Грушинский Н.П. Основы гравиметрии

Подождите немного. Документ загружается.

&L — 9 — _ o l

d H ~ R3 = R '

где у — нормальное значение силы тяжести. Интегрируя

это выражение по Я от 0 до Я, получаем значение прира

щения нормальной силы тяжести при изменении высоты в

этих пределах:

Тн — То = —2 ~ J dH = —2 ^ Я . (4.4)

В качестве R и у здесь надо взять их значения для шара,

равновеликого земному эллипсоиду. Радиус такого шара

получим из условия равенства объемов шара и эллипсоида

или площадей их меридианных сечений. Поскольку мы

рассматриваем Землю как эллипсоид вращения, переход

к меридиональным сечениям не вызывает сомнений. При

равняем площадь сферы площади эллипсоида nR2—naeb,

тогда

R = V aeb = V а\(\ — а) = ае V \ — а,

и для референц-системы 1967 г.:

ае — 6 378 160 м,

= 978 031,85 мГал,

а = 1/298,247 = 0,003353,

9 = 0,0034678,

Р = 0,0053024.

Среднее значениеу получим из уравнения 7 = у е(1 + р sin2 cp);

поскольку это эллиптический закон изменения, то для

равновеликого шара

Yep

= VУрУе = Уе У ^ + Р — 980 621,3 мГал.

Вводя эти числовые величины, найдем приближенный коэф

фициент формулы приведения в свободном воздухе:

2?сР

р =0,308;

^ср

если при этом приращения высоты брать в метрах, то при

ращение силы тяжести получим в миллигалах.

Более точно вертикальный градиент нормального гра

витационного поля для эллипсоидальной Земли можно

вычислить, исходя из уравнения Пуассона:

= 2сй2 — 4яСа,

Имея в виду, что

d2W ду d2W _ v d2№»_ Y

dz2 “ дг ’ a*2 — Я* ’ ду2 — Я j, ’

получаем

= 2со2 + у ( J - + - 4itG cr.

Мы рассматриваем нормальное гравитационное поле вне

эллипсоида, где а = 0 . Поместив оси координат в плоскости

главных нормальных сечений — меридиана и первого вер

тикала, находим

g = 2cfl2 + y (ж + ж )-

Введем значения М и JV из (3.14) и (3.15). Тогда получим

ду

дг

или, производя перемножение и удерживая члены порядка

сжатия:

g = 2to2 + -J (2 + е 2 —2e2sin2B).

Подставив сюда выражение угловой скорости через радиус

и значения q и уе, т. е. величину со2 = ^р, а для у вос

пользовавшись формулой Клеро у= 7е(1+ Р sin2 В), по

лучим

ay = M i + У* О + _ Д) (2 + в2 - 2г2 sin2 В),

дг а 1 а 41 1

или, вынося — за скобку и сохраняя члены порядка

сжатия,

d£ ~ ?*[2 + e* + 2q + 2 ф -е* )5т*В].

Представляя эксцентриситет через сжатие, е2« 2 а , и под-

я 5

ставляя значение р — -^q — a, имеем:

д-1~?йл

дг ~ а

1 + а + q + ( у Я — За) sin2 в ] .

Подставив в (4.5) значения геометрических и гравиметри

ческих параметров референц-системы 1967 г., получим

или, интегрируя от 0 до Я по z, найдем приращение у при

приращении высоты:

Поправку силы тяжести в свободном воздухе можно

рассматривать как разность притяжения шаром точки,

расположенной на его поверхности и на высоте Я над

ним. Примем Землю за шар радиуса R. Притяжение такой

модели Земли на точку, расположенную на ее поверхности,

будет

Притяжение той же модели на точку, расположенную на

высоте Я, равно

Очевидно, что изменение нормальной силы тяжести при

переходе от точки, находящейся на высоте Я, к точке на

поверхности Земли с точностью до квадрата отношения

имеет вид

Редукция в свободном воздухе, как это видно из вывода,

учитывает изменение нормальной силы тяжести с высотой.

Приближенно ее можно применить и к реальному грави

тационному полю. Изменение силы тяжести с высотой, в

соответствии с (4.6), составляет приблизительно 1 мГал

на 3 м изменения высоты. Отсюда вытекают требования к

sin2 В = ^ (1 — cos 25),

получим окончательно

g = 0,3086 (1 + 0,00071 cos 2 В),

Тя — То = _ 0,3086(1 +0,0071 cos2В) Н. (4.6)

^ М

у ° { R + H f

bg = V — y0^ — G

= GM

R * (tf + //)2J Я2 R ~ ~

______

1 1 0 G M II

точности определения высот при гравиметрической съемке.

11ри современных гравиметрических измерениях на суше

получают обычно точность порядка ± (0,014-0,1) мГал.

Для того чтобы ошибки измерения высоты не превосходили

ошибок гравиметрических определений, требуется опреде

лять высоты с точностью ± 0,03ч -± 0,3 м соответственно.

Такое определение высот является весьма трудоемкой, а в

некоторых условиях и сложной задачей, особенно при ор

ганизации массовых гравиметрических определений.

Введение редукции в свободном воздухе, бесспорно,

необходимо при вычислении любых аномалий силы тяжести.

При помощи этой редукции осуществляется приведение

нормального значения силы тяжести, определенного на

эллипсоиде, к физической поверхности Земли, и тем самым

отнесение аномалий к этой же поверхности, или, в случае

классического подхода, наблюдения силы тяжести отно

сятся к общей, единой для всех наблюдений поверхности.

В случае рассмотрения фигуры и гравитационного

поля реальной (нерегуляризированной) Земли аномалия

в свободном воздухе образуется как разность между фак

тически наблюденным на физической поверхности Земли

значением силы тяжести g и редуцированным в нормальном

силовом поле на высоту Я нормальным значением силы

тяжести у:

Age,.B = g - ( r o - 2 ? # ) • (4-7)

Аномалия силы тяжести в свободном воздухе для регу-

ляризированной Земли есть разность между значением g0

ускорения силы тяжести, редуцированным в свободном

воздухе к уровню геоида, т. е. на глубину Я, и нормальным

значением у0 силы тяжести на эллипсоиде относимости:

Д& ... = ( г + ^ г я ) - Т о . (4-7')

гДе ёсР — среднее значение g по высоте Я. Редуцирование

при этом должно производиться в реальном силовом поле

Земли, однако, поскольку оно неизвестно, редукция фак

тически осуществляется в нормальном поле. Практически,

если не учитывать тонкие эффекты, формулы (4.7) и (4.7')

дают одинаковую величину аномалий.

При введении поправки в свободном воздухе мы не

принимаем во внимание влияние масс, расположенных

между точкой наблюдения и точкой приведения, т. е. эти

массы сохраняются,

§ 4. Притяжение плоского диска

Вывод многих излагаемых в дальнейшем методов ре

дукции основывается на расчете притяжения плоского

диска. Рассмотрим эту задачу.

Пусть дан слой в виде плоского диска (рис. 20). Потен

циал, развиваемый элементом этого диска в точке А, рас

положенной на оси Oz, в цилин

дрической системе координат будет

„ dm

v — — G г,-

____

\Г(1 + г)*+г*

где ОА=1 — высота точки А над

диском, Я — толщина”диска, а —

радиус диска.

Притяжение элементом диска

точки А получим, продифференци

ровав это выражение по г,

G (I + г) dm

6g:

Рис. 20. Притяжение пло

ского диска.

дг [(/+*)2+Л2]“

(4.8)

Чтобы определить притяжение точ

ки А всем диском, нужно проин

тегрировать (4.8) по всей массе диска. Считая плотность ст

диска однородной, представим элемент массы dm в виде

dm = ord<pdrdz. (4.9)

Выполняя интегрирование по ф от 0 до 2л, получим

2 n G a { \ (l+z)rdr% .

J J [(/+ г )2+ /-2] /l

8g-- (4.10)

Осуществляем интегрирование сначала по г от 0 до а,

а затем по г от 0 до Я. Получаем

бо- = — 2noG Г Г ■ 1 — —1° (I + z)dz =

ё J |_^(/+г)* + г* J /

= — 2noG С ( - /+ г

J V / ( / + г)* + а’

(4.11)

= 2noG [— У(I "Н z)2 z\0 ,

или, вводя подстановку пределов,

bg = 2noG{— V{1 + Я)2 + а2 + V Р + а?+ Н). (4.12)

Это общая формула для притяжения плоского диска.

Если протяженность диска велика по сравнению с

высотой I и толщиной слоя Я,

Н<^а, 1<^.а,

о первое и второе слагаемые можно представить в следу

ющем виде:

I/(Н + 1)* + а* = а У l+ < " + 2 ! « fl( l + 4 (- ^

1Л* + а2= а | / 1 + £ « а ( 1 + 4 £ ) .

Теперь для Ag получим

А о п Г « (//+/)2 | . а Р . гг”

Ag^2nGa + + я

_ [ Н у HI

С точностью до малых ( — 1 и можно написать

Agtt -f- 2nGoH, (4.13)

Это выражение не зависит от / — высоты точки над слоем —

и является только функцией толщины слоя Я. Оно точное

для бесконечного слоя.

§ 5. Поправка за рельеф местности

Введение поправки за рельеф местности дает возмож

ность учесть влияние притяжения всех форм видимого

рельефа и привести значение силы тяжести в данной точке

к такому, которое она имела бы, f

если бы под точкой располагал- к ~^^гШгтПТГГГТ'

ся ровный слой] масс без высту-

-------

пов и впадин. Влияние рельефа A ''w7777^ с

всегда уменьшает значение силы 9

тяжести, независимо оттого, на- Рис. 21. Поправка за рельеф,

ходится ли вблизи исследуемой

точки возвышенность или'впадина.Наличие избыточных масс

CDE (рис. 21), расположенных выше точки наблюдения,

вызовет добавочную силу, направленную к этим массам.

Вертикальная составляющая СК этой силы уменьшит

значение g. Недостаток масс в области ABC также умень

шит величину g по сравнению с тем значением, которое

должна была бы иметь эта величина в случае равномерного

заполнения массами всей области, расположенной ниже

точки'наблюдения,

с'

Рис. 22. Притяжение ци

линдрической призмой.

Поправка за рельеф должна вводиться для таких не

ровностей местности вокруг точки, которые оказывают ощу

тимое влияние на величину измеряемой силы тяжести.

Такой случай имеет место в горах. Введение в измеренное

значение силы тяжести поправки

за рельеф местности желательно

при любых редукциях.

Для учета влияния окружаю

щего рельефа обычно применяется

метод представления всей окру

жающей местности в виде криво

линейных призм, влияние каждой

из которых рассчитывается по ана

литической формуле в предполо

жении, что толщина призмы по

стоянна. Общее влияние рельефа

получается как сумма всех вли

яний отдельных призм.

Рассмотрим притяжение выре

занной из кругового цилиндра

призмы abcda'b’c'd’ (рис. 22) на

точку А . Высоту призмы обозначим Я, радиусы внутрен

него и внешнего цилиндров — соответственно и а2.

Притяжение кругового цилиндра дает формула (4.11).

Для того чтобы из притяжения цилиндра выделить

притяжение кольца, имеющего внешний радиус а2 и внут

ренний аь нужно вычислить притяжение двух цилиндров:

притяжение цилиндра с радиусом а2 и притяжение цилиндра

с радиусом аи затем из первого значения вычесть второе.

Проделав эту операцию для притяжения кольца, получим:

Ag = 2nGo[— V(H \- l)2 + al + У р+ Щ +

+ К (Я + 0?+ ^ - + (4.14)

Если точка лежит на призме, то 1=0 и

A g = 2nGo[]/r Я2 + а1 — V Н2 + а\ + а2 — a j. (4.15)

Если мы хотим из притяжения кольца выделить при

тяжение призмы, составляющей часть всего кольца,

то следует величину Дg, полученную в (4.14) или (4.15),

разделить на п:

A g:

2noG

V (H + l)*+al+Vl*+al+

+ V {H + l)*-a\—V l2-\-a\\. (4.16)

Чтобы вычислить поправку за рельеф в данной точке, всю

местность вокруг этой точки разбивают на криволинейные

призмы системой радиусов и концентрических окружно

стей. Для каждой призмы, образованной парой соседних

окружностей и радиусов, вычисляется притяжение по

формуле (4.16), и значения притяжений всех призм скла

дываются. Обычно расчеты произво

дятся с помощью палеток, которые

накладываются на гипсометрическую

карту так, чтобы центр палетки сов

падал с исследуемой точкой. Для

каждой криволинейной трапеции сни

мается с карты высота местности, т. е.

высота призмы Н и высота точки

над призмой I, затем вычисляется

выражение в скобке (4.16) и умноже

нием ее на соответствующий коэффи

циент получается поправка за притя

жение данной призмы.

Влияние рельефа убывает пропорционально квадрату

расстояния. Поэтому влияние даже не очень удаленных

незначительных неровностей рельефа оказывается мало

ощутимым. Практически поправки за рельеф вводятся

только при работе в сильно всхолмленной и горной мест

ности.

Другой способ учета влияния окружающего рельефа

основан на применении формулы

Рис. 23. Поправка за

наклонный слой.

Ag = Goa \ (1—cos i) da,

(4.17)

дающей вертикальную составляющую притяжения масс,

заключенных между горизонтальной плоскостью MBN

и наклонной плоскостью MAN и ограниченной цилиндри

ческой поверхностью радиуса а (рис. 23). Использование

метода наклонной плоскости выгодно в случае ровной, но

наклоненной в каком-либо направлении местности, в слу

чае двустороннего ската, седловин и некоторых иных

характерных форм рельефа.

Применяется также способ введения поправок за рельеф

по характерным точкам. Он состоит в том, что на местности

(по карте) выбирают точки, в которых имеют место харак

терные изменения форм рельефа. Поправки за рельеф

между двумя соседними характерными точками интерпо

лируют по тому или иному простому закону, например,

линейному или гиперболическому. Последний способ пред

ложен В. М. Березкиным, составившим соответствующие

таблицы и номограммы.

Сейчас обработка всей первичной полевой информации

производится с помощью ЭВМ, в память которых вводятся

наблюденные значения с гравиметром, время наблюдений,

координаты пункта, высоты рельефа, плотность пород и

т. д. Поправки за рельеф местности вычисляются по про

граммам, составленным для одного из упомянутых или

каких-либо иных методов. Программы предусматривают

также вычисления аномалий соответственно далее приве

денным формулам.

§ 6 . Поправка за промежуточный слой и аномалия Буге

Наряду с аномалиями в свободном воздухе наиболее

часто учитываются аномалии Буге. Идея их введения со

стояла в том, чтобы представить гравитационное поле регу-

ляризированной Земли. При образовании аномалий Буге

регуляризация достигается тем, что из гравитационного

поля Земли исключается влияние внешних, выступающих

за уровенную поверхность геоида масс. Это исключение

осуществляется введением поправки Буге за притяжение

плоского слоя, расположенного между точкой наблюдения

и поверхностью приведения.

Притяжение плоского слоя дается формулой (4.12).

Преобразуем эту формулу, имея в виду, что рассматри

ваемая точка лежит на верхней грани протяженного пло

ского слоя, которым мы аппроксимируем промежуточные

массы. Тогда 1=0, а — радиус слоя, причем сф>Н (Я —

высота точки над уровнем моря). В этом случае формула

(4.12) примет вид

6grB = 2яС0 (a—j / S i + o 5 + Я ). (4.18)

Используя разложение в ряд при условии малости отно

шения l/а и пренебрегая членами, содержащими степени

этого отношения выше первой, находим:

б£Б= + 2 я С а Я (1 — g :) . (4.19)

Изменив знак на обратный, получим формулу для вычис

ления поправки Буге. Подставляя сюда численные значения

я и G =6,67-10~8, получим поправку за притяжение про

межуточного слоя в виде

8gB = -41,9-10-«atf(l— ,

или, выражая 6gB в миллигалах,

8£Б = -0,0419стЯ(1— . (4.20)

Обычно вторым членом этого выражения пренебрегают,

и тогда ***!

8gB = — 0,0419 аН. (4.21)

Аномалия Буге образуется как разность приведенного

к уровню моря значения силы тяжести с поправкой за

влияние промежуточного слоя и нормального значения у0:

или с числовыми коэффициентами (при отброшенном члене

порядка Н/2а)

Поправку за промежуточный слой можно представить

в виде функции отношения плотностей промежуточного

слоя и средней плотности Земли. Для этого выразим 2nG

через массу Земли и среднюю силу тяжести. Приняв Землю

за шар, напишем

GM 4

у = —г , но М = -г-па3ат, где ат — средняя плотность

d <5

Земли, и тогда

Внеся это значение в (4.22), получим выражение для ано

малии Буге в следующем виде:

Введение поправки Буге приводит к построению модели

регуляризированной Земли путем устранения внешних

масс. При этом удовлетворяется первое требование тео

ремы Стокса, чтобы все массы охватывались уровенной

поверхностью, однако не выполняется второе условие —

неизменность общей массы: масса нашей модели умень

шена снятием промежуточного слоя. Кроме того, при этом

происходит значительная деформация уровенной поверх

ности. В силу этих обстоятельств аномалии Буге неприме

нимы в теории фигуры Земли.

Поправка Буге представляется тем более ненужной,

когда редуцирование производится на физическую поверх

ность Земли. В этом случае из-под точки, в которой обра-

Л£Б = £ + ^Я-2яОаЯ ( ] - - £ ) - То, (4'22>

AgB = g + 0.3086Я - 0,0419аЯ - у0. (4.23)

(4.25)