Федосеев В.В. и др. Экономико-математические методы и прикладные модели

Подождите немного. Документ загружается.

Применение оптимальных экономико-математических 381

моделей для решения производственных задач

к!.

I X

Яа/О-

- ~)'

kal

, k = 1, т. (9.34)

Напомним, что в ограничении (9.34) составные выражения

имеют следующую интерпретацию:

•

— экономия расхода материала в производстве

д-го завода без учета повышения коэффициента использования

материала; ,

•

— чистая масса расходуемого материала при

базисном коэффициенте использования;

k '

kaj

нормативный объем расхода материала

К\

при достижении планового уровня коэффициента использо-

вания его в производстве д-го завода;

Г „о ^ Л

— — экономия расхода материала в результате

* J

внедрения ОТМ и при условии выполнения планового задания

повышения коэффициента использования этого материала в

производстве д-го завода.

В целях наглядности систематизация условных исходных

данных для реализации данной модели также выполнена в

табл. 9.9. В эту же таблицу заносятся и результаты реше-

ния рассматриваемой задачи.

При реализации задачи по данным матриц табл. 9.9 эко-

номико-математическая модель (9.31) - (9.34) приводится к

двумерному представлению в следующем виде:

ВД = ХХС„.Х^ ->max; (9.35)

*=i у=i

Таблица 9.9. Матрицы исходных данных и результаты решения задачи оптимизации планирования С" то варианту модели 219.31) - (9.34)

Наименование

вариантов ОТМ

Индексы

вариантов (0

Коэффициент элоиомии

(ц

Индекс

завода

}

Экономическая эффектна-

"~~^-нрсть

удельные кая.

Наимено- —-^моления

ванне предприятии^-----.

Завод г* I

Завов.

№2

Завод №3

Наименование

направлений

ОШ [а)

Пршяенент проката

улучшенного качества

Сортовая

холодютяну-

тая

стал»

1,112

С,

350,8

Х,„

358.4

о„

Х?п

82.5

0«

х»,

Р,„

50.4

Q»

зе.5

38,5

вЭ.6

0»,

32.1

16.5

0™.

29.5

Низколегиро-

ванная сталь

0.159

С«12

159,2

0»

х,

278.1

Хги

29.4

а»

Хзи

Р..2

39.1

Ошм

41.5

92,7

0««

33,6

14,7

0™,

37,2

Внедрение заменителей

Стальные

трубы

1,253

С«2|

283,8

о_

Хщ

237,3

а»

Xffj

64.4

о„

Рй,

47.3

0™,

82.7

82,7

79.1

35.2

16.1

0™,

33.3

Легкие сплавы

2,855

С«о

123.6

0™

Xiij

382,0

0™

Хдг

44.7

о*.

XJH

P*a

41.2

On.

72.5

22.68

95.5

а.

34.3

34,3

14.9

0™.

41,7

17,05

Гетаюгхчесме мероприятия

Увеличение дали

штамповок

0.135

Col

299,5

о„

Хщ

392,4

0„

П1

62,4

о„

59.9

41.8

98.1

Q™

32.8

32,8

15,6

0»

38,6

38.6

Снижение припус-

ков на механиче-

скую

обработку

0.029

Ск32

183,2

О»

Х|

258.9

О»

Х?»

60.8

Хш

и,

48.5

0»

60.5

86.3

0».

35.7

15.2

О-,

27.1

22.52

Использование

дедовых

оподош

1.0

Сдз

262.0

о„,

Хш

360,8

о-

Хдз

36,3

Q-

Хаи

Р<33

52.4

Q™.::

132,5

122,3

90,7

О™,

36,9

33,41

12.1

0».

17.5

У/Г>ч'дение

par-роя висго-

аогг. у сортово-

го .-.-.окага

ее

с.

362,4

О™

Хч

29'.'

х»

£Г "

. '

139

Р«*

53.2

О™.,

15,1

15.1

98,0

0.»

35.8

14,9

0„.

1»,7

18.7

0.740

0.7S0

0.750

lis

0,748

0,762

0,756

I-

•>

3.6

1,81

i,i

14000

12400

2500

Применение оптимальных экономико-математических 383

моделей для решения производственных задач

<AP

, ft = 1,3;

;=i

Qmi„

* **, < Q„

ft = 1,3, j = 1,8;

£?,U-§)x

, ft = 1,3.

(9.36)

Матрица коэффициентов С при неизвестных переменных

целевой функции (9.34) из табл. 9.9 имеет следующие зна-

чения:

С =

^350,8 159,2 283,8,123,6 299,5 183,2 262,0 362,4^

358,4 278,1 237,3 '382,0 392,4 258,9 360,8 294,0

1,82,5

29,4 64,4 44,7 62,4 60,8 36,3 59,6,

Матрица коэффициентов М\ для ограничений по повы-

шению коэффициента использования материала и экономии

расхода данного материала определяется из табл. 9.9 как

скалярное произведение коэффициента экономии от внедрения

/-го варианта ОТМ (о Л на разность (1 —):

к\

'0,126 0,0017 0,0134 0,0305 0,0014 0,0003 0,0107 0,0004

М1= 0,0184 0,0025 0,0195 0,0445 0,0021 0,0005 0,0156 0,0006

,0,0093 0,0013 0,0099 0,0226 0,0011 0,0002 0,0079 0,0003,

Матрица коэффициентов удельных затрат на единицу

объема ОТМ Р для ограничений на лимиты привлекаемых

капитальных вложений по каждому заводу (табл. 9.9) в

свою очередь задается в следующем виде:

'50,4 39,8 47,3 41,2 59,9 48,5 52,4 53,2"

Р = 89,6 92,7 79,1 95,5 98,1 86,3 90,7 98,0 .

,16,5 14,7 16,1 14,9 15,6 15,2 12,1 14,9,

Матрица минимальных объемов Q

внедряемых меро-

приятий имеет нулевые значения. Максимальные объемы

внедряемых мероприятий Q

max

по

каждому заводу из табл.

9.9 могут быть представлены в следующем виде:

384

Глава 9

^max

f38,5 41,5 82,7 72,5 41,8 60,5 132,5 15,f

32,1 33,6 35,2 34,3 32,8 35,7 36,9 35,8 .

1,29,5

37,2 33,3 41,7 38,6 27,1 17,5 18,7,

Как видно из целевой функции (9.35) и системы ограни-

чений (9.36), данная задача является обычной задачей ли-

нейного программирования, которая может быть решена

симплекс-методом. В составе программного обеспечения

ПЭВМ имеются пакеты прикладных программ [2, 22], с по-

мощью которых реализована рассматриваемая экономико-

математическая модель (9.31) - (9.34) после ее двумерного

представления (9.35), (9.36).

С использованием значений элементов матрицы С выра-

жение целевой функции (9.35), анализируемой пакетом

программ LP88, в матричной форме представляется следую-

щим образом:

F(x) = ХС

где X — матрица неизвестных переменных;

— матрица, транспонированная к матрице С.

Тогда в естественной форме запись данной целевой

функции имеет следующий вид:

F(x) = 350,8Х

+ 159,2Х

+ 283,8Х

+ 123,6X

+ 299,5Xi

+ 183,2Х

+ 262Xi

+ 362,4Х

+358,4X

i +...+ 36,ЗХ

7 + 59,6Х

-> max.

В обозначениях пакета LP88 переменной Хц соответст-

вует Х

- Х

, ... , X

i - Хд ,..., Х

8 ~ Х

Система ограничений, построенная на базе матрицы Ml

и вектора плановых заданий (табл. 9.9) по повышению ко-

эффициента использования материала и экономии расхода

этого материала по каждому заводу отрасли (9.34), имеет та-

кое конкретное представление:

0,0126Х

+ 0,0017Х

+ 0,0134Х

+ 0,0305Х

+ 0,0014Х

+ 0,0003Х

+ 0,0107Х

+ 0,0004Х

> 3,6;

0,0184Х

+ 0,0025Х

+ 0,0195Х

+ 0,0445Х

+ 0,0021Х

+ 0,0005Х

+ 0,0156Х

+ 0,0006Х

>1,81;

0,0093Х

+ 0,0013Х

+ 0,0099Х

+ 0,0226Х

+ 0,0011Х

+ 0,0002Х

+ 0,0079Х

+ 0,0003Х

> 1,1.

Применение оптимальных экономико-математических 385

моделей для решения производственных задач

Ограничения (9.32), вытекающие из матрицы Р и векто-

ра лимитов, привлекаемых по каждому заводу капитальных

вложений (АР), задаются в виде неравенств:

50,4Х

+ 39,8Х

+ 47,ЗХ

+ 41,2Xi

+ 59,9Х

+ 48,5Х

+ 52,4Х

+ 53,2Х

< 14000;

89,6X

i + 92,7Х

+ 79,1Х

+ 95,5Х

+ 98,1X

+ 86,ЗХ

+ 90,7Х

+ 98,0Х

< 12400;

16,5Х

+ 14,7Х

+ 16ДХ

+ 14,9Х

+ 15,6Х

+ 15,2Х

+ 12ДХ

+ 14,9Х

< 2500.

В соответствии с ограничениями, накладываемыми на

объемы внедрения ОТМ (9.33) по каждому заводу, согласно

данным табл. 9.9 и матрицы Q

max

имеем:

> 0, k = 1,3; } = iU8 и

< 38,5; Х

< 41,5; Х

< 82,7; Х

< 72,5;

< 41,8; Х

< 60,5; Х

< 132,5; Х

< 15,1;

< 32,1; Х

< 33,6; Х

< 35,2; Х

< 34,3;

< 32,8; Х

< 35,7; Х

< 36,9; Х

< 35,8;

< 29,5; Х

< 37,2; Х

< 33,3; Х

< 41,7;

< 38,6; Х

< 27,1; Х

< 17,5; Х

< 18,7.

Результаты решения экономико-математической модели

Xkaj — оптимальные объемы внедрения ОТМ определенных

направлений по каждому заводу в соответствии с целевой

функцией (9.31), как выше отмечено, приведены в табл. 9.9.

С учетом найденных оптимальных объемов внедрения

мероприятий (Xkaj) и данных матрицы их удельной эффек-

тивности (С) целевая функция, выражающая максимум эконо-

мической эффективности внедряемых мероприятий на пла-

новый период, имеет значение

F(x) = 137068.

Используя результаты решения задачи из табл. 9.9, можно

установить, что эффективность внедрения ОТМ по заводу № 1

характеризуется величиной 77302, по заводу № 2 — 49533

и по заводу № 3 — 10233. Аналогично можно определить

эффективность внедрения мероприятий в разрезе направле-

ний и их вариантов по каждому заводу и отрасли в целом.

386

Глава 9

Кроме того, как в предыдущих задачах, для данной модели

также можно выполнить анализ остатков ограниченных ресур-

сов

max

и АР) для оптимальных планов. Пакет LP88 и

функции EXCEL позволяют провести исследование чувстви-

тельности результатов реализации модели при изменениях

правых частей неравенств (9.36) с одновременным установ-

лением нижней и верхней границ интервала изменения

коэффициентов при неизвестных, целевой функции (9.35), в

пределах которых оптимальные значения переменных X ос-

таются неизменными.

В заключение отметим, что приведенные задачи оптимиза-

ции планирования организационно-технических мероприятий

по экономии расхода материалов указывают на широкие

возможности моделирования решений в зависимости от раз-

личных производственных ситуаций.

Вопросы

Дайте характеристику этапов процесса разработки и реа-

лизации экономико-математических моделей планирова-

ния ОТМ.

Какие понятия и определения используются при решении

оптимизационных задач по экономии расхода материалов

в производстве предприятий?

По каким критериям строятся модели оптимального пла-

нирования ОТМ по экономии расхода материальных

ресурсов?

Какие разновидности оптимизационных моделей плани-

рования ОТМ могут быть реализованы с помощью средств

математического программирования и чем они отлича-

ются друг от друга?

Какие результаты могут быть получены при реализации

моделей оптимизации планирования ОТМ с помощью

средств целочисленного программирования и обычных

средств линейного программирования?

6. В чем заключается сущность анализа результатов задач

решения оптимизации планирования ОТМ?

Библиографический список

Акулич ИЛ. Математическое программирование в при-

мерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1986.

Горчаков АА., Орлова И.В. Компьютерные экономико-ма-

тематические моделиУ — М.: Компьютер, ЮНИТИ, 1995.

Горчаков АА.,Орлива И.В.,Половников В

А.

Методы эко-

номико-математического моделирования и прогнозиро-

вания в новых условиях хозяйствования. — М.: ВЗФЭИ,

1991.

Джонстон Д.Ж. Эконометрические методы. — М.: Фи-

нансы и статистика, 1960.

Дрейпер П., Смит Г. Прикладной регрессионный ана-

лиз.

— М.: Финансы и статистика, 1986.

6. Карасев А.И.,Кремер Н.Ш., Савельева Т.И. Математиче-

ские методы и модели в планировании. — М.: Экономи-

ка, 1987.

Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь.

— М.: Наука, 1987.

8. Орлова И.В.,Половников ВА.,Федосеев В.В. Курс лекций

по экономико-математическому моделированию. — М.:

Экономическое образование, 1993.

9. Половников ВА. Анализ и прогнозирование транспорт-

ной работы морского флота. — М.: Транспорт, 1983.

10.

Прицкер А. Введение в имитационное моделирование и

язык СЛАМП. — М.: Мир, 1987.

11.

Статистическое моделирование и прогнозирование. /Под

ред.

А.Г. Гранберга — М.: Финансы и статистика, 1990.

12.

Справочник по математике для экономистов. /Под ред.

В.И. Ермакова — М.: Высшая школа, 1987.

13.

Терехов Л.Л. Кибернетика для экономистов. — М.: Фи-

нансы и статистика, 1983.

14.

Федосеев В.В. Экономико-математические методы и мо-

дели в маркетинге. — М.: Финстатинформ, 1996.

15.

Френкель АА. Производительность труда: проблемы мо-

делирования роста. — М.: Финансы и статистика, 1984.

388

16.

Френкель АА. Прогнозирование производительности

труда: методы и модели.— М.: Экономика, 1989.

17.

Четыркин ЕМ. Статистические методы прогнозирова-

ния. — М.: Финансы и статистка, 1979.

18.

Экоколшко-математические методы и прикладные модели:

Учебно-методическое пособие. /В.А. Половников, И.В.

Орлова, А.Н. Гармаш, В.В. Федосеев. — М.: Финстатин-

форм, 1997.

19.

Смирнов К

А.

Нормирование и рациональное использо-

вание материальных ресурсов;, Учебное пособие. — М.:

Высшая школа, 1990.

20.

Покараев Г.М., Зайцев АА.,Карасев О.В. и др. Нормиро-

вание расхода материальных ресурсов в машиностроении:

Справочник: В 2 т. Т. 1. — М.: Машиностроение, 1988.

21.

Ясеновский С.В.,Горбовцов Г.Я.,Завьялкин Д.В. Методи-

ческие указания по применению ППП для решения за-

дач линейного программирования. — М.: МЭСИ, 1989.

22.

Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средства-

ми EXCEL 7.0. — СПб.: BHV, 1997.

23.

Кремер Н.Ш. и др. Исследование операций в экономике:

Учебное пособие. — М.: ЮНИТИ, 1997.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 3

Глава 1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 7

1.1. Социально-экономические системы,

методы

их

исследования

моделирования

1.2.

Этапы экономико-математического

моделирования

1.3. Классификация экономико-математических

методов

моделей

Глава 2

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 20

2.1.

Принцип оптимальности

планировании

и управлении, общая задача оптимального

программирования

2.2.

Формы записи задачи линейного

программирования

и ее

экономическая

интерпретация

2.3.

Математический аппарат

2.4. Геометрическая интерпретация задачи

2.5.

Симплексный метод решения задачи

Глава 3

ОПТИМАЛЬНЫЕ ЭКОНОМИКО-

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 67

3.1.

Теория двойственности

анализе оптимальных

решений экономических задач

3.2. Транспортная задача

3.3.

Целочисленное программирование

102

390

3.4. Задачи многокритериальной оптимизации 108

3.5.

Нелинейное и динамическое программирование;

понятие об имитационном моделировании 115

3.6. Модели сетевого планирования и управления 127

Глава 4

МЕТОДЫ И МОДЕЛИ АНАЛИЗА ДИНАМИКИ

ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 144

4.1.

Понятия экономических рядов динамики 144

4.2.

Предварительный анализ и сглаживание

временных рядов экономических показателей 148

4.3.

Расчет показателей динамики развития

экономических процессов 157

4.4.

Тренд-сезонные экономические процессы

и их анализ 163

Глава 5

МОДЕЛИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 189

5.1.

Трендовые модели на основе кривых роста 189

5.2. Оценка адекватности и точности

трендовых моделей 198

5.3.

Прогнозирование экономической динамики

на основе трендовых моделей 208

5.4. Адаптивные модели прогнозирования 216

Глава 6

БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ 231

6.1.

Балансовый метод. Принципиальная схема

межпродуктового баланса 231

6.2. Экономико-математическая модель

межотраслевого баланса 237

6.3.

Коэффициенты прямых и полных

материальных затрат 240

6.4. Межотраслевые балансовые модели в анализе

экономических показателей 248

6.5.

Динамическая межотраслевая балансовая модель 254