Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Шашихин В.Н. Управление энергетическими системами. Часть1. Теория автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

4. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ

149

нутых САУ снижаются в К раз обратно пропорционально ко-

эффициенту усиления

управляющего устройства.

Рассмотренные соотношения иллюстрируют преимущества

замкнутых САУ следящего типа. Далее рассматривается выбор

параметров обратных связей, обеспечивающих требуемые свой-

ства замкнутых систем управления.

4.2. Управляемость объектов и систем

Управляемость объекта (системы) связана с решением во-

проса о возможности достижения целей управления. Решение

этой задачи является первым этапом синтеза САУ, поскольку за-

дача управления в ряде случаев может рассматриваться как зада-

ча перевода объекта из одного состояния в другое за конечное

время. Перевод координат объекта (системы) за конечное время

возможен при выполнении условий осуществления этого перев

о-

да, т.е. анализа управляемости.

4.2.1. Определение управляемости. Рассмотрим линейные

непрерывные стационарные объекты (системы) управления

,,)(,

xCyxtxuBxAx ==+=



(4.1)

где x=x(t), u=u(t), y=y(t) – векторы состояния, управления и вы-

ходных координат размерности n, r и m соответственно.

Определение 4.2.1. Система (4.1) называется вполне управ-

ляемой

, если для любых моментов t

и t

> t

) и любых задан-

ных состояниях x

и x

существует управление u(t) (для

ttt

≤

переводящее систему из начального состояния

)(

txx = в ко-

нечное

)(

txx = , где время

- ограничено.

Управляемость дискретного стационарного объекта (систе-

мы) управления:

150

.,,

tttttt

xCyxxuBxAx ==+=

(4.2)

как и системы (4.1) определяется критерием Р. Калмана.

4.2.2. Критерий управляемости. Этот критерий формули-

руется в теореме.

Теорема 4.2.1 (ранговый критерий управляемости Кал-

мана).

Линейная система (4.1) в непрерывном и (4.2) в дискрет-

ном времени вполне управляемы тогда и только тогда, когда мат-

рица управляемости

)|...|||(

BABAABBS

−

= имеет ранг,

равный n - размерности вектора состояния.

Решение любой задачи синтеза следует начинать с проверки

управляемости объекта. Отметим, что полная управляемость не

зависит от выбора системы координат. Действительно, линейное

преобразование модели (4.1) при подстановке x=Qz, где Q – не-

особенная матрица размера nn

, приводит к системе

,,)(,

zQCyxQtzuBzAz ==+=

−



где

BQBAQQA

−−

. Матрица управляемости преобразо-

ванной системы

)

|...|

(

BABABABS

−

= связана с матрицей

управляемости исходной системы соотношением

SQS

−



, и,

следовательно, их ранги равны.

Решение задачи управляемости объектов или систем управ-

ления позволяет перейти к рассмотрению методов и методик син-

теза.

4.3. Синтез модальных регуляторов

Модальные регуляторы обеспечивают САУ заданными кор-

нями характеристических полиномов замкнутой системы. В тер-

минах корней характеристических полиномов можно задать каче-

4. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ

151

ство управления. Рассмотрим синтез модальных регуляторов на

основе модели ОУ в пространстве состояний.

4.3.1. Постановка задачи синтеза модальных регулято-

ров.

Пусть объекты управления заданы уравнениями состояния

для непрерывного времени

xCyxtxuBxAx ==+= ,)(,



, (4.3)

и для дискретного времени

.,,

tttttt

xCyxxuBxAx ==+=

(4.4)

Предполагается, что объекты вполне управляемы и управ-

ляющие воздействия – скалярные функции. Требуется синтезиро-

вать линейные регуляторы, обеспечивающие заданные значения

корней характеристических полиномов замкнутых САУ.

Синтез модальных регуляторов осуществляется в два этапа.

Первый этап заключается в приведении пары матриц А и В

к канонической форме. Задача второго этапа – вычисление па-

раметров регулятора.

4.3.2. Приведение уравнений состояния к канонической

форме Фробениуса.

Математические модели (4.3) и (4.4) назы-

ваются моделями в канонической форме Фробениуса, если мат-

рица

– фробениусова, вектор

- соответствующего вида:

1000

0100

0010

121

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−−−

−−







nnn

aaaa

152

где

a – коэффициенты характеристического полинома матрицы

A и A

aa +++=

−

...)(

λλλχ

. Следует отметить, что фробе-

ниусова матрица

A может быть представлена в стандартном

виде:

aeI

A ⋅−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−−

)1(

где

aaaa ),...,,(

11−

= ,

)( p

I – p-й единичный «косой ряд» по-

рядка n при

- едиичный вектор, состоящий из единиц.

Для того чтобы привести матрицу объекта или системы к

канонической форме, используем верхнюю треугольную относи-

тельно второй диагонали матрицу

∈

, образованную из ко-

эффициентов характеристического полинома матрицы объекта

управления A так, что:

0001

121

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−−







aaa

Для выполнения преобразования подобия используем мат-

рицу

TSQ

= , где

)|...|||(

BABAABBS

−

– матрица управляемости системы. Тогда столбцы матрицы

),...,,(

21 n

qqqQ

примут вид:

4. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ

153

.,)(

,)(

,)...(...

111

bqbEaAbaAbq

bEaAaAaAbabAabAq

=⋅+=+=

⋅++++=+++=

++++=+++=

−

−−

−

−−

−





Замена переменных

= в (4.3) и (4.4) позволяет получить:

bQbQAQA

−

== .

При этом столбцы произведения некоторых рассмотренных выше

матриц принимают следующий вид:

),...,,(

21 n

qAqAqAAQ

где отдельные столбцы определяются равенствами

.)(

;)(

;)...(

1111

22221

1111

nnn

nnnn

nnnnnn

qaqbEaEaAAq

qaqbEaEaAaAAq

qababEaEaAaAaAAq

−=−+=

−=−++=

−=−+++=

−=−=−++++=

−

−−

−−−

−−

−



Полученные соотношения представляются разностями матриц:

),...,,(),...,,,,0(

111221 nnnnnnn

qaqaqaqqqqAQ

−−−

−

= .

Соотношения получены с учетом теоремы Кэли–Гамильтона, утвер-

ждающей, что любая квадратная матрица удовлетворяет своему характери-

стическому уравнению

0)(

154

В результате подобного преобразования каноническая фор-

ма матриц определится равенствами

,),...,,(),...,,0(

)1(

nnnnnnnn

eqQbQb

aeIqaqaqaQqqQQAQA

===

−=−==

−−

−

−−

Можно сделать замечания по полученным результатам:

1. Для вычисления вектора коэффициентов характеристиче-

ского уравнения матрицы управляемой системы (см. выше) мож-

но использовать равенство

bASa

−

−= , (4.5)

которое получается подстановкой матрицы A в характеристиче-

ское уравнение и умножением его слева на b:

.0...)(

=++++=

−

baAbabAabAbA

Последнее равенство можно преобразовать:

aSbabAabAabA

nnn

−=+++−=

−

)...(

и получить для управляемой системы (4.5).

2. Для двух вариантов модели одного объекта или системы,

определяемых соответственно параметрами

),( b

и )

( bA , мож-

но найти матрицу линейного преобразования Q, если объект или

система автоматического управления вполне управляемы:

−

SSQ , где матрицы определяются равенствами:

|...|

(

,)|...||(

bAbAbSbAAbbS

−

3. Математическая модель ub



может быть эквивале-

4. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ

155

нтна одному дифференциальному уравнению n-го порядка:

)()(...)()(

)1(

)(

tutyatyaty

=+++

−

где параметры определены равенством:

ebaeIA =−= ,

)1(

4.3.3. Выбор параметров модального регулятора.

Реше-

ния дифференциальных и разностных уравнений систем управле-

ния полностью определяются собственными числами матриц, на-

чальными условиями и внешними воздействиями. Если два по-

следних фактора являются внешними и независимыми от систе-

мы управления, то собственные значения математической модели

замкнутой системы зависят от выбора управления и определяют

характер поведения системы. Желаемый характер переходных

проц

ессов определяется значениями корней характеристического

уравнения объекта или замкнутой системы автоматического

управления.

Постановка задачи выбора параметров. Пусть имеются

непрерывные или дискретные объекты или системы автоматиче-

ского управления, которые являются вполне управляемыми, опи-

сываемые следующими моделями «вход-состояние-выход». То-

гда можно использовать описание уравнениями

для непрерывного времени

,)0(

,)(,)(

RtuRtx

∈∈



для дискретного времени

RuRx

ubxAx

ttt

∈∈

(4.6)

Определить параметры

kkkk ),...,,(

линейных законов

управления с обратной связью:

),()( txktu

xku = (4.7)

156

обеспечивающие заданные значения корней характеристического

уравнения замкнутой САУ:

уст

устуст

λλλ

,...,,

(собственные числа матрицы замкнутой системы).

Теорема 4.3.1. Если пара (A,b) системы (4.6) вполне управ-

ляема, тогда всегда можно построить управление (4.7), обеспечи-

вающее для матрицы уравнений замкнутой системы

xkbAx

⋅+= )(



xkbAx ⋅+=

)(

любые заданные собственные значения.

Доказательство. Пусть требуемые собственные значения

матрицы замкнутой системы определяются значениями:

уст

устуст

λλλ

,...,,

. Тогда можно вычислить коэффициенты

характеристического уравнения, имеющего заданные корни:

....)()(

уст

aaa ++++=−=

−

∏

λλλλλλχ

По формулам Виетта и заданным значениям корней вычис-

ляются коэффициенты характеристического уравнения:

()

12 3

;; ;

nn n

ст

iij ij

iij ijl

уст уст

уст

aa a

λ λλ λλλ

λλ λ

=> >>

=− = =−

=−

∑∑ ∑

………………………

…

Из вычисленных коэффициентов образуем вектор

nnуст

aaaa ),...,,(

11−

= . С помощью преобразования

(4.8)

4. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ

матрица модели объекта (4.6) приводится к канонической форме

Фробениуса:

ebpeIA =−=

)1(

где

pppp ),...,,(

11−

= – вектор, составленный из коэффици-

ентов характеристического уравнения матрицы объекта. Управ-

ляющее воздействие (4.7) в новом базисе (4.8):

xku

где kQk

. Подставив управление u в уравнение объекта, при-

веденное к канонической форме, получим уравнения замкнутых

систем для непрерывного и дискретного времени:

)

(

xkbAx



)

(

11 ++

xkbAx

Матрица замкнутой системы (с учетом

) принимает вид:

(

)1( T

nnз

kpeIA −−=

Для того чтобы эта матрица имела требуемые собственные зна-

чения необходимо, чтобы коэффициенты ее характеристического

уравнения соответствовали вектору

уст

a :

kpa

уст

−=

Поставленная выше задача решается путем выбора коэффи-

циентов регулятора из соотношения

)()(

уст

apQk −=

−

. (4.9)

Синтезированные параметры пропорциональной обратной

связи определяют обратные связи в пространстве новых коорди-

158

нат (новом базисе), в котором матрица объекта имеют канониче-

ские формы. Для формирования управлений в исходном базисе

необходимо использовать вектор исходных координат состояния.

В результате пропорциональный закон управления как линейная

функция исходных координат состояния примет вид (4.9).

Методика синтеза замкнутых систем модального управле-

ния широко используется при синтезе систем управления и регу-

ляторов основ

ного контура (РОК) адаптивных систем.

4.4. Синтез оптимальных стабилизирующих управлений

Рассмотрим решение задачи синтеза систем управления,

обеспечивающих качественные показатели, исходя из минимиза-

ции интегральных или суммарных функционалов качества замк-

нутой системы.

4.4.1. Постановка задач. Пусть заданы непрерывные и дис-

кретные объекты или системы автоматического управления, оп-

ределяемые совокупностью уравнений в непрерывном или дис-

кретном времени:

для непрерывного времени

,)(),,,(

xtxtuxfx ==



для дискретного времени

,),,,(

xxtuxfx

tttt

(4.10)

где

RuRx ∈∈ ,

и заданы на конечных интервалах времени

функционалы качества процессов в непрерывных (слева) и дис-

кретных (справа) системах автоматического управления:

∫

Φ+=

ttxdttuxJ

),),((),,(

()

xut

Ф xt

∑

(4.11)

Требуется определить оптимальные управления системой с об-