Грибунин В.Г. Цифровая стеганография

Подождите немного. Документ загружается.

информационно-скрывающего противоборства, приводящего к искажениям

не более (D

, D

), скорость передачи R скрываемых сообщений достижима,

если и только если R <

С , величина С определяется как

(minmax

)/(

/,(

QQJC

xyQkxuxQ

ϑϑ

∈∈

, (3.9)

где U есть случайная переменная над произвольным конечным алфавитом

переменные образуют марковскую цепь, и количество

информации определяется выражением (3.8).

YXKXU →→),

( QQJ

Таким образом, теорема 3.3 определяет величину нижней грани скрытой

ПС в условиях, когда все участники информационного противоборства знают

стратегии действий друг друга. Заметим, что в этой теореме определяется

величина скрытой ПС стегоканала, существование которого атакующему

известно. Данная скрытая ПС равна среднему количеству информации на

один элемент контейнера, которое нарушитель не может разрушить, выбирая

любую стратегию противодействия из множества

при искажении контей-

нера не более величины D

Доказательство этой теоремы сводится к следующему: зафиксируем ата-

кующее воздействие

∈

. В утверждении 3.1 доказывается, что все скоро-

сти безошибочной передачи скрываемых сообщений менее

(

max QQJ

∈

достижимы. Утверждение 3.2 включает обратный резуль-

тат, то есть достоверная передача невозможна выше этой скорости. Так как

атакующий знает распределение , он способен выбрать такое распределе-

ние , которое минимизирует скорость передачи.

Следствие 3.4 далее показывает, что в важном специальном случае

(секретным ключом стегосистемы является описание используемого контей-

нера и сам контейнер известен декодеру), нет потери в оптимальности при

ограничении кодера стегосистемы видом, представленным на рис. 3.2.

Следствие 3.4: В случае выбор значения переменной U оптима-

лен, если и только если стего

XK =

может быть записано в форме ,

где отображение

( UXf=X

( ⋅xf обратимо для всех значений . В частности, выбор

оптимален. Скрытая ПС в этом случае определяется в виде

XU =

)

/;(maxmin)

/;(minmax

)

)/()/(

)

XYXIXYXIC

xxp

xyQxyQ

xxp

. (3.10)

Это следует из того, что когда

, выражение (3.8) может быть запи-

сано в виде

)

/,()

,()

/;()

;()

/;( XYXIXYXUIXYUIXXUIXYUI ≤==−

. (3.11)

Представляется вполне логичным, что величина скрытой ПС равна взаим-

ной информации между стего

и искаженным стего при условии, что

отправителю и получателю скрываемой информации известен пустой кон-

тейнер

Для практических систем защиты информации, если секретным ключом

стегосистемы является описание используемого контейнера, возникают две

проблемы. Во-первых, получатель должен знать исходный контейнер, что

ограничивает возможную область применения таких стегосистем. Во-вторых,

отправитель и получатель скрываемых сообщений должны использовать сек-

ретную ключевую информацию очень большого объема, что неудобно на

практике.

3.3.2. Свойства скрытой пропускной способности стегоканала

Скрытая ПС является функцией аргументов и , что удобно выра-

зить в виде . Скрытая ПС удовлетворяет следующим

свойствам:

),(

DDC ),(

DDC

Величина монотонно увеличивается при увеличении иска-

жения кодирования и монотонно уменьшается с ростом искажения .

),(

DDC

Функция выпукла по аргументу . ),(

DDC

Величина ограничена сверху энтропией искаженной стего-

граммы

Y и энтропией контейнера

),(

DDC

Хlog)

()()(minmax),(

≤≤≤≤

∈

ХHХНYHDDC

Это свойство очевидно, так как скрытая пропускная способность не мо-

жет быть больше энтропии искаженного стего . В свою очередь, в силу

возможной потери информации из-за атакующего воздействия величина

не может быть больше энтропии стего

)(YH

, а из-за возможной

потери информации при встраивании скрываемых сообщений равно или

меньше энтропии пустого контейнера. Из теории информации извест-

)( ХН

)

( ХH

но, что энтропия источника контейнеров

меньше или равна логарифму от

мощности его алфавита [18]. Так как наиболее часто используются контейне-

ры в виде существенно избыточных изображений или речевых сигналов, то

для таких контейнеров выполняется неравенство

Хlog)

( <<ХH

, что суще-

ственно уменьшает возможное значение скрытой ПС. Таким образом, в сте-

госистеме чем ближе характеристики дискретных контейнеров к бернуллиев-

скому распределению или непрерывных контейнеров к гауссовскому распре-

делению, тем больше может быть величина скрытой ПС.

Величина для любых значений искажения , так как

означает, что

0),0(

=DC

=D xx

, то есть контейнер полностью совпадает со стего

и никакой скрываемой информации не передается.

Если допустимо достаточно большое искажение , то для любого

значения искажения может быть построена атака нарушителя, в которой

формируется независимо от

. Следовательно, в таком устранены

все следы скрываемого сообщения и скрытая пропускная способность равна

нулю для любых значений искажения кодирования . Таким образом, если

атакующий имеет возможность подавлять канал передачи скрываемых сооб-

щений неограниченно мощной помехой, то он гарантированно разрушит пе-

редаваемые сообщения. К счастью, во многих практических случаях инфор-

мационного скрытия у нарушителя нет такого энергетического потенциала

радиоэлектронного подавления или при его наличии им невозможно восполь-

зоваться.

Сформулируем выводы из теоремы 3.3 и прокомментируем свойства

скрытой ПС.

Теорема 3.3 определяет, что установление теоретической возможности

скрытой безошибочной передачи информации и теоретической возможности

противодействия этому сводится к вычислению величины скрытой ПС при

известных стратегиях сторон и сравнению ее с требуемой скоростью переда-

чи скрываемой информации. Если скрытая ПС меньше требуемой скорости,

то даже теоретически не существует способа передачи скрываемых сообще-

ний без искажений и задача атакующего по подавлению произвольных сте-

госистем гарантированно решается.

Оптимальная атака нарушителя заключается во внесении такого искаже-

ния , при котором величина скрытой ПС меньше требуемой скорости пе-

редачи скрываемых сообщений. Оптимальная стратегия скрывающего ин-

формацию заключается в выборе такого кодирования и такой величины ис-

кажения , при которых с учетом искажения требуемая скорость без-

ошибочной передачи не превышает скрытой ПС. Это означает, что теорети-

чески существует такой способ безошибочной передачи. Однако теоретиче-

ская возможность еще не означает, что скрывающий информацию способен

реализовать ее на практике. Например, разработчик стегосистемы может не

знать оптимальных принципов ее построения (они еще не открыты), из-за

ограниченности в вычислительных ресурсах он не может себе позволить оп-

тимальную обработку или требования к своевременности доставки скрывае-

мых сообщений ограничивают длину N блока кодирования и так далее.

Таким образом, успех скрывающего информацию или атакующего опре-

деляется в конечном счете соотношением между скоростью передачи R и

величинами искажения и контейнера, в котором скрывается информа-

ция. Рассмотренная теорема информационного скрытия при активном проти-

водействии нарушителя очень напоминает фундаментальную теорему К.

Шеннона, в которой определяется, что существует способ безошибочной пе-

редачи сообщений по каналу с помехами, если скорость передачи меньше

пропускной способности канала, и невозможна достоверная передача со ско-

ростью, большей пропускной способности. К. Шеннон также показал, что

существуют зависимости между отношением мощности полезного сигнала к

мощности помех в канале связи и величиной скорости безошибочной переда-

чи сообщений по этому каналу. Аналогично этому, в информационно-

скрывающем противоборстве существуют подобные зависимости между от-

ношением величины искажения кодирования к величине искажения

атакующего воздействия и величиной скорости безошибочной передачи

скрываемых сообщений по стегоканалу.

Однако при внешнем сходстве у задач открытой и скрытой передачи есть

существенные различия. Открытая связь осуществляется в условиях воздей-

ствия случайных помех канала связи, а передача скрываемой информации

должна быть обеспечена при оптимизированном преднамеренном противо-

действии организованного нарушителя.

Рассмотрим связь задачи информационного скрытия с задачей защиты

информации от перехватчика в подслушивающем канале. В 1975 году амери-

канский ученый А.Вайнер предложил метод защиты информации от чтения

нарушителем, заложивший основу теории кодового зашумления [19,20]. От-

правитель дискретных сообщений осуществляет их случайное избыточное

кодирование на передаче и передает преобразованные сообщения получате-

ля по основному каналу связи. Нарушитель наблюдает их в подслушиваю-

щем канале, который является отводом от основного канала. Случайное ко-

дирование на передаче построено таким образом, что если в подслушиваю-

щем канале есть ошибки, то при декодировании они размножаются и надеж-

но искажают защищаемую информацию. Метод кодового зашумления пред-

назначен для систем передачи, в которых основной канал безошибочный.

Например, основной канал образован на основе волоконно-оптической ли-

нии, а нарушитель пытается вести разведку по каналам побочного электро-

магнитного излучения и наводок, в которых в силу их природы имеется

большое число ошибок. Отметим, что нарушитель знает описание системы

кодового зашумления, которая не использует секретной ключевой информа-

ции (способ защиты некриптографический). Подслушивающий канал харак-

теризуется секретной ПС, которая есть максимальная скорость безошибочной

передачи по основному каналу при условии, что неопределенность для пере-

хватчика максимальна (неопределенность защищаемых сообщений равна

энтропии этих сообщений). Однако если подслушивающий канал менее

шумный, чем основной канал, то секретная ПС равна нулю.

В задаче информационного скрытия атакующий способен на большее,

чем обычный перехватчик в подслушивающем канале, так как он после пе-

рехвата защищаемого сообщения преднамеренно искажает основной канал.

Поэтому основной канал передачи не менее шумный, чем подслушивающий

канал. Следовательно, в задаче информационного скрытия с активным нару-

шителем секретная ПС равна нулю.

Выбор переменной U независимо от контейнера X

, как это делается в

системе водяного знака согласно рис. 3.2, является в общем случае не опти-

мальным. Анализ выражения (3.8) показывает, что скорости безошибочной

передачи в этом случае ограничены сверху величиной .

)/;( KYUI

Пусть выполняется условие ≥ . Если атакующему известно опи-

сание контейнера

, то оптимальная атака состоит просто в формировании

искаженного стего в виде

. В этом случае выходной сигнал после

атакующего не содержит никаких следов сообщения и скрытая ПС равна ну-

лю. На практике это означает следующее. Если нарушителю известен ориги-

нал защищаемой от пиратского копирования мультимедийной информации,

то никакие стегосистемы не защитят авторские и имущественные права про-

изводителей мультимедийной продукции.

Рассмотрим потенциально сильную атаку, в которой атакующий стремит-

ся сконструировать достаточно близкую к оригиналу оценку контейнера

Если атакующий способен синтезировать искаженное стего такое, что

/( XYH

, то платеж ограничен сверху величиной

−−=− ),/

;()/,

;([)/

;()/;( KYXUIKYXUIKXUIKYUI

≤≤≤−− ),

/(),

/;()],

/;()/,

;( KXYHKXYUIKXYUIKYXUI

<≤ XYH

(3.12)

для всех U. Следовательно, величина скрытой ПС стегоканала

),(

DDС

Таким образом, если нарушитель способен сформировать достаточно точ-

ную оценку контейнера (иными словами, выполняется неравенство

/( XYH

, где величина

достаточно мала), то величина скрытой ПС

ограничена этой малой величиной. А на практике это означает, что распола-

гая подписанным водяным знаком стего, нарушитель может попытаться вос-

произвести из него с некоторой допустимой погрешностью пустой контей-

нер, из которого удалено скрываемое сообщение. Такие примеры известны

еще с доэлектронных времен стеганографии. Например, если перерисовать

картину, заверенную художником малозаметными для визуального воспри-

ятия авторскими знаками, то хорошая копия может быть практически неот-

личима от оригинала (по крайней мере, для обычных зрителей), а авторские

знаки, скорее всего, будут разрушены.

3.4. Двоичная стегосистема передачи скрываемых сообщений

Определим величину скрытой ПС стегосистемы, в которой алфавит скры-

ваемых сообщений, контейнеров, ключей и стего является двоичным алфави-

том . Пусть контейнер

{}

1,0=Õ Х

формируется источником Бернулли, то

есть символы последовательности контейнера являются независимыми друг

от друга и равновероятными. Функция искажения описывается расстоянием

Хэмминга:

0),(

yxd

, если y

и в ином случае. Описание кон-

тейнера является секретным ключом стегосистемы (

1),( =yxd

) и известно деко-

деру. Пусть двоичная последовательность

формируется независимо и рав-

новероятно. Стегограммы формируются в виде

ZХX ⊕=

, где операция

есть суммирование по модулю 2. Переменная Z имеет бернуллиевское рас-

пределение и отображает скрываемое сообщение

⊕

с искажением . Ис-

кажение означает, что каждый символ двоичной последовательности Z

отличается от соответствующего символа двоичной последовательности

вероятностью . Преобразование сообщения

в последовательность Z

выполняется скрывающим информацию с использованием кодера с искаже-

нием . Нарушитель обрабатывает стего наложением на него двоичной шу-

мовой последовательности , в которой единичный символ порождается с

вероятностью . Получатель суммирует искаженное стего с двоичной

последовательностью

D Y

по модулю 2, и из полученной таким образом дво-

ичной последовательности

декодирует принятое скрываемое сообщение

. Особенностью этой стегосистемы является то, что в ней скрываемое со-

общение при встраивании искажается с вероятностью искажения и это

искажение равно искажению кодирования стего. Такая стегосистема показана

на рис. 3.3.

⊕

Декодер

Кодер с

погрешностью

Отправитель

Атакующи

Получатель

Рис.3.3. Структурная схема двоичной стегосистемы

Утверждение 3.5: Для двоичной стегосистемы при величинах искажений

<DD

скрытая ПС определяется в виде

)()*(

221

DНDDНС −= , (3.13)

где, по определению,

)1log()1(log)( tttttÍ −−−−= , и

)1()1(*

122121

DDDDDD −+−=

Оптимальная атака нарушителя определяется в виде

WXY

⊕

, где

есть случайная двоичная последовательность, распределенная по бернулли-

евскому закону с вероятностью появления единичного символа . Для

≥D

скрытая ПС равна )(1

DНC −= . Для

≥D

скрытая ПС равна

)(1

DНC −= .

Опишем распределения переменных стегосистемы, при которых достига-

ется такая величина скрытой пропускной способности. Для данной стегоси-

стемы переменную можно формировать как

U XU

или ZU

, причем

оба варианта выбора могут быть оптимальны, так как в качестве операции

встраивания используется операция суммирования по модулю 2.

Для

≥D

скрытая ПС равна )(1

DНC −= . Заметим, что на

первый взгляд удивительно, что при

скрытая ПС не равна нулю не-

зависимо от значения . Это объясняется тем, что при преобразовании

скрываемого сообщения

в последовательность

искажение не является

равновероятным: скрывающий информацию может выбрать такое распреде-

ление ошибок , при котором минимизируется изменение сообщения

Для

скрытая ПС равна нулю при любых значениях . Нетрудно

заметить, что при

выход канала связи не зависит от его входа Y

что означает обрыв канала связи. И если при обрыве канала связи не переда-

ется никакой информации по открытому каналу связи, то тем более не пере-

дается по скрытому каналу, образованному на основе открытого канала.

Применим следствие 3.4 для анализа двоичной стегосистемы. Мы должны

проверить, что распределения для

XХZ ⊕=

и YXW

⊕

имеют седловую

точку платежа

)

/;( ХYXI

. Сначала зафиксируем . Полагая

)/( xyQ

≤DD

, получим

=−=−= )/()

/()

,/()

/()

/;(

)()(

XYHXYHXXYHXYHXYXI

−⊕≤−⊕=−−= )()()

/()()

(

)(

WZHDHXWZHWHXXYH

),()*()(

221

)(

DHDDHDH

−≤−

где равенство (а) справедливо в соответствии с определением условной вза-

имной информации, (b) выполняется благодаря тому, что

YXX →→

есть

марковская цепь, неравенство (с) справедливо, так как условие уменьшает

энтропию. Равенство достигается в (с) если и только если

⊕

, следова-

тельно,

независима от X

. Неравенство (d) справедливо, так как Z и W не-

зависимы в силу того, что формируют марковскую цепь и

. Равенство достигается, если переменная Z имеет бернуллиев-

ское распределение с дисперсией . Распределение

WXZ →→

[]

1 DZP

≤=

D )

/( xxp удовлетворяет

обоим неравенствам с равенством и поэтому максимизирует значение

/;( XYXI

Второй шаг заключается в фиксации

)

/( xxp и минимизации

)

/;( XYXI

над . При определенном ранее распределении

)/( xyQ

)

/( xxp ,

неза-

висимы. Так как формирует марковскую цепь,

WXZ →→

и также

независимы.

Мы имеем

)(

)

,/()()

;

()

/;(

ХWZZHZHХХYХXIХYXI ≥⊕−=⊕⊕=

)()*();()/()(

221

)()(

DHDDHWZZIWZZHH

−≥⊕=⊕−≥

где неравенство (а) справедливо, так как условие уменьшает энтропию, и не-

равенство (b) справедливо потому, что

и W независимы и

[

]

1 DWP

≤= ,

которое становится равенством, если – переменная с бернуллиевским рас-

пределением с вероятностью единичного символа .

Рассмотренная двоичная стегосистема похожа на систему шифрования

однократной подстановки (шифр гаммирования с бесконечной равновероят-

ной независимой шифрующей гаммой). При независимой и равновероятной

последовательности

выполняется равенство

)/()( ХZHZH

, что означа-

ет, что эта система удовлетворяет требованию к совершенным криптосисте-

мам [1], следовательно, перехват и анализ криптограммы Х не дает атакую-

щему никакой информации о защищаемом сообщении Z. Однако эта двоич-

ная система удовлетворяет также требованию к совершенным стеганографи-

ческим системам: распределения

)

(хp и идентичны, поэтому для на-

рушителя невозможно определить, принадлежат ли перехваченные данные к

распределению

)( xp

)

(

xp пустых контейнеров или к распределению ) сте-

го со встроенным сообщением [17]. Подробно совершенные стегосистемы

будут описаны в следующем разделе. Однако заметим, что в рассматривае-

мой стегосистеме предполагается, что контейнеры и, соответственно, стего-

граммы описываются бернуллиевским распределением, что обычно не харак-

терно для реальных систем скрытия информации.

(

Рассмотрим пример двоичной стегосистемы с выбором

. Пусть тре-

буется скрытно передать сообщение M, которое является цифровым пред-

ставлением речевого сигнала. Первые несколько отсчетов речевого сигнала в

моменты времени дискретизации t

, t

принимают десятичные значения

= 0, M

= 17, M

= 35, M

= 67 (рис. 3.4а). В общем виде скрываемое сооб-

щение может быть представлено в виде M = (M

, M

. .). В двоичной

форме скрываемое сообщение запишем как

= 0000 0000, M

= 0001 0001, M

= 0010 0011, M

= 0100 0011,

. . .

В данной записи младшие двоичные разряды расположены справа. Пре-

образуем двоичную последовательность M в двоичную последовательность

с погрешностью . В двоичной стегосистеме погрешность кодирования

вычисляется по метрике Хэмминга. Пусть искажение = 1/8. Следова-

тельно, для формирования последовательности

= ( , , , ,…) скры-

вающий информацию искажает восьмую часть битов последовательности M.

Для уменьшения погрешности скрываемого сообщения ему целесообразно

искажать только младшие биты двоичной последовательности M. Поэтому

скрывающий информацию выберет последовательность

, например, такого

вида:

= 0000 0001,

= 0001 0010,

= 0010 0011,

= 0100 0010,…

M Z

= 0

= 17

= 35

= 67

= 1

= 18

= 35

= 66

= 5

= 18

= 33

= 66

б) в) a)

t t t t

Рис. 3.4. Пример двоичной стегосистемы с искажениями D

= 1/8 и D

= 1/16

В десятичном виде последовательность

показана на рис. 3.4б. C помо-

щью генератора случайных чисел сформируем секретный ключ K = (K

, K

,…).

= 1001 0101, K

= 0010 1110, K

= 1101 1001, K

= 0110 1001,…

Сформируем стегограмму по правилу ZКX

⊕

= , где

= ( , ,

. .) .

Х = 1001 0100, = 0011 1100, = 1111 1010, = 0010 1011,

. . .