Грибунин В.Г. Цифровая стеганография

Подождите немного. Документ загружается.

тейнерные данные доступны декодеру, что используется в ряде систем ЦВЗ

[9,10]. В этом случае контейнер

может рассматриваться как часть секрет-

ного ключа. В других стегосистемах в качестве секретной ключевой инфор-

мации могут использоваться выбранные отправителем хэш-функции [11],

правило размещения водяных знаков в контейнере [12,13] или исходные дан-

ные для формирования псевдослучайных последовательностей в системах с

расширением спектра контейнера [4,14].

В рассматриваемой обобщенной схеме стегосистемы скрываемые сооб-

щения М равномерно распределены во множестве сообщений

М и должны

быть безошибочно переданы декодеру. Скрывающий информацию подает

пустой контейнер

, ключ

и сообщение М на вход стегокодера, фор-

мируя стегограмму передаваемую получателю по незащищенному кана-

лу связи. Стего

перехватывается и обрабатывается нарушителем с целью

разрушения или удаления сообщения М. Искаженное нарушителем стего

обозначим и опишем атакующее воздействие условной функцией рас-

пределения . Эта обработка включает, как частный случай, фор-

мирование искаженного стего в виде , где есть детерминиро-

ванное отображение.

)/(

NNN

XYQ

)(

xgy =

Нарушителю полезно знать описание стегосистемы, используемой скры-

вающим информацию, и использовать это знание для построения более эф-

фективного атакующего воздействия . В частности, если извест-

ная нарушителю система информационного скрытия не использует секретно-

го ключа

)/(

NNN

XYQ

, нарушитель способен декодировать сообщение М и затем уда-

лить его из стего Поэтому необходимо хранить описание бесключевой

стегосистемы в секрете. Заметим, что история развития систем защиты ин-

формации, в частности, криптографических систем, свидетельствует, что не

стоит надеяться на сохранение в тайне принципов построения системы защи-

ты при ее широком применении. Поэтому нашим основным предположением

является: нарушитель знает распределения всех переменных в стегосистеме и

само описание стегосистемы, но не знает используемого секретного ключа

(принцип Керкхофа для систем защиты информации).

Пусть контейнер

, стего X и модифицированное нарушителем стего Y

принадлежат одному и тому же множеству . Декодер получателя вычисля-

ет оценку исходного скрываемого сообщения . Если

∧

m m

≠

∧

, то ата-

кующий сумел разрушить защищаемую стегосистемой информацию.

Рассмотрим часто используемую схему построения системы ЦВЗ, пред-

ставленную на рис. 3.2. В данной схеме учитывается, что сообщение

обычно не принадлежит алфавиту и имеет длину отличную от длины кон-

тейнера

. Например, если ЦВЗ представляет собой изображение фирмен-

ного знака производителя информационной продукции, то такой водяной

знак по форме представления и по своим характеристикам существенно от-

личается от заверяемого контейнера. Поэтому скрываемое сообщение (ЦВЗ)

преобразуется в кодовую последовательность длиной N символов,

. Эта операция преобразует водяной знак

MU Х∈)(

к виду, удобному

для встраивания в контейнер

. Заметим, что на рис. 3.2 показан случай,

когда это преобразование независимо от контейнерного сигнала.

Устро йс тво

встраивания

Декодер

Преобразователь

водяного знака

Атакующее

воздействие

Рис.3.2. Структурная схема стегосистемы водяного знака

при активном противодействии нарушителя

Заверенное водяным знаком стего в общем случае формируется по прави-

лу

),,

(

NNN

kuxfx = , где есть функция встраивания по ключу . В

обозначении функции встраивания неявно указывается, что она выполняет

преобразования над блоком длины N. В простейшем примере встраивание

может выполняться по правилу

iii

uxx +=

для Ni

≤

1 , где переменные

, и принадлежат конечному алфавиту . В современных системах

водяного знака применяются сложные построения функции , учитываю-

щие характеристики чувствительности органов зрения или слуха человека и

не являющиеся аддитивными [15]. Преобразование должно быть удоб-

ным для скрывающего информацию, а также должно минимизировать вно-

симые искажения в контейнер при условии обеспечения требуемой устойчи-

вости к атакам нарушителя. Оптимальное построение таких функций пред-

ставляет сложную задачу.

u Х

Формально определим вносимые искажения в стратегиях скрывающего

информацию и нарушителя. Это завершает математическое описание стего-

системы и позволяет определить скорость безошибочной передачи для стего-

системы, представленной на рис. 3.1.

Пусть искажения в стегосистеме оцениваются в соответствии с ограни-

ченной неотрицательной функцией вида где

),,( yxd X

∈

yx,

. Используемая

мера искажения симметрична:

),(),( xydyxd

, выполнение равенства

означает совпадение

0),( =yxd

. Следовательно, используемая мера

искажения является метрикой. Метрика искажений расширяется на последо-

вательности длиной N символов и сле-

дующим образом:

),...,,(

21 N

xxxx = ),...,,(

21 N

yyyy =

),(

∑

NNN

yxd

. Теория информационного

скрытия использует классические метрики искажения, такие как метрики

Хэмминга и Евклида, а также метрики, учитывающие особенности слуховой

или зрительной чувствительности человека [16].

Назовем искажение контейнера

, вызванное встраиванием в него скры-

ваемого сообщения ,искажением кодирования.

Определение 3.1: Стегосистема с длиной блока N, приводящая к искаже-

нию кодирования не более , есть совокупность множеств скрываемых со-

общений

M, контейнеров

, стего и ключей

и определенных на

них функций кодирования f

и декодирования , где есть отображение кон-

тейнера

, сообщения m и ключа в стего

. Это отображение ограничено величиной среднего иска-

жения кодирования :

NNN

f ХKMХ →××:

),,

(

kmxfx =

)),,

(),

(

Dkmхfхdkхp

NNNN

≤

∑∑∑

∈∈

∈

; (3.1)

а есть декодирующее отображение принятой стегопосле-

довательности и ключа в декодированное сообщение

ÌKY

: →×

).,(

kóm

Таким образом, величина характеризует искажение контейнера, мак-

симально допустимое при встраивании в него скрываемого сообщения. Дан-

ное определение, хотя формально описывает стегосистемы блочного типа,

может быть расширено и на стегосистемы поточного типа, у которых окно

обработки описывается скользящим блоком длины N. В этом случае пара-

метр N стегосистемы по аналогии с непрерывными кодами может быть на-

зван длиной кодового ограничения стегосистемы.

Обычно искажение мало, так как встраиваемое в контейнер сообщение

должно быть незаметным для нарушителя. В стегосистемах, в которых кон-

тейнер представляет полезный для получателя информационный сигнал, ве-

личина ограничивается отправителем сообщений для сохранения высоко-

го качества контейнера. В системах ЦВЗ требование минимизации фор-

мулируется как требование прозрачности водяного знака, заверяющего кон-

тейнер.

Заметим, что данное определение искажения использует усреднение от-

носительно распределения

(

kxp и относительно равномерного распре-

деления сообщений. Это позволяет воспользоваться классическими методами

теории информации, сформулированными К. Шенноном [1]. Также возмож-

но, но более сложно использовать для анализа стегосистем максимальное

искажение контейнеров, где максимум отыскивается для распределений

и m.

Распределения ), p(m) и выбор отображения f ,

(

kxp

определяют кон-

кретный вид распределения множества формируемых стегограмм.

)(

Определение 3.2: Атакующее воздействие без памяти, приводящее к ис-

кажению D

, описывается условной функцией распределения из

множества во множество , такой что

)/(

NNN

хyQ

)( )/(),( DxpxyQyxd

NNNNN

NNNN

≤

∑

∈∈Х Х

. (3.2)

По определению есть максимальная величина искажения стегограм-

мы, вызванное преднамеренными действиями нарушителя. Физический

смысл ограничения величины заключается в следующем. В системах ЦВЗ

нарушитель, пытаясь удалить водяной знак из заверенного контейнера, вы-

нужден сам уменьшать величину , чтобы не исказить ценный для него

контейнер. В других стегосистемах величина ограничивается имеющимся

у атакующего энергетическим потенциалом постановки помех, возникающи-

ми помехами для других каналов связи при использовании совместного ре-

сурса и другими причинами.

Резонно предположить, что для реальных стегосистем обычно выполняет-

ся соотношение D

≥

В соответствии с определением 3.2 атакующее воздействие описывается и

ограничивается усредненными искажениями между множествами

и .

В других случаях, если атакующий знает описание функции f

, то атакующее

воздействие описывается и ограничивается усредненным искажением между

множествами

и :

()),,

(/(),

( DkxpkmxfyQyxd

NNNN

NNN

yxkm

NNN

≤

∑

. (3.3)

Определение D

в соответствии с выражением (3.3) предполагает, что на-

рушителю известны точные вероятностные характеристики контейнеров. Как

будет показано далее, это обстоятельство существенно усложняет задачу

обеспечения защищенности скрываемой информации, поэтому в стойких сте-

госистемах используются различные методы скрытия от нарушителя харак-

теристик используемых контейнеров. Например, такие методы включают

использование для встраивания подмножества контейнеров с вероятностны-

ми характеристиками, отличающимися от характеристик всего известного

нарушителю множества контейнеров или рандомизированное сжатие контей-

нерного сигнала при встраивании в него скрываемого сообщения [17]. По-

этому вычисление искажения D

в соответствии с определением 3.2 является

более универсальным, так как нарушитель всегда имеет возможность изучать

вероятностные характеристики наблюдаемых стего.

Имея описание стегосистемы и атакующего воздействия

можно описать состязание (игру) между скрывающим информацию и ата-

кующим.

),/(

NNN

xyQ

Определение 3.3: Информационно-скрывающее противоборство, приво-

дящее к искажениям (D

), описывается взаимодействием используемой

стегосистемы, приводящей к искажению кодирования D

и атакующего воз-

действия, приводящего к искажению D

Скорость передачи скрываемых сообщений по стегоканалу определим в

виде R=1/N log

. Скорость передачи R выражается в среднем числе бит

скрываемых сообщений, безошибочно передаваемых (переносимых) одним

символом (отсчетом) стегопоследовательности . Это определение созвуч-

но “классическому” определению скорости передачи обычных сообщений по

каналу передачи, выражаемой в среднем числе безошибочно передаваемых

бит за одно использование канала [1].

Вероятность разрушения скрываемого сообщения в стегопоследователь-

ности длины N определим как

)/),((

mMmKYPP

NNe

=≠=

∑

∈M

, (3.4)

где скрываемые сообщения М равновероятно выбираются среди множества

. Вероятность есть средняя вероятность того, что атакующий успешно

исказит скрытно передаваемое сообщение, усредненная над множеством всех

сообщений. Атакующий добивается успеха в информационном противобор-

стве, если декодированное на приеме сообщение не совпадет с встроенным в

контейнер скрываемым сообщением, или декодер не способен принять одно-

значного решения.

Теоретически достижимую скорость безошибочной передачи скрываемых

сообщений и скрытую пропускную способность при искажениях не более

величин (D

, D

) определим следующим образом.

Определение 3.4: Скорость R безошибочной передачи скрываемых сооб-

щений достижима для искажений не более (D

, D

), если существует стегоси-

стема с длиной блока N, приводящая к искажению кодирования не более D

на скорости R

> R, такая что Р

e,N

→ 0 при N → ∞ при любых атаках наруши-

теля, приводящих к искажению не более D

Определение 3.5: Скрытая пропускная способность С(D

, D

) есть супре-

мум (верхняя грань) всех достижимых скоростей безошибочной передачи

скрываемых сообщений при искажениях не более (D

, D

Отметим, что введенные определения средних искажений контейнеров

при встраивании скрываемых сообщений и при атакующем воздействии на-

рушителя, скорости передачи скрываемых сообщений и пропускной способ-

ности канала скрытой передачи соответствуют теоретико-информационному

подходу К. Шеннона.

Таким образом, скрытая ПС есть верхний предел скорости безошибочной

передачи скрываемых сообщений, при которой искажения контейнера, вы-

званные вложением в него данных сообщений и действиями нарушителя по

разрушению этих сообщений, не превышают заданных величин. Как и ПС

каналов передачи открытых сообщений, ПС каналов передачи скрываемых

сообщений определяется в идеализированных условиях, в которых задержка

кодирования/декодирования бесконечна (N

→ ∞), статистика контейнеров,

скрываемых сообщений, стего и ключей точно известна, сложность построе-

ния стегосистемы неограничена. Очевидно, что такая скрытая ПС имеет

смысл теоретического предела, указывающего области, в которых существу-

ют и, соответственно, не существуют стегосистемы при заданных величинах

искажений. Известно, что скорости реальных систем передачи открытых со-

общений могут только приближаться к величине ПС открытых каналов, при-

чем по мере приближения к ней вычислительная сложность реализации сис-

тем передачи растет сначала приблизительно по линейной, затем по квадра-

тической и далее по экспоненциальной зависимости от длины блока кодиро-

вания N [1]. По всей вероятности, аналогичные зависимости роста сложности

справедливы и для стегосистем по мере приближения скорости передачи

скрываемых сообщений к величине скрытой ПС. Это предположение под-

тверждается имеющимся опытом построения стегосистем. Известно, что по-

пытки увеличить скорость передачи скрываемых сообщений влекут за собой

существенное усложнение методов скрытия информации [6,8].

Подчеркнем абсолютный характер величины скрытой ПС для произволь-

ного передачи скрываемой информации. Если требуемая скорость передачи

скрываемых сообщений меньше величины скрытой ПС, то обеспечение без-

ошибочной передачи в принципе возможно, и имеет смысл разрабатывать

принципы построения реализующей эту скрытую ПС стегосистему. Если это

соотношение не выполняется, то безошибочная передача невозможна при

любых принципах построения стегосистем.

3.2.2. Скрывающее преобразование

Для полного представления стегосистемы и условий ее функционирова-

ния формально опишем скрывающее преобразование, выполняемое при

встраивании информации в контейнер, и атакующее воздействие, осуществ-

ляемое нарушителем для противодействия скрытой передаче. Для этого рас-

смотрим вспомогательную случайную последовательность U, определенную

над множеством

U. Физически последовательность U описывает результат

преобразования скрываемого сообщения М с целью его адаптации к встраи-

ванию в заданный контейнер. Заметим, что в то время как в стегосистеме

контейнеры, ключи и стего представляют из себя последовательности одина-

ковой длины , длина скрываемых сообщений, их алфавит и вероятностное

распределение не совпадают с соответствующими характеристиками пере-

численных последовательностей. Например, пусть лицензионную музыкаль-

ную запись на DVD-диске производитель для защиты своих прав на товар-

ный продукт заверяет своим фирменным знаком (логотипом) или текстом, в

котором указываются реквизиты производителя, и перечисляются его права

на защищаемый товар. Очевидно, что рисунок фирменного знака или указан-

ный текст целесообразно сначала привести к виду удобному для встраивания

в музыкальный контейнер, причем встраивание должно быть таким, чтобы

все части контейнера были бы защищены от ”пиратского” копирования. Ина-

че у нарушителя появится возможность отрезать часть стего, в котором со-

держится заверяющая информация, и присвоить себе оставшееся. Поэтому

логично предположить, что последовательность U должна иметь длину не

меньшую длины заверяемого контейнера.

В общем виде определим скрывающее преобразование, используемое от-

правителем сообщений для встраивания скрываемого сообщения в контей-

нер.

Определение 3.6: Скрывающее преобразование, вызывающее искажение

кодирования D

, описывается условной функцией распределения

отображения из множества

/,(

kxuxQ

Х × во множество UХ

такой,

что выполняется условие

∑

≤

,k,uxx,

DkxpkxuxQxxd

(),

/,(

( . (3.5)

Расширение скрывающего преобразования без памяти длины N описыва-

ется условной функцией вида

∏

iiiii

NNNNN

kxuxQkxuxQ

/,(

Для успешного скрытия информации от квалифицированного нарушителя

целесообразно пользоваться не одним, а множеством скрывающих пре-

образований, выбираемых отправителем сообщений.

Определение 3.7: Обобщенное скрывающее преобразование, приводящее

к искажению кодирования не более величины D

, состоит из множества

всех скрывающих преобразований, удовлетворяющих условию (3.5).

Обобщенное скрывающее преобразование описывает все возможные ва-

рианты действий скрывающего информацию при встраивании сообщений М

в контейнер так, чтобы величина искажения кодирования не превышала до-

пустимую. Подчеркнем, что в стеганографии важно, чтобы у скрывающего

информацию было множество возможных вариантов, среди которых он рав-

новероятно и непредсказуемо для нарушителя выбирает конкретный вариант

скрытия защищаемого сообщения.

Для анализа стегосистемы удобно записать функцию

в форме произве-

дения функций распределения вида

),,

/(),,

/(),

/,(

kxupkuxxpkxuxQ =

(3.6)

где отнесем

),,

/( kuxxp к ”основному” скрывающему преобразованию и

/( kxup к ”вспомогательному” скрывающему преобразованию.

3.2.3. Атакующее воздействие

Формально опишем действия нарушителя по преобразованию перехва-

ченного стего

в искаженное стего с целью разрушения содержащейся в

нем скрываемой информации.

Определение 3.8: Атакующее воздействие, приводящее к искажению D

описывается условной функцией распределения отображения из

множества во множество такой, что выполняется условие

)/( xyQ

Х Y

.)()/(),(

∑

≤

DxpxyQyxd (3.7)

Расширение атакующего воздействия без памяти длины N описывается

условной функцией вида .

)/()/(

NNN

xyQxyQ

∏

Определение 3.9: Обобщенное атакующее воздействие, приводящее к ис-

кажению не более величины D

, состоит из множества

всех атакующих

воздействий удовлетворяющих условию (3.7).

Аналогично набору вариантов действий скрывающего информацию, у

атакующего также есть свой набор атакующих воздействий (множество

Нарушитель, перехватив стего, cтремится выбрать такое атакующее воздей-

ствие из множества

, которое максимизирует вероятность разрушения

скрытой в нем информации.

3.3. Скрытая пропускная способность противника при активном

противодействии нарушителя

3.3.1. Основная теорема информационного скрытия при активном

противодействии нарушителя

Исследуем скрытую ПС при активном противодействии нарушителя,

стремящегося разрушить скрытно передаваемую информацию. Информаци-

онно-скрывающее противоборство между отправителем сообщений и ата-

кующим удобно описать методами теории игр. Цена игры равна величине

скрытой ПС. Для максимизации скрытой ПС (максимизации платежа) скры-

вающий информацию оптимально строит скрывающее преобразование. Для

минимизации скрытой ПС (минимизации платежа) атакующий синтезирует

оптимальное атакующее воздействие. Величина скрытой ПС может быть по-

лучена последовательным соединением скрывающего преобразования и ата-

кующего воздействия. Оценим величину скрытой ПС для стегосистемы с

двоичным алфавитом. Исследуем теоретико-игровые аспекты проблемы

скрытия информации стегосистемами.

Рассмотрим теорему, которая названа в [2] основной теоремой информа-

ционного скрытия при активном противодействии нарушителя. Для любых

произвольно сложных стегосистем и любых атак без памяти эта теорема ог-

раничивает сверху скорость безошибочной передачи для скрывающего ин-

формацию при условии, что атакующий знает описание скрывающего преоб-

разования, а декодер знает описание и скрывающего преобразования и ата-

кующего воздействия. Данное условие на самом деле не является трудновы-

полнимым, как это кажется на первый взгляд. Даже если стратегии действий

скрывающего информацию и атакующего неизвестны, но стационарны, то

можно утверждать, что и атакующий и декодер потенциально способны оп-

ределить их, обработав достаточно большой объем статистического материа-

ла. Это допущение вполне реалистично, хотя и не всегда может быть достиг-

нуто на практике из-за высокой вычислительной сложности.

Предварительно рассмотрим два утверждения, устанавливающие области

существования стегосистем, потенциально способных безошибочно переда-

вать скрываемую информацию при заданном атакующем воздействии.

Утверждение 3.1: Зафиксируем атакующее воздействия и выбе-

рем скрывающее преобразование , которое максимизирует коли-

чество информации вида

)/( xyQ

/,(

kxuxQ

(3.8)

;()/;(),

( KXUIKYUIQQJ −=

над

. Для любого сколь угодно малого значения ε > 0 и достаточно боль-

шого значения N существует стегосистема с длиной блока N, обеспечиваю-

щая вероятность разрушения скрываемых сообщений

для множества

скрываемых сообщений мощностью

])/

;()/;([

−−

KXUIKYUIN

Утверждение 3.2: Пусть стегосистема с длиной блока N способна без-

ошибочно передавать скрываемые сообщения cо скоростью

Mlog

R =

при атакующем воздействии Q(y/x). Если для любого ε > 0 стегосистема

обеспечивает вероятность

при , то существует конечный ал-

фавит и такое скрывающее преобразование , что выпол-

няется .

∞→N

/,,(

∈kxuxQ

;()/;( KXUIKYUIR −≤

Эти утверждения очень напоминают известные теоремы теории передачи

сообщений в каналах связи с помехами [1].

Теорема 3.3: Пусть атакующий знает описание обобщенного скрывающе-

го преобразования

, а декодер знает описание обобщенного скрывающего

преобразования

и обобщенного атакующего воздействия

. Для любого