи должна быть скорректирована. Наиболее часто необ-

ходимость возврата к предшествующим этапам моделирова-

ния возникает на этапе подготовки исходной информации.

Если необходимая информация отсутствует или затраты на

ее подготовку слишком велики, приходится возвращаться к

этапам постановки задачи и ее формализации, чтобы при-

способиться к доступной исследователю информации.

Выше уже сказано о циклическом характере процесса

моделирования. Недостатки, которые не удается исправить

на тех или иных этапах моделирования, устраняются в по-

следующих циклах. Однако результаты каждого цикла име-

ют и вполне самостоятельное значение. Начав исследование

с построения простой модели, можно получить полезные ре-

зультаты, а затем перейти к созданию более сложной и более

совершенной модели, включающей в себя новые условия и

более точные математические зависимости.

1.3. Классификация экономико-математических методов

и моделей

Суть экономико-математического моделирования заклю-

чается в описании социально-экономических систем и про-

цессов в виде экономико-математических моделей. В § 1.1

кратко рассмотрен смысл понятий «метод моделирования»

и «модель». Исходя из этого экономико-математические ме-

тоды следует понимать как инструмент, а экономико-мате-

матические модели — как продукт процесса экономико-ма-

тематического моделирования.

Рассмотрим вопросы классификации экономико-матема-

тических методов. Эти методы, как отмечено выше, пред-

16 Глава 1

ставляют собой комплекс экономико-математических дис-

циплин, являющихся сплавом экономики, математики и ки-

бернетики. Поэтому классификация экономико-математиче-

ских методов сводится к классификации научных дисцип-

лин, входящих в их состав. Хотя общепринятая классифи-

кация этих дисциплин пока не выработана, с известной сте-

пенью приближения в составе экономико-математических

методов можно выделить следующие разделы:

• экономическая кибернетика: системный анализ эконо-

мики, теория экономической информации и теория

управляющих систем;

• математическая статистика: экономические прило-

жения данной дисциплины — выборочный метод, дис-

персионный анализ, корреляционный анализ, регресси-

онный анализ, многомерный статистический анализ,

факторный анализ, теория индексов и др.;

• математическая экономия и изучающая те же вопросы

с количественной стороны эконометрия: теория эконо-

мического роста, теория производственных функций,

межотраслевые балансы, национальные счета, анализ

спроса и потребления, региональный и пространствен-

ный анализ, глобальное моделирование и др.;

• методы принятия оптимальных решений, в том числе

исследование операций в экономике. Это наиболее объ-

емный раздел, включающий в себя следующие дисцип-

лины и методы: оптимальное (математическое) програм-

мирование, в том числе методы ветвей и границ, сетевые

методы планирования и управления, программно-целе-

вые методы планирования и управления, теорию и мето-

ды управления запасами, теорию массового обслужива-

ния, теорию игр, теорию и методы принятия решений,

теорию расписаний. В оптимальное (математическое)

программирование входят в свою очередь линейное про-

граммирование, нелинейное программирование, динами-

ческое программирование, дискретное (целочисленное)

программирование, дробно-линейное программирование,

параметрическое программирование, сепарабельное про-

граммирование, стохастическое программирование, гео-

метрическое программирование;

Основные

понятия

математического моделирования

• методы и дисциплины, специфичные отдельно как для

централизованно планируемой экономики, так и для ры-

ночной (конкурентной) экономики. К первым можно

отнести теорию оптимального функционирования эконо-

мики, оптимальное планирование, теорию оптимального

ценообразования, модели материально-технического снаб-

жения и др. Ко вторым — методы, позволяющие разра-

ботать модели свободной конкуренции, модели капита-

листического цикла, модели монополии, модели индика-

тивного планирования, модели теории фирмы и т. д.

Многие из методов, разработанных для централизованно

планируемой экономики, могут оказаться полезными и

при экономико-математическом моделировании в усло-

виях рыночной экономики;

• методы экспериментального изучения экономических

явлений. К ним относят, как правило, математические

методы анализа и планирования экономических экспери-

ментов, методы машинной имитации (имитационное мо-

делирование), деловые игры. Сюда можно отнести также

и методы экспертных оценок, разработанные для оценки

явлений, не поддающихся непосредственному измерению.

Перейдем теперь к вопросам классификации экономико-

математических моделей, другими словами, математических

моделей социально-экономических систем и процессов.

Единой системы классификации таких моделей в настоя-

щее время также не существует, однако обычно выделяют

более десяти основных признаков их классификации, или

классификационных рубрик. Рассмотрим некоторые из

этих рубрик.

По общему целевому назначению эконо-

мико-математические модели делятся на теоретико-анали-

тические, используемые при изучении общих свойств и за-

кономерностей экономических процессов, и прикладные,

применяемые в решении конкретных экономических задач

анализа, прогнозирования и управления. Различные типы

прикладных экономико-математических моделей как раз и

рассматриваются в данном учебном пособии.

По степени агрегиров &м и я объектов мо-

делирования модели разделяются на макроэкономические и

Глава 1

микроэкономические. Хотя между ними и нет четкого раз-

граничения, к первым из них относят модели, отражающие

функционирование экономики как единого целого, в то время

как микроэкономические модели связаны, как правило, с та-

кими звеньями экономики, как предприятия и фирмы.

По конкретному предназначению, т. е. по

цели создания и применения, выделяют балансовые модели,

выражающие требование соответствия наличия ресурсов и

их использования; трендовые модели, в которых развитие

моделируемой экономической системы отражается через

тренд (длительную тенденцию) ее основных показателей; оп-

тимизационные модели, предназначенные для выбора наи-

лучшего варианта из определенного числа вариантов произ-

водства, распределения или потребления; имитационные

модели, предназначенные для использования в процессе ма-

шинной имитации изучаемых систем или процессов и др.

По типу информации, используемой в модели,

экономике-математические модели делятся на аналитичес-

кие, построенные на априорной информации, и идентифи-

цируемые, построенные на апостериорной информации.

По учету фактора времени модели подразде-

ляются на статические, в которых все зависимости отнесе-

ны к одному моменту времени, и динамические, описываю-

щие экономические системы в развитии.

По учету фактора неопределенности мо-

дели распадаются на детерминированные, если в них ре-

зультаты на выходе однозначно определяются управляющи-

ми воздействиями, и стохастические (вероятностные), если

при задании на входе модели определенной совокупности

значений на ее выходе могут получаться различные резуль-

таты в зависимости от действия случайного фактора.

Экономико-математические модели могут классифициро-

ваться также по характеристике математиче-

ских объектов, включенных в модель, другими сло-

вами, по типу математического аппарата,

используемого в модели. По этому признаку могут быть

выделены матричные модели, модели линейного и нелиней-

ного программирования, корреляционно-регрессионные модели,

Основные

понятия

математического моделирования

модели теории массового обслуживания, модели сетевого

планирования и управления, модели теории игр и т.д.

Наконец, по типу подхода к изучаемым

социально-экономическим системам вы-

деляют дескриптивные и нормативные модели. При деск-

риптивном (описательном) подходе получаются модели,

предназначенные для описания и объяснения фактически

наблюдаемых явлений или для прогноза этих явлений; в

качестве примера дескриптивных моделей можно привести

названные ранее балансовые и трендовые модели. При норма-

тивном подходе интересуются не тем, каким образом устроена

и развивается экономическая система, а как она должна

быть устроена и как должна действовать в смысле определен-

ных критериев. В частности, все оптимизационные модели

относятся к типу нормативных; другим примером могут

служить нормативные модели уровня жизни.

Рассмотрим в качестве примера экономико-математиче-

скую модель межотраслевого баланса (ЭММ МОБ). С учетом

приведенных выше классификационных рубрик это приклад-

ная,

макроэкономическая, аналитическая, дескриптивная, де-

терминированная, балансовая, матричная модель; при этом су-

ществуют как статические, так и динамические ЭММ МОБ.

Вопросы и задания

В чем заключается смысл системного подхода к анализу социально-

экономических систем и процессов?

Сформулируйте понятия «модель» и «метод моделирования».

3. Каковы важнейшие особенности социально-экономических

систем как объектов моделирования?

Дайте характеристику этапов экономико-математического моде-

лирования.

5. Укажите основные научные дисциплины и методы, входящие в

состав экономико-математических методов.

6. Назовите основные классификационные признаки экономико-

математических моделей и приведите примеры моделей, входя-

щих в ту или иную классификационную рубрику.

Глава 2

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОГО

ПРОГРАММИРОВАНИЯ

• Принцип оптимальности в планировании и управлении, общая

задача оптимального программирования

• Формы записи задачи линейного программирования и ее эконо-

мическая интерпретация

• Математический аппарат

• Геометрическая интерпретация задачи

• Симплексный метод решения задачи

2.1.

Принцип оптимальности в планировании и управлении,

общая задача оптимального программирования

Линейное программирование — это частный раздел опти-

мального программирования. В свою очередь оптимальное

(математическое) программирование — раздел прикладной

математики, изучающий задачи условной оптимизации. В

экономике такие задачи возникают при практической реали-

-зации принципа оптимальности в планировании и управлении.

Необходимым условием использования оптимального

подхода к планированию и управлению (принципа опти-

мальности) является гибкость, альтернативность производст-

венно-хозяйственных ситуаций, в условиях которых прихо-

дится принимать планово-управленческие решения. Именно

такие ситуации, как правило, и составляют повседневную

практику хозяйствующего субъекта (выбор производствен-

ной программы, прикрепление к поставщикам, маршрутиза-

ция, раскрой материалов, приготовление смесей и т.д.).

Суть принципа оптимальности состоит в стремлении выбрать

такое планово-управленческое решение X = (xi,

Х2

), где

Ху, (у =

я) — его компоненты, которое наилучшим образом

учитывало бы внутренние возможности и внешние условия

производственной деятельности хозяйствующего субъекта.