Калин Б.А. Физическое материаловедение. Том 1. Физика твердого тела

Подождите немного. Документ загружается.

121

представления χ(G) состоит из следов матриц классов C

сопряжен-

ных элементов: χ(

E), χ(C

), χ(C

), …, χ(C

). Можно составить k −

мерный вектор χ

(i)

), рассматривая в i − представлении след мат-

рицы

k класса сопряженных элементов.

Для характера представления выполняется теорема ортогональ-

ности

∑

δ=χχ

∗

ijkk

hN)()(

)()(

CC , (1.139)

где суммирование ведется по классам сопряженных элементов,

− число элементов в k классе сопряженных элементов. Следст-

вием теоремы ортогональности для характера представления явля-

ется утверждение, что

n − число неэквивалентных, неприводимых

представлений равно

k − числу классов сопряженных элементов в

группе симметрии:

n = k. (1.140)

В теории групп показано, что число

неравных нулю незави-

симых компонентов тензора, описывающего физическое свойство

кристалла, определяется формулой

∑

χχ

′

kkki

n )()(

CС

, (1.141)

где χ'(

) − характер одномерного неэквивалентного, неприводимо-

го представления, χ(

) − характер матричного представления соот-

ветствующего физического свойства кристалла с группой симмет-

рии

Для физического свойства, заданного симметричным тензором

второго ранга, для поворотной оси

n порядка

χ(

) = 4 cos

φ + 2 cosφ, (1.142)

для зеркально поворотной оси

n порядка

)(

= 4 cos

φ − 2 cosφ. (1.143)

Для физического свойства, заданного несимметричным тензо-

ром второго ранга, для поворотной оси

n порядка

χ(

) = 1 + 4 cos

φ + 4 cosφ. (1.144)

В качестве примера определим число неравных нулю независи-

мых компонентов, описывающих физическое свойство, заданное

симметричным тензором второго ранга кристалла ромбической

сингонии

mmm (D

)

Элементы симметрии группы: E C

i σ

Классы сопряженных элементов: C

χ'(C

): 1 1 1 1

χ(C

): 6 2 6 2

Теперь в соответствии с (1.141)

(6·1·1 + 2·1·3 + 6·1·1 + 2·1·3) = 3.

Таким образом, тензор, описывающий физическое свойство, за-

данное симметричным тензором второго ранга кристалла ромбиче-

ской сингонии

mmm (D

), например, электропроводность моно-

кристалла α-U, имеет 3 независимых компонента.

1.6. Кристаллография пластической деформации

Под действием механического напряжения кристаллы деформи-

руются. При малых напряжениях кристалл деформируется упруго,

а после разгрузки его начальная форма полностью восстанавлива-

ется. В области упругости связь между деформацией и напряжени-

ем подчиняется закону Гука.

Предел упругости связан с предель-

ным напряжением, до которого выполняется закон Гука. Практиче-

ски предел упругости неотличим от напряжений, при котором по-

является остаточная деформация, т.е. так называемого

предела те-

кучести.

Если нагрузить кристалл больше предела текучести, а за-

тем разгрузить, то его прежняя форма не восстанавливается, кри-

сталл остается пластически деформированным.

1.6.1. Геометрия пластической деформации

в монокристаллах

Пластическая деформация монокристалла может происходить

путем скольжения или путем двойникования.

Основным способом пластической деформации кристаллов при

нормальных и низких температурах является

скольжение. Оно пред-

ставляет собой перемещение одной части кристалла относительно

другой без изменения объема кристалла. Обычно скольжение осу-

ществляется по определенным кристаллографическим плоскостям

122

123

вдоль определенных кристаллографических направлений в зависи-

мости от структуры кристалла. Смещение частей кристалла при

скольжении происходит на величину, кратную вектору трансляции

кристаллической решетки в направлении скольжения. Поэтому

скольжение часто называют

трансляционным скольжением.

Механическое двойникование − это деформация, в результате

которой две части кристалла оказываются в положениях зеркально-

симметричных или повернутых относительно оси второго порядка.

При пластической деформации скольжением

выполняется закон

критического скалывающего напряжения

(закон Шмида), который

заключается в том, что деформация начинается лишь тогда, когда

внешнее напряжение впервые достигает величины критического

скалывающего напряжения по одной из

систем скольжения.

Рис. 1.75. К закону

критического

Рассмотрим монокристалл в форме ци-

линдра, который растягивается под дейст-

вием нормального напряжения σ вдоль на-

правления

F (рис. 1.75).

На плоскость скольжения

S c нормалью

n действует напряжение σcosχ, а компо-

нента σ

его в направлении скольжения m

равна σ

= σcosχcosλ, где λ − угол между

направлением скольжения и осью растяже-

ния. Скольжение начнется лишь в услови-

ях, когда критическое скалывающее на-

пряжение σ

достигнет значения, равного

пределу текучести. Множитель cosχcosλ

называют

ориентационным множителем

или

фактором Шмида.

Если кристалл находится под действием

тензора напряжения σ, то ориентационный

множитель находят как

= σm, (1.145)

где − матрица-строка, компонентами которой являются направ-

ляющие косинусы нормали к плоскости скольжения, а

m − матрица-

столбец с направляющими косинусами направления скольжения.

скалывающего

напряжения

Тензор пластической деформации. В результате скольжения

происходит сдвиговая деформация. Если точка

P, находящаяся на

расстоянии

r от начала координат O, движется в плоскости сколь-

жения с единичным вектором нормали

h в направлении скольже-

ния с единичным вектором

m, то новое положение точки P − точка

P' будет находиться от точки O на расстоянии r' (рис. 1.76). Тогда

PP' = r' − r = α(r·h)m, (1.146)

где α − величина сдвига (смещение точки

P). Если α мало, то по

аналогии с (1.121), (1.122) можно найти компоненты

тензора пла-

стической дисторсии

и тензора пластической деформации ε

отнесенные к произвольной ортогональной системе координат

() ()

111

xxx

rhrr

∂

=−

′

∂

. (1.147)

Если записать

124

r = x

i + x

j + x

h = h

i + h

j + h

m = m

i + m

j + m

где

i, j, k − единичные векторы,

то

()

∂

111

и аналогично находятся

()

232

mhm

u α=α

∂

= rh

и другие компоненты полярного

тензора 2-го ранга − тензора пластической дисторсии. В итоге

можно записать

Рис. 1.76. К расчету изменения

формы кристалла при скольжении

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

α=

333231

232221

131211

mhmhmh

. (1.148)

Из-за ортогональности

h и m следует, что

125

α(h

+ h

) = . 0

=++ uuu

Это означает сохранение объема при сдвиговой деформации.

Тензор пластической дисторсии можно представить в виде

суммы симметричного тензора ε

, описывающего чистую пласти-

ческую деформацию с пятью степенями свободы, и антисиммет-

ричного тензора ω

, характеризующего поворот кристаллической

решетки после пластической деформации: = ε

+ ω

Скольжение в металлах с ГЦК структурой. Плоскостями и

направлениями скольжения, как правило, служат плоскости и на-

правления плотнейшей упаковки. В металлах с ГЦК структурой

системой скольжения является {111}<110>, т.е. имеется 8 плоско-

стей скольжения с шестью направлениями в каждой плоскости.

Однако из-за центросимметричности скольжения имеется 12 раз-

личных систем скольжения, которые удобно представить на сте-

реографической проекции.

Обычно ось растяжения

F показывают в пределах стандартно-

го стереографического треугольника

[100]−[110]−[111] (рис. 1.77).

Рис. 1.77. Системы скольжения ГЦК кристалла на стандартной

стереографической проекции:

]101)[111( − первичная система скольжения; ]110)[111( − сопряженная или

вторичная система скольжения;

]110)[111( − критическая система

скольжения;

]101)[111( − поперечная система скольжения

Тогда первичной системой скольжения − с максимальным зна-

чением множителя Шмида − будет система

]101)[111(. Благодаря

повороту в процессе растяжения ось

F перемещается к направле-

нию скольжения [101] и переходит в треугольник [100]−[101]−

[111], в котором действует

сопряженная (или вторичная) система

скольжения

]110)[111(, и ось растяжения возвращается в стан-

дартный стереографический треугольник. Точно также при сжатии

ось

F смещается к направлению нормали к плоскости скольжения и

оказывается в треугольнике [100]−[110]−

[

]

111 , где действует кри-

тическая система скольжения

]110)[111( . Систему скольжения

()[

101111

]

называют поперечной системой скольжения.

Скольжение в металлах с ОЦК структурой. Кристаллографи-

ческое скольжение включает плотнейшее направление <111>. В

качестве плоскости скольжения могут быть плоскости {110}, {112}

или {123} в зависимости от металла и температуры деформации.

Как правило, скольжение неполярно, т.е. оно может происхо-

дить как в прямом, так и в обратном направлении. Однако имеются

случаи, когда скольжение в прямом и в обратном направлениях

кристаллографически неэквивалентны.

Полярность скольжения в

этих случаях обусловлена несимметричным характером потенци-

ального рельефа решетки. Критерием для полярного скольжения

является несовпадение плоскости скольжения с плоскостью сим-

метрии кристалла, когда направление скольжения является поляр-

ным вектором в плоскости скольжения. Типичным примером по-

лярного скольжения служат системы скольжения {112}<111> и

{123}<111> в ОЦК металлах.

В металлах с ОЦК структурой возможно

некристаллографиче-

ское скольжение

с направлением <111> и по плоскости с макси-

мальным напряжением сдвига

, когда χ = 90

− λ.

Скольжение в металлах с ГПУ структурой. В металлах с ГПУ

структурой направлением скольжения является чаще всего направ-

ление

0112, а в качестве плоскостей скольжения могут быть

плоскости (0001) −

базисное скольжение,

{

}

0110 − призматическое

126

127

скольжение,

{

}

1110 − пирамидальное I рода,

{

}

2110 − пирамидаль-

ное II рода

{

}

1211 − пирамидальное III рода

{

}

2211 − пирамидаль-

ное IV рода

(рис. 1.78).

Рис. 1.78. Плоскости скольжения

ГПУ кристаллах:

1 − базисного; 2 − призматического;

3 − пирамидального I рода;

4 − пирамидального II рода;

5 − пирамидального III рода;

6 − пирамидального IV рода

В металлах с отношением

c/a > (c/a)

теор

= 1,633 при комнатной

температуре действует базисная система скольжения (Zn, Cd), в

Mg для

c/a ≈ (c/a)

теор

действует тоже базисная система скольжения.

В α-Zr, α-Ti (

c/a = 1,59 < 1,633) − призматическая система скольже-

ния, однако в Be c

c/a = 1,57 < 1,633 опять действует базисная сис-

тема скольжения.

Механическое двойникование кристаллов. Двойникование

играет сравнительно небольшую роль в деформации и проявляется

лишь тогда, когда деформация скольжением затруднена. Двойни-

кованию способствует низкая температура и ударное нагружение,

так как с понижением температуры и увеличением скорости де-

формации критическое напряжение для скольжения растет быст-

рее, чем для двойникования. Среди кристаллов металлов двойни-

кование легче всего идет в гексагональных металлах, несколько

труднее − в ОЦК металлах и труднее всего − в ГЦК металлах.

В отличие от трансляционного скольжения, когда смещение

кратно периоду решетки, атомы при двойниковании смещаются на

долю вектора трансляции решетки. Сдвиговая деформация при

двойниковании является простым сдвигом, когда все атомы части

кристалла, перешедшего в двойниковое положение, должны сме-

щаться пропорционально их расстоянию от плоскости зеркального

отражения. Эту плоскость называют

плоскостью двойникования, а

направление смещения −

направлением двойникования.

Двойниковый сдвиг, как и сдвиг при упругой деформации, явля-

ется однородной деформацией.

Однородной сдвиговой деформаци-

ей

называется такая деформация, когда заданное макроскопическое

изменение формы при двойниковании можно характеризовать эл-

липсоидом, в который превращается шар, мысленно выделенный в

кристалле. Пусть верхняя часть такого шара единичного радиуса

подвергается однородной деформации сдвигом вдоль плоскости

(рис. 1.79).

Рис. 1.79. Однородная

сдвиговая деформация

при двойниковании

Ось y расположена вдоль направления сдвига η

, а за ось z выбе-

рем нормаль к плоскости

. У эллипсоида есть два круговых неис-

каженных сечения: первое − в плоскости сдвига

, второе − в

плоскости

, проходящей перпендикулярно к плоскости чертежа

через точку

А'. В результате сдвига на s направление ОА (η

) без

искажения переходит в

ОА'.

Плоскости

и K

, а также направления η

и η

называются эле-

ментами двойникования

, величину s − кристаллографическим

сдвигом.

В ОЦК кристаллах K

и K

совпадают с {112}, η

и η

− с <111>,

а в ГЦК кристаллах

и K

совпадают с {111}, а η

и η

с − <112>,

причем в обоих случаях

s = 0,707. В α-Zr в одной из систем двой-

никования

и K

совпадают с

{

}

2110 , а η

и η

− с 0111.

128

129

1.6.2. Кристаллографическая текстура

При пластической деформации поликристалла каждое зерно при

наличии пяти независимых систем деформации может деформиро-

ваться без образования внутренних полостей. При этом оно испы-

тывает поворот, в результате которого образуется

преимуществен-

ная ориентировка

, или текстура.

Простейшим типом текстуры является такое упорядоченное

расположение кристаллитов, когда определенные и равноценные

кристаллографические направления <

mnp> располагаются парал-

лельно одному внешнему направлению

F, называемому осью тек-

стуры.

Соответствующий тип текстуры принято называть аксиаль-

ной

(осевой). Иногда такую текстуру называют также волокнистой

или

неограниченной.

Аксиальная текстура наблюдается, например, в проволоках, в

которых кристаллиты ориентированы определенным кристалло-

графическим направлением вдоль оси проволоки.

В ОЦК металлах ось аксиальной текстуры совпадает с <110>, а

в ГЦК − с <100> или <111> в зависимости от энергии дефекта упа-

ковки.

В прокатанных листах, лентах и фольге возникает

ограниченная

текстура (текстура прокатки). При наличии такой текстуры оп-

ределенное направление [

mnp] кристаллитов ориентируется парал-

лельно направлению прокатки, а некоторая кристаллографическая

плоскость (

hkl) располагается параллельно плоскости прокатки

(поверхности листа).

Для описания текстуры используются

прямые полюсные фигуры

(ППФ), обратные полюсные фигуры (ОПФ) и функция распределе-

ния ориентаций

(ФРО). Рассмотрим различные способы описания

текстуры на примере аксиальной текстуры.

Прямые полюсные фигуры. ППФ (hkl) − это изображение на

стереографической проекции в системе координат, связанной с

внешними осями, распределения нормали к выбранной кристалло-

графической плоскости (

hkl).

Для аксиальной текстуры с

F || <mnp> выберем внешнюю орто-

гональную систему координат

FGT так, чтобы направление [mnp]

было параллельно направлению

F. Тогда нормали к плоскостям

{hkl} будут расположены на нескольких конусах. Например, для

аксиальной текстуры с

F || [123] нормали к плоскостям {100} будут

лежать на трех конусах углами полураствора α

, α

, где cosα

= 1/

14 , cosα

= 2/ 14 , cosα

= 3/ 14 . Если F расположено в цен-

тре стереографической проекции, то ППФ (100) изображается тре-

мя окружностями с α

, α

. Когда F находится на основном круге

проекции, ППФ (100) состоит из набора параллелей (рис. 1.80).

Рис. 1.80. Прямая полюсная фигура ППФ (100) для аксиальной текстуры

F || [123]: F расположено в центре проекции (a) и на основном круге

проекции (

б)

Обратные полюсные фигуры. ОПФ − это изображение на сте-

реографической проекции в системе координат, связанной с внут-

ренними кристаллографическими осями, распределения выбранно-

го внешнего направления.

Рис. 1.81. Обратная полюсная

фигура для направления

G F при аксиальной ⊥

текстуре с F || <110>

Для аксиальной текстуры кубическо-

го материала с

F ║ <123> ОПФ для F

будет изображаться точкой, совпадаю-

щей с [

321] на стандартном стереогра-

фическом треугольнике [

100] − [110] −

[

111]. В кубическом материале с акси-

альной текстурой

F ║ <110> обратная

полюсная фигура для

⊥

F изображает-

ся множеством направлений, перпенди-

кулярных [110] (рис. 1.81).

130