Хаимов 3.С. Основы высшей геодезии

Подождите немного. Документ загружается.

Теорема синусов сферического треугольника

Синусы сторон пропорциональны синусам противолежащих углов

sin a sin 6 sine ....

------------

--------------

-------------

(5)

sin A sin В sin С

Эта теорема чаще формулируется так: произведение синуса стороны на

синус прилежащего угла равно произведению синусов противоположных им

элементов

sin a sin В - sin A sin b, sina sin С = sin A sin с,

sin b sin С = sin В sin С. (6)

Формулы пяти элементов

1. Д л я связи между тремя сторонами и двумя углами

сферического треугольника. Произведение синуса стороны на

косинус прилежащего угла равняется произведению косинуса противолежа

щей этому углу стороны на синус третьей стороны без произведения синуса

противолежащей стороны на косинус третьей и на косинус угла между

ними:

sin a cos В — cos 6 sin с-— sin 6 cos с cos А,

sin a cos С ---= cos с sin b — sine cos b cos A. (7)

2. Д л я связи между тремя углами и двумя сторонами

сферического треугольника. Произведение синуса угла на косинус

прилежащей стороны равняется произведению косинуса угла, противолежа

щего этой стороне, на синус третьего угла плюс произведение синуса про

тиволежащего угла на косинус третьего и на косинус стороны между ними:

sin A cos 6 = cos В sin С + sin В cos С cos а,

sin A cos с = cos С sin В -|- sin С cos В cos а. (8)

Формулы четырех элементов

(Формулы котангенсов)

Эти формулы устанавливают связь между четырьмя рядом расположенными

элементами (двумя сторонами и двумя углами), два из которых являются

крайними, а два — внутренними.

Произведение котангенса крайней стороны на синус внутренней, равня

ется произведению косинусов внутренних элементов плюс произведение си

нуса внутреннего угла на котангенс крайнего:

ctg a sin b --- cos 6 cos С sin С ctg А,

ctg a sin с — cos с cos В ~f sin В ctg А. (9)

Решение прямоугольных сферических треугольников

Поскольку в прямоугольном сферическом треугольнике прямой угол всегда

известен, то для решения его достаточно знать какие-либо два из осталь

ных пяти элементов, в том числе и только два угла.

Прямоугольные треугольники удобно решать при помощи мнемониче

ского правила Непера—Модюи.

Если в прямоугольном сферическом треугольнике прямой угол не счи

тать за элемент треугольника, а вместо катетов брать их дополнения до 90°,

то это правило выражается так: косинус каждого из элементов прямоуголь

ного сферического треугольника равен произведению котангенсов смежных

с ним элементов или произведению синусов элементов,

с ним не смежных (рис. 146):

cos а — ctg В ctg С,

cos В -- ctg a ctg (90° — с) — ctg a tg с,

^ cos С — ctg a ctg (90° — b) = ctg a tg 6,

cos (90° — b) — sin b = ctg (90° — с) ctg С = ctg С tg c,

Рис. 146. Прямо- cos (90° — с) = sin с = ctg (90° — b) ctg В = ctg В igb (10)

угольный сфериче

ский треугольник или

cos а = sin (90° — b) sin (90° — с) = cos b cos c,

cos В = sin (90° — b) sin С = cos b sin C,

cos С = sin (90° — c) sin В = cos с sin В,

cos (90° — b) = sin b = sin a sin B,

cos (90° — c) = sin с — sin a sin C. (11)

Аналогии He пера

Аналогии* Непера — это формулы, выражающие тангенсы полусуммы и

полуразности углов сферического треугольника через синусы и косинусы по

лусумм и полуразностей противолежащих им сторон, и, наоборот, тангенсы

полусумм и полуразности сторон — через синусы и косинусы полусумм и

полуразностей противолежащих им углов

/ а — ь \

cos ( -------------

V 2 /

,е (Л + В)= V 2 / с|е_С^

а + Ъ \ 2

cos

( Z f = )

cos

tg ^ ± ^ =

-------

V. . 2 „ { tg — , (12)

sin ,

, A — В \ 2 / , С

---------------

-----------

------

— ■ — ctg

. / a+ b \

■"(“ Н

- m

sin

. a — b V 2 / , с

< 8 - ^ =

-------

. ■ . Ч '2

* Аналогия — в переводе с греческого — пропорция, пропорциональ

ность.

2. Ряды

Ряд Тейлора

f (х) = / (*о + Л) = / (дс0) 4- Л/' (х0) Н

------

—— /" (*д)

——— /"' (*о)

^! о!

___

h^2 COS*0

sina х0 sin3 х0

ctg (*о ± ft) = ctg х„ =F ft — — ----------Ь л* ‘— г ;

------

пЗ г

zp COSa ДСр — 3 cos2 х0

Тригонометрические функции малых углов

Если углы выражены в радианной мере:

sin х — х

-------------

4 - -----------— . . . при I х I < оо,

6 ^ 120

^2 ^4

COS X = 1

-------------

-U

---------

— ■ • ■ при | X | < ОО,

6 ^ 120

X2 X4

2 ^ 24

2*5

Ряд Маклорена

При хо=0 ряд Тейлора обращается в ряд Маклорена

f(*)-/(0) + * / '( 0 ) + - ~ - Г (О) + - ^ - Г ( 0 ) + • ■ . (14)

Ряд Тейлора для тригонометрических функций

А2 ft3

sin (х0 ± A) = sin х0 ± A cos х0 —

--------

sin х0 =F

---------

cos х0 +

2 6

А4

• sm х0 — . . .

1 24

cos (x0 ± A) = cos *0 T A-sin x0 —

--------

cos x0 ±

---------

sinx0 +

2 6

+ - 5

---------

. . . (15)

cos XQ

tg (X0 ± ft) = tg X0 ± ft

----

---

+ ft2

--------- ±

COS2 X0 cos3 x0

ft3 cos2 x0 + 3 sin2 x0

3 cos4 x0

tgx = * 4 . • • при|х|<-^, (16)

6 15 2

, 1 x x3 2x5 | .

ctg a: = ----—

-------

—

---------

—

-----------

. • ■ при 0 < x < я ,

x 3 45 945

*2 5x* | . я

sec x 1 H

------------4 -

----------

4- • • . при \x < — ,

2 T 24 T 2

1 x 7x3

cosec x =

------

4 -

-------

4 -

-----------

4- . • ■ при 0<g| x|< Jt.

x n 6 360

Обратные тригонометрические функции при |х|<1 разлагаются так:

Xs Зх5 5х7

arc sin х — х

л х3 , Зхъ с

arccos* =

----------

---------

-L -----------_L . ■ • , (17)

2 6 т 40 Т

arctgx = х ■

2 \ 3 1 5 /

Если углы выражаются в градусной мере, то вместо х надо взять

V уо уО

sin х =

------

—

-----------

-U

-------------

— . • ■ , (18)

р 6р3 120р5

. х2 х4

cos х — 1

2р2 24р4

и т. д., где р — число секунд (минут, градусов) в радиане.

Бином Ньютона

Ряд сходится при |л:| <1

(1 ± х) п = 1± п х + п ( " - Ц ^ ± _g.fr- J l f r - J L x s +

2! 3!

п{п — 1) (п — 2) (я — 3) , л(п— 1)(га —2) . . . 1

+ —

-------

*4 + • • ■ +

4! п\

Аберрация 151

Абсолютное определение силы тяжести 300

Аддитамент 84, 88

Азимут астрономический 30

— геодезический 29, 133

— Лапласа 133

Азимутальное условное уравнение 333

Альмукантарат 143

Аномалии силы тяжести 23, 299

— Буге 299

— в свободном воздухе 299

— Фая 299

— Прея 299

— высоты 35

Архивный метр 269

Астрономическое нивелирование 42

Астрономические пункты 133

Астрономо-геодезическая сеть 195

Астрономо-гравиметрическое нивелирова

ние 42

Астрономические системы координат 28

Альтиметрия 44

Базисы 268

Базисные сети 268

— приборы 272

— стороны 268

Баллистический метод 301

Балтийская система высот 21

Вековые возмущения силы тяжести 297

Вековые движения земной коры 2

Венинг Мейнеса формулы 40

Визирные цилиндры 212

Визирные приспособления теодолитов 222

Волны геоида 45, 46

Время: атомное 167

— всемирное 164

— декретное 165

— звездное 160

— местное 163

— гринвичское 164

— поясное 165

— солнечное 161

— истинное 161

— среднее 162

— эфемеридное 167

Высота геодезическая 35

— геоида над эллипсоидом 35, 41

— динамическая 39

— нормальная 37

— ортометрическая 37

— светила 146

Гал 19

Географические координаты 29

Геодезические координаты 26, 27

Геоцентрические координаты 25

Геодезическая линия 79

Геодезические знаки 209—212

Геоид 21

Геодинамика 5

Геометрическое нивелирование 248

Геодезическое зенитное расстояние 29

Гетеродинирование 281—282

Главные радиусы кривизны 73

Главные нормальные сечения 73

Главная геодезическая задача 83

Гравитационное поле Земли 5, 15

Гравиметры 301, 306

Гравиметрические опорные пункты 310

Гравиметрическая съемка 312

Гравиметрическая сеть 310

Гравиметрические карты 298, 312

Градусные измерения 50

Движения земной коры 7—9

Движения земной коры горизонтальные 9

-----------

вертикальные 11

— звезд собственные 151

— полюсов 158

Демаркационная линия (линия смены дат)

166

Дирекционный угол 116

Дифференциальные формулы I рода 108

-------

II рода 109

Длина дуги меридиана 76

— параллели 78

Длиниобазисная радиоинтерферометрия

Единица измерения времени — секунда

167

-------

длины — метр 272

Звено триангуляции 64

Земной эллипсоид 14, 66

Зенит астрономический 142

Зенитные расстояния 146

Изостазия 33

Искусственные спутники Земли 42, 43

Исходные геодезические даты 24

Импульсный метод определения расстоя

ний 275, 278

Квазигеоид 22, 37

Клеро теорема 51

Компаратор МИИГАиК 272

Координаты Гаусса — Крюгера 110

— прямоугольные пространственные 26

— полярные 25

— топоцентрические 25, 149

— планетоцентрические 25

Координатные зоны 113

Коррелатный метод уравнивания 327

Космические летательные аппараты 53,

Коэффициент вертикальной рефракции

264

Лежандра теорема 84

Личные ошибки наблюдателя 173, 174, 229

Луна 141

Масштаб изображения 112, 125

Маятник математический 303

— нитяной 303

— оборотный 303

— физический 303

Меридиан 68

Меридиан астрономический 28

— геодезический 27

— граничный 114

— осевой 113, 114

Метры — прототипы 270

Метод дуг 50

— площадей 50

— проектирования 46

— развертывания 46

—■ радиодальномера 282

~ радиолага 282, 286

— фазового зонда 282, 287

— Допплера 190

— астрономо-геодезический определения

фигуры Земли 48

— гравиметрический 51

Методы космической геодезии 53

Модуляторы светового потока 277, 292

Небесные системы координат:

— горизонтальная (горизонтная) 146

— первая экваториальная 146

— вторая экваториальная 147

— истинные 151

— средние 151

— видимые 152

Нивелиры высокоточные 253

Нормальные сечения эллипсоида: 73

— прямое 79

— обратное 79

Нормальная Земля 22

Нормальная сила тяжести 23

Нормальное гравитационное поле 23

Нормальные меры 268

Нутация 150

Ньютон 19, 60

Обратная геодезическая задача 90

Орбитальный метод !88

Ориентирование земного эллипсоида 24

Ось мира 142

Оси теодолита 221

Отвесная линия 19

Относительное определение силы тяжести

301

Отсчетные приспособления теодолитов 225

Параллель 68

Параллактический треугольник 168

Параллакс звезд 152

Параметрический метод уравнивания 342

Первый вертикал 143

Перевычисление координат из зоны в зо

ну 129

Планеты 40

Площадь трапеции 81

— эллипсоида 82

Потенциальная функция 16

Потенциал силы тяжести 19

Прецессия 150

Прямая геодезическая задача 90, 91

Полигонометрия 179, 180, 181

Предварительные вычисления 316

Проекции: равноугольная 111, 112, 113

— равновеликая 111

— произвольная 112

Прямое восхождение светила 147

Радиодальномер Теллурометр 289

Радиогеодезические системы 284

Редукционная задача 46

Редукция горизонтальных направлений 47

— линейных измерений 47

— направлений на плоскость 126

— расстояний на плоскость 126

Референц-системы 1967 и 1980 гг. 63

Референц-эллипсоид 24

рефракция горизонтальная 230

— вертикальная 231

— средняя 157

— истинная 157

Рейки нивелирные 255

Сближение меридианов 95, 98, 116, 123

Светодальномеры 292

Светолокация Луны 55

Сеть геодезическая опорная 178

— государственная геодезическая 191, 194

— гравиметрическая 310

— радиогеодезическая 183

— морская 200

Сжатие земного эллипсоида 19, 49, 52, 67

Сила притяжения 16

Сила тяжести 15

Силовые линии 21

Синхронный метод 184

Система координат 1942 г. 42

Служба движения полюса 159

Способы измерения углов и направлений:

Шрейбера 242

------

. — круговых приемов 240

Составляющие уклонения отвеса 31, 32

Способы определения уклонения отвесных

линий:

— астрономо-геодезический 40

— гравиметрический 40

— астрономо-гравиметрический 40

Склонение светила

Солнечная система

Средний радиус кривизны 75

Сутки 159

— звездные 160

— солнечные истинные 161

— солнечные средние 162

Сфера небесная 134, 142

Сферический избыток 87, 88

Сферический треугольник 84, 349

Сфероидический треугольник 79, 84

Теодолиты 216

Триангуляция 179, 181

Трилатерация 179, 182

Тригонометрическое нивелирование одно

стороннее 265

------

двустороннее 266

Уклонения отвесной линии: 31

— абсолютные 31

— относительные 31

— гравиметрические 31

— топографо-изостатические 34

Уровенные поверхности 20

Уровенный эллипсоид 22

Условные уравнения фигур 327

горизонта 328

-------

полюсные 329

—г — азимутальные 333

-------

исходных сторон 333

-------базисные 332

-------

сумм углов 334

-------

координат 334

Уравнения поправок 326, 344, 345

Уравнение времени 163

Уравнительные вычисления 316, 321

Уровни 220

Условная ордината 114

Установочные приспособления 219

Фазовые методы измерения расстояний

275, 280

Фигура Земли 6, 14

Физическая поверхность Земли 14

Формулы решения главной геодезической

задачи по методам:

вспомогательной точки 95

«средним аргументам» (Гаусса) 99

Бесселя 102

Рунге — Кутта 106

Футшток Кронштадский 21

Фундаментальные параметры Земли 23

Центробежная сила 17, 18

Центры геодезических пунктов 213

Часовые пояса 165

Часовой угол светила 146

Широта астрономическая 28

— геодезическая 26

— геоцентрическая 69

— изометрическая 117

— приведенная 69

Эллипсоид вращения 22, 66

— трехосный 62

— общий земной 22

— референцный (см. референц-эллипсоид)

— Красовского 24, 62

— Бесселя 62

Эксцентриситеты эллипсоида:

первый 67

второй 67

Элементы приведения: 246

-- центрировки 247

— редукции 247

Электрооптический эффект Керра

Эллипсоидальные координаты 27

Эратосфен 58, 59

Ячейка Керра 293

Предисловие..........................................................................................................

.....

: : : 3

В веден и е............................................................................................................

.....

. : . . 5

§ 1. Предмет и задачи высшей геод ези и

......

§ 2. Сведения о современных движениях земной к о р ы ...............................7

РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ. ОСНОВЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ГЕОДЕЗИИ . 14

Глава 1. Гравитационное поле Земли и поверхности относимости. Си

стемы координат . : : .............................................................................................14

§ 3. Основные вопросы, изучаемые в разделе курса «Основы теоретиче

ской гео д ези и»..................................................................................................................14

§ 4. Гравитационное поле З е м л и ......................................................................................15

§ 5. Уровенные поверхности. Геоид и квазигеоид. Земной эллипсоид . . 20

§ 6. Системы координ ат...................................................................................................: 25

§ 7. Уклонения отвесных л и н и й ......................................................................................31

§ 8. Системы в ы с о т ............................................................................................................: 35

Г л а в а 2. Способы определения уклонений отвесных линий и высот

геоида. Редукционная задача в геодезии..................................................................39

§ 9. Способы определения уклонений отвесных линий и высот геоида . 39

§ 10. Редукционная задача в ге о д ези и ....................................................................46

Глава 3. Сведения о методах определения фигуры Земли. Краткий ис

торический о ч ерк ..................................................................................................................: 48

§ 11. О методах определения фигуры З е м л и .......................................................48

§ 12. Краткий исторический очерк о развитии теории фигуры Земли и по

становке основных геодезических р а б о т .......................................................58

РАЗДЕЛ ВТОРОЙ. ЭЛЕМЕНТЫ СФЕРОИДИЧЕСКОИ ГЕОДЕЗИИ 66

Г л а в а 4. Геометрия земного эллипсоида..............................................................66

§ 13. Предмет сфероидической геод ези и ....................................................................66

§ 14. Эллипсоид вращения, его элементы и соотношения между ними .

......

§ 15. Уравнения параллели и меридиана. Широты и долготы точек на по

верхности эл л и псоида

............................................................................................... 68

§ 16. Основные сфероидические функции. Дифференциалы дуг меридиа

нов и параллелей......................................................................................................... 72

§ 17. Главные нормальные сечения эллипсоида вращения и их радиусы

кривизны .......................................................................................................................: 73

§ 18. Длины дуг меридианов и параллелей эллипсоида вращения . . . 76

§ 19. Взаимно-обратные нормальные сечения. Геодезическая линия . . . 78

§ 20. Вычисление площадей и рамок съемочных трапеций

.............................

Глава 5. Решение геодезических задач на поверхности земного эллип

соида .................................................................................................... 83

§ 21. Общие св ед ен ия................................................................................

.....

§ 22. Решение сфероидических треугольников..........................................................84

§ 23. Решение главной геодезической з а д а ч и ...........................'

..........................90

§ 24. Упрощенные формулы решения прямой геодезической задачи по ме

тоду вспомогательной точки (формулы Ш рей бер а)

..............................

§ 25. Решение главной геодезической задачи по формулам со средними

аргументами (по формулам Г а у с с а )

.....................................................

.....

. 99

§ 26. Решение главной геодезической задачи по способу Бесселя . . . 102

§ 27. Решение прямой геодезической задачи по методу Рунге — Кутта —

Ингланда и главной геодезической задачи на ш а р е

.............................

106

§ 28. Переход от одной системы геодезических координат к другой с при

менением дифференциальных формул первого и второго рода . .107

Глава 6. Плоские прямоугольные координаты Гаусса — Крюгера . . .110

§ 29. Общие сведен и я............................................................................................................110

§ 30. Формулы вычисления плоских прямоугольных координат Гаусса —

Крюгера по геодезическим и геодезических по п лоски м

.......................

117

§31. Формулы для Гауссова сближения меридианов

........................................

123

§ 32. Вычисление масштаба изображения и поправки в расстояние при

переносе его с эллипсоида на плоскость (редукция расстояний) .

.....

124

§ 33. Вычисление поправок в направления за кривизну изображения гео

дезической линии на плоскости (редукция направлений)

.......................

126

§ 34. Перевычисление координат Гаусса — Крюгера из одной зоны в дру

гую ................................................................................................... :::::: 128

РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ. СВЕДЕНИЯ ИЗ АСТРО НО М ИИ

.......................

131

Глава 7. Сведения из общей и сферической астрономии

.......................

131

§ 35. Предмет и содержание астрономии

.................................................................131

§ 36. Звездное небо и современное представление о Вселенной . . . .137

§ 37. Небесная сфера, точки и круги на н е й ..................................................... 142

§ 38. Системы небесных сферических координат и их связь с астрономи

ческими .............................................................................................................. : : : 145

§ 39. Об изменении координат светил и факторах, их вызывающих . . 149

§ 40. Измерение врем ени ......................................................................................................159

Глава 8. Элементы геодезической астрономии . .........................................168

§ 41. Общие сведения об определении времени, астрономических коорди

нат и азимутов направлений 168

§ 42. Определение времени и ш ироты ...........................................................................170

§ 43. Определение долготы .................................................................................................. 173

§ 44. Определение азимута земного п р ед м ета......................................................176

РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ. ОСНОВНЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ РА

БОТЫ ......................................., ................................................................: : : : : 178

Глава 9. Плановые опорные геодезические с е т и .............................................178

§ 45. Сведения об основных геодезических работах. Методы создания

плановых геодезических с е т е й ..............................................................................178

§ 46. Геометрические методы космической геод ези и..........................................184

§ 47. Классификация геодезических сетей СССР. Назначение государст

венной геодезической сети и требования, предъявляемые к ней . . 191

§ 48. Схема построения государственной геодезической сети СССР . . 194

Глава 10. Основные процессы и организация работ при создании го

сударственной геодезической с е т и ....................................................................................201

§ 49. Общие полож ения.........................................................................................................201

§ 50. Проектирование и рекогносцировка геодезических сетей .... 204

§ 51. Постройка геодезических з н а к о в ........................................................................209

Глава 11. Высокоточные угломерные приборы и угловые измерения . 215

§ 52. Высокоточные угломерные приборы ................................................................. 215

§ 53. Основные части тео д ол и тов................................................................................219

§ 54. Высокоточные угловые измерения.......................................................................229

§ 55. Основные принципы высокоточных угловых измерений.......................236

§ 56. Способы высокоточных угловых изм ерений..........................................240

§ 57. Определение элементов приведения..................................................................245

Глава 12. Высокоточное (прецизионное) геометрическое и тригономет

рическое нивелирование

................................................................................ : : : : 248

§ 58. Назначение и схема построения государственной нивелирной сети 248

§ 59. Высокоточные нивелиры...........................................................................................253

§ 60. Основные источники ошибок высокоточного геометрического нивели

рования ................................................................................................................... : : 256

§61. Назначение и формулы тригонометрического нивелирования . . . 262

Глава 13. Высокоточные линейные изм ерения.....................................................268

§ 62. Нормальные меры и базисные приборы ..........................................................268

§ 63. Радиоэлектронные методы измерения расстоян и й

...............................

273

Глава 14. Гравиметрические определения

...............................................................296

§ 64. Назначение и роль гравиметрических определений . '.............................296

§ 65. Методы измерения ускорения силы тя ж ести ...............................................300

§ 66. Приборы для измерения ускорения силы тя ж е ст и ..................................303

§ 67. Гравиметрические съемки и к а р т ы ...................................................................309

РАЗДЕЛ ПЯТЫЙ. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ Р А Б О Т Ы

........................

316

Глава 15. Предварительная обработка материалов наблюдений . . . 316

§ 68. Предварительные вы числения...............................................................................316

§ 69. Анализ результатов измерений.............................................................................318

Глава 16. Уравнительные вычисления.......................................................................321

§ 70. Общие сведения об уравнительных вычислениях

........................................

321

§ 71. Коррелатный способ уравнивания. Условные уравнения, возникаю

щие в свободных сетях триангуляции............................................................327

§ 72. Виды условных уравнений, возникающих в несвободных сетях три

ангуляции ......................................................................................................... : : : 331

§ 73. Подсчет числа независимых условных уравнений....................................347

§ 74. Параметрический способ уравнивания

............................................................

372

§ 75. Составление каталогов и технических от ч ет ов

.........................................

3-16

Список литературы ..............................................................................................................: 348

Приложение. Некоторые справочные сведения из математики . . . 349

Предметный у к азател ь...........................................................................................................355