Калин Б.А. Физическое материаловедение. Том 1. Физика твердого тела

Подождите немного. Документ загружается.

131

Функция распределения ориентаций. ФРО определяется

плотностью вероятности

f(g) = f(φ, θ, ψ) найти в данной точке ори-

ентировку в области (

g, g + dg). Другими словами, функция распре-

деления ориентаций показывает относительную объемную долю

кристаллитов Δ

g, g+Δg

/V, ориентация которых находится между

g(φ, θ, ψ) и g(φ + Δφ, θ + Δθ, ψ + Δψ), где φ, θ, ψ − эйлеровские уг-

лы, изменяющиеся в пределах 0–2π, 0–π, и 0–2π соответственно.

Таким образом, функцию распределения ориентаций показывают в

ориентационном пространстве, объем которого равен 8π

≠ 4π

≈

12π

! Это связано с тем, что функция f(g) задана на непрерывной

группе вращения, где каждая точка имеет вес sinθ.

Для определения ФРО в случае аксиальной текстурой

F ║ <123>

необходимо рассмотреть ППФ (100). Если ось текстуры

F совпада-

ет с осью

Z, то можно определить эйлеровские углы φ

, θ

, ψ

одного

из кристаллов образца, как показано на рис. 1.82,

а.

Рис. 1.82. Определение функции распределения ориентаций

для аксиальной текстуры с

F || <123>:

а − определение эйлеровских углов; б − ФРО в ориентационном пространстве

При нахождении эйлеровских углов для второго кристалла не-

трудно заметить, что θ

= θ

, ψ

= ψ

, т.е. в случае аксиальной тек-

стуры ФРО в ориентационном пространстве изображается стерж-

нем с φ − var, и θ, ψ − const (рис. 1.82,

б).

Поскольку кубические кристаллы обладают поворотной сим-

метрией с 24 элементами, то появляется возможность выбора сис-

темы координат при определении эйлеровских углов 24 способами.

Более подробное рассмотрение текстур будет дано в последую-

щих главах.

1.7. Кристаллография границ зерен

Во всяком поликристаллическом материале существуют внут-

ренние границы, разделяющие соседние зерна. Эти внутренние

границы являются или

границами зерен одной и той же фазы, или

межфазными границами. В любом случае граница является дву-

мерным дефектом, имеющим макроскопические размеры в двух

измерениях и атомные − в третьем измерении, т.е. является наност-

руктурным компонентом.

132

Рассмотрим простейший случай − плоскую границу между дву-

мя кристаллами. Для задания границы в таком

бикристалле с мак-

роскопической точки зрения

необходимы 5 параметров: 3 − для

описания взаимного разворота двух кристаллов и 2 − для задания

− нормали к плоскости границы. В качестве угловых параметров

разворота используют три эйлеровских угла (φ, θ, ψ) или угол раз-

ворота α и ось разворота

u c кристаллографическими индексами

mnp>. Из трех компонентов оси разворота m, n, p независимыми

являются только два, поскольку

m:n:p = l

, но ,

где l

, l

− направляющие косинусы. При микроскопическом рас-

смотрении необходимо ввести вектор

t =

=++ lll

332211

aaa ttt

, соеди-

няющий начала координат соседних кристаллов, где t

, t

выра-

жается в долях трансляций. Таким образом, в общем случае требу-

Рис. 1.83. Границы

наклона (

а) и кручения (б)

ется 8 параметров.

Границы с углом разориентации соседних

зерен α ≤ 10° относят к малоугловым грани-

цам, а с бóльшей разориентацией − к высо-

коугловым границам. Малоугловые границы

являются границами между субзернами.

Если ось разворота

u лежит в плоскости

границы зерен (субзерен), т.е.

⊥

n, то та-

кую границу называют наклонной, а если ось

вращения

u перпендикулярна плоскости

границы, т.е.

u║n, то говорят о границе кру-

чения (рис. 1.83).

133

1.7.1. Малоугловые границы

Малоугловые границы являются структурными границами, со-

стоящими из дислокаций. Симметричная граница наклона состоит

из стенки краевых дислокаций (рис. 1.84).

Если расстояние между дислокациями в

стенке D, вектор Бюргерса

b, угол разори-

ентировки θ, то sin(θ/

2) = b/(2D) и при ма-

лых углах sinθ ≈ θ

D =

. (1.149)

Чем больше угол разориентировки, тем

меньше расстояние между дислокациями.

При углах разориентировки более ~ 10°

дислокационная модель неприменима, так

как дислокации располагаются очень

близко друг к другу и их ядра сливаются.

В несимметричных границах наклона

располагаются дислокации с различными

векторами Бюргерса.

Малоугловая граница кручения состоит из сетки двух парал-

лельных рядов винтовых дислокаций. При малых углах разориен-

тировки выполняется соотношение (1.149), где D − расстояние ме-

жду дислокациями одной серии.

Рис. 1.84. Дислокационная

структура симметричной

границы наклона в простой

бической

ешетке

В общем случае для малоугловых границ выполняется формула

Франка

()

sin2

urd ×= , (1.150)

где θ − угол разориентации,

r − вектор в плоскости границы, кото-

рый пересекают дислокации с суммарным вектором Бюргерса

∑

bd .

Угол разориентировки зерен или субзерен определяет энергию

малоугловой границы:

гр

= E

θ(A − lnθ), (1.151)

134

где E

и A − константы (E

пропорциональна модулю сдвига и век-

тору Бюргерса). Таким образом, энергия малоугловой границы не-

прерывно растет с увеличением угла θ.

1.7.2. Высокоугловые границы

При рассмотрении структуры высокоугловых границ первона-

чально была предложена модель аморфной прослойки по границам

зерен, обеспечивающей сцепление соседних зерен. Модель аморф-

ной прослойки противоречит многим позднее установленным фак-

там. Во-первых, свойства аморфной границы не должны зависеть

от взаимной ориентации соседних зерен. В действительности же

энергия границ зерен, скорость диффузии по границам, скорость

миграции границ, зернограничное скольжение зависят от взаимной

разориентировки зерен. Следовательно, границы зерен не аморф-

ны, не бесструктурны и должны иметь определенное строение, за-

висящее от кристаллографической разориентировки. Во-вторых,

аморфная прослойка должна иметь достаточно большую толщину

(порядка сотни атомных диаметров), чтобы обеспечить скольжение

зерен неправильной формы. В то же время прямые эксперимен-

тальные данные, полученные с помощью ионного проектора, пока-

зывают, что границы имеют толщину всего в несколько межатом-

ных расстояний.

Позднее была предложена модель переходной решетки толщи-

ной в несколько атомных диаметров, в которой атомы занимают

промежуточные положения между положениями узлов соседних

решеток. Естественно, что строение границы переходной зоны за-

висит от разориентировки соседних зерен. Следующим важным

шагом в изучении границ зерен была островковая модель Мотта,

согласно которой граница состоит из областей «хорошего» и «пло-

хого» сопряжения решеток двух зерен.

В настоящее время эту модель в ее первоначальном виде уже не

используют, но общую идею о чередовании в структуре границы

областей хорошего и плохого сопряжения широко применяют в

большинстве современных моделей высокоугловых границ.

135

Решетка совпадающих узлов (РСУ) (в английской терминоло-

гии − coinsidence site lattice, CSL) возникает при определенных

строго фиксированных значениях оси и угла разворота соседних

кристаллов (соотношения Кронберга–Вильсона). Например, при

повороте на угол θ = 2arctg(1/2) = 36,9

° вокруг оси [100] возникает

решетка, в которой совпадающие узлы лежат в каждой пятой плос-

кости (012) (рис. 1.85).

Для характеристики РСУ

часто используют обратную

плотность совпадающих узлов,

обозначаемую Σ − число узлов

решетки, приходящихся на один

совпадающий узел, причем чис-

ло Σ всегда простое. Так Σ = 1

означает полное совпадение ре-

шеток и отсутствие границы.

При Σ = 3 возникает двойник в

ГЦК решетке. Для случая, изо-

браженного на рис. 1.85, Σ = 5, а

ячейка решетки совпадающих

узлов является тетрагональной.

Рис. 1.85. Решетка совпадающих

узлов с Σ = 5

Специальные (особые или регулярные) границы возникают, ко-

гда граница совпадает с наиболее плотно упакованной плоскостью

решетки совпадающих узлов; при этом энергия границы мини-

мальна, а на графике зависимости энергии границы зерна от угла

разворота наблюдаются резкие спады (рис. 1.86).

Вполне регулярными обычно

считают границы с Σ = 1 ≤ 25–29.

Если граница зерен находится

под небольшим углом к плотно

упакованной плоскости РСУ, то

она имеет ступенчатую (фасет-

чатую) структуру. При этом гра-

ница стремится расположиться

большей частью своей поверхно-

сти в плоскостях с максимальной

плотностью совпадающих узлов.

Рис. 1.86. Зависимость энергии границы

зерна от угла разворота

Специальные свойства границ зерен сохраняются при неболь-

ших отклонениях взаимной ориентации решеток соседних зерен от

специальной, при этом в структуре границы зерна появляются зер-

нограничные дислокации, выполняющие аккомодационную роль,

приспосабливая структуру границы к конкретной разориентировке

зерен.

Максимальный угол отклонения (в радианах) от специальной

ориентировки, когда еще возможна аккомодация с помощью зерно-

граничных дислокаций и сохраняются специальные свойства, оп-

ределяется как

Δθ =

1510

. (1.152)

Для описания разворота кристаллов обычно используют такие

параметры как угол θ и ось разворота

l, а множество всевозможных

разворотов можно представить в виде шара радиуса π. Объем про-

странства разворотов, как и ориентационного пространства с эйле-

ровскими углами, равен 8π

. Для описания разворота удобно ис-

пользовать матрицу поворота

(

)

θ,

lA , см. (1.60). Если кристалли-

ческое пространство обладает элементами симметрии

, то, в со-

ответствии с

правилом Вигнера в теории групп, возникают эквива-

лентные описания того же самого разворота

, причем

−

RAA

. (1.153)

Таким образом, для описания разворота двух зерен в кубиче-

ском материале с группой симметрии

m3m существует 24 способа с

24 значениями углов разворота θ

. Максимально возможное значе-

ние минимального угла разворота вокруг оси

l с кристаллографиче-

скими индексами [

mnp] называют предельным углом разворота θ

пр

вокруг [

mnp]. Если угол разворота θ > θ

пр

, то возможно эквивалент-

ное описание с углом разворота θ

< θ. Предельный угол разворота

для [100] равен 45

°, для [110] − 61°, для [111] − 60°. Максимальное

значение предельного угла разворота для кубических кристаллов

равно ≈ 62

° вокруг [221].

Полная решетка наложения (ПРН). Если РСУ является пере-

сечением множества узлов двух решеток

РСУ

= L

I L

, то полная

решетка наложения (в английской терминологии − displacement

136

137

shift complete lattice, DSC) задается объединением этих множеств

ПРН

= L

. Объемы элементарных ячеек РСУ и ПРН являются

взаимно обратными величинами

РСУ

ПРН

= 1. Наиболее плотно

упакованное направление в ПРН определяет вектор Бюргерса зер-

нограничных дислокаций.

Для развития математического аппарата, позволяющего вычис-

лять параметры дислокационного массива для любой границы, ис-

пользуется 0

-решетка Болмана, которая получается при любом

повороте двух решеток и связана с совпадением не только узлов, но

и физически эквивалентных точек в элементарных ячейках.

1.8. Кристаллография мартенситных превращений

Название

«мартенсит» (по имени немецкого металловеда А.

Мартенса) первоначально использовалось для описания твердых

микросоставляющих, обнаруженных в закаленных сталях. В на-

стоящее время

мартенситные превращения, часто называемые

также

сдвиговыми, найдены также в сплавах, чистых металлах, ке-

рамиках, минералах, неорганических соединениях, затвердевших

газах и полимерах.

Мартенситные превращения являются

бездиффузионными и

атермическими, протекающими с очень большой скоростью. Так

скорость превращения в сталях аустенита в мартенсит составляет

порядка 10

см/с, что близко к скорости звука.

1.8.1. Морфология мартенситных превращений

Важные результаты о морфологии мартенситных превращений

получены на основании металлографического изучения рельефа

поверхности предварительно полированного шлифа в месте обра-

зования кристалла мартенсита. Установлено, что поверхность пре-

вращенной области материала наклоняется к плоскости шлифа, но

остается плоской. Прямые риски, проведенные на поверхности

шлифа до превращения, в результате образования кристалла мар-

тенсита остаются непрерывными и прямыми, но претерпевают из-

лом на выходе поверхности габитуса (рис. 1.87).

Рис. 1.87. Характер рельефа в результате

образования кристалла мартенсита:

1 − исходная фаза, 2 − новая фаза

(мартенсит); 3 − прямые линии,

проведенные на плоской поверхности

образца в исходном состоянии; ABC −

габитусная плоскость мартенситной

пластины

Это свидетельствует о том, что рельеф является результатом од-

нородной деформации с инвариантной плоскостью

, т.е. имеется

плоскость (плоскость габитуса кристалла мартенсита), которая не

искажается и не поворачивается; все смещения материала направ-

лены в одну сторону и пропорциональны расстоянию от инвари-

антной плоскости.

Примером деформации с инвариантной плоскостью может слу-

жить одноосное растяжение или сжатие (рис. 1.88), когда вектор

смещения перпендикулярен к инвариантной плоскости, или сдвиг,

когда вектор смещения параллелен инвариантной плоскости.

а б в

Рис. 1.88. Пример деформации с инвариантной плоскостью:

а − дилатация (растяжение); б − сдвиг; в − сдвиг и дилатация

Любую деформацию с инвариантной плоскостью можно пред-

ставить комбинацией этих двух простых деформаций.

Если перестройку решетки при образовании новой фазы пред-

ставлять как деформацию решетки с инвариантной плоскостью, то

границей между когерентными областями новой и исходной фаз

является инвариантная плоскость, и эта плоскость является плоско-

стью габитуса.

138

139

Для сохранения контакта с непревращенной частью кристалла

необходимо вращение, поэтому деформация решетки с инвариант-

ной плоскостью включает

чистую деформацию (растяжение, сжа-

тие, сдвиг) и

вращение.

Экспериментальные исследования превращения аустенита в

мартенсит показали, что фактическая макроскопическая деформа-

ция превращенного объема исходя из рельефа на поверхности по-

лированного шлифа отлична от деформации решетки. Эта допол-

нительная деформация не должна менять решетку, т.е. являться

деформацией при инвариантной решетке, что может быть обеспе-

чено скольжением или двойникованием (рис. 1.89).

Рис. 1.89. Деформация решетки и деформация при инвариантной решетке:

а − исходная решетка, б − деформация решетки, в − деформация формы

в результате деформации скольжением с инвариантной решеткой, г − отсутствие

деформации формы в результате комбинации деформации решетки и деформации

с инвариантной решеткой, д − деформация формы при инвариантной решетке

1.8.2. Кристаллография мартенситных превращений

При мартенситном превращении в сталях ГЦК решетка аустени-

та (твердого раствора углерода в γ-Fe) переходит в объемно-

центрированную тетрагональную (ОЦТ) решетку мартенсита. Пер-

вые

ориентационные соотношения Бейна появились из рассмотре-

ния сдвоенной ГЦК ячейки γ-фазы (аустенита) и выделенной ОЦТ

ячейки (рис. 1.90):

(001)

║ (001)

[100]

║ [110]

Для превращения выделенной ОЦТ ячейки в ячейку мартенсита

прикладывается

деформация Бейна B

B , (1.154)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

83,000

012,10

0012,1

которая связана с растяжением вдоль осей [100]

и [010]

на ≈ 12%

и сжатием на ≈ 17% в направлении [001]

. Ориентационные соот-

ношения Бейна наблюдаются при превращении в очень тонких

пленках.

а б

Рис. 1.90. Соответствие решеток для превращения ГЦК аустенита

в ОЦТ мартенсит:

а − сдвоенная ГЦК ячейка с ОЦ тетрагональной ячейкой; б − деформация Бейна,

переводящая ОЦ тетрагональную ячейку в ОЦТ ячейку мартенсита

Деформация Бейна не обладает инвариантной плоскостью. Дей-

ствительно, в результате приложения деформации Бейна сфера

единичного радиуса

1 превращается в эллипсоид 2 (рис. 1.91,а),

пересечение которых дает конус неискаженных направлений

L', в

который после деформации перешел конус

Если инвариантная плоскость

P' после деформации Бейна про-

ходит через неискаженные направления

a' и b' (рис. 1.91,б), то до

деформации она проходила через направления

a и b (плоскость P).

Поскольку угловые расстояния между неискаженными направле-

ниями не сохраняются, то выбранная плоскость

P не является ин-

вариантной.

140