Козлов В.Н. Системный анализ и принятие решений

Подождите немного. Документ загружается.

7. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ А ОСНОВЕ НЕЧЕТКИХ

МНОЖЕСТВ И ФУНКЦИЙ

7.1. Описание неопределенности нове функций

принадлежности

на ос

одной из альтернатив

прим отки нечетких оце о о

нечет в

результаты принятия р ш н

подхода, в котором используются модели и методы принятия

жности

нечетких множеств, операциях над нечеткими множествами и

числа

построения функций принадлежности основаны на

ен , уе

т а з я

ето х

Функц и

п х ет

ыл использован. Пусть

Рассмотрим выбор в условиях

енения и обраб н к, что обусловлен

кой исходной информацией. При едены конкретные

е е ий на основе лингвистического

решений, базирующиеся на построении функций принадле

ми.

Методы

обработке матриц оценок, отражающих мнение эксперта об

относительной принадлежности элементов множеству. Введем

определенные характеристики принадлежности позволяющие дать

количественные оц ки качественных явлений сформулир м

некоторые ме оды форм ли ации качественных свойств влений.

1. Вычисление функций принадлежности м дом парны

сравнений.

и принадлежности могут быть построены на

основе парных сравнения. В редыдущи разделах м од парных

сравнений уже б

{

}

множество из

лементов. Определим понятие нечеткого множества.

Определение 1. П жества

одмножество

мно

называется

нечетким множеством

, если на основе множества определена

совокупность пар

{

}

(

=)(), ,xxxX∈

(1)

где

()

– степень принадлежности элемента x множеству X. Если

функция принадлежности

()

принимает значения только 0 и и л

1, множество

становится обычным. Для всех элементов

то

191

требуется вы

полнение условия нормировки:

()1.

∑

(2)

Как и ранее определим степень принадлежности элементов

множеству с помощью

матрицы парных сравнений. Обратимся

сначала к табл. 3.8. Оценку элемент по сравнению с элементом а

с точки зрения свойства обознач .

Таблица 3.8. Шкала определения матрицы суждений

Оценка

важности

Качественная оценка

Примечание

им

1 Одинаковая значимость По данному критерию

альтернативы имеют

одинаковый ранг

Слабое превосходство

о предпочтении

одной альтернативы другой

малоубедительны

Соображения

Сильное

)

Имеются надежные

доказательств

(существенное

а существенного

альтернативы

превосходство

превосходства одной

Существуют убедительные

с в о

Очевидно

превосходство

видетельства п льзу

альтернативы

Абсолютное

превосходство

в пользу

предпоч ения одной

альтернативы перед другими в

высшей степени убедительно

Свидетельство

2, 4, 6, 8 Промежуточные

значения между

соседними оценками

компромисс

Используется, когда необходим

192

Для обеспечения согласованности симметричные

относительно элементы предположим, что:

iij

−

, что

соответствует одному из вариантов калибровки. акие матрицы

называют

обратно-симметричными матрицами. Оценки a

позво

ляют составить матрицу парных сравнений

()

a= . Далее

найдем собственный вектор матрицы

, решив уравнение:

, где

– собственное число матрицы

. Очевидно, что

собственные числа матрицы

являются

характеристического уравнения, которое определ

яет

корнями

наличие

нетривиальных решений системы

()

−

. Примем

вычисленные компоненты собственного вектора

,..., ,..., )ww w w=

в качестве

степени

(

множеств

: принадлежности

элементов

() , 1,

Si i

wi n

. (3)

равнЕсли элементы

с иваются только между собой, то

матрица

– диагональная, и ей соответствуют собственные ч лис а,

ежности также равны

ной на что соответствует обычному множеству

равные единице. Элементы функции принадл

единице, делен .

ные чис

растяжения (сжатия) кторов при действии на них оператора,

заданного

В общем случае собствен ла определяют величину

ве

матрицей

Равенство

wnw=

выполняется всегда, поэтому найденные

значения тем точнее, чем ближе

max

числу

. Тогда отклонение

от

можно принимать в качеств м

е ы согласованности

сужд ний экспертов.

аясь на

то о ости опре ичеством

с тока на единицу площади. Для определения отличий в

освещ нно к фу я до

источника проведен следующий э ьное

сравнение интенсивности освещенности н друга

ер

Пример 1. Оценим освещенность предметов, основыв

м, что

ветового по

свещенность поверхн деляется кол

е сти четырех объектов ка нкции от их расстояни

ксперимент. Визуал

езависимо друг от

193

проводили две группы . Предметы находились на следующих

расстояниях от источника света: 9, 15, 21 и 28 единиц длины.

Матрица парных сравн ний в первом

людей

е эксперименте равна:

⎡

⎤

1/5 1 4 6

6 1/4 1

1/6

A .

41/

1/7 1/4 1

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

условия

(

Вычислим вектор из

собственный

)

−=

получив предварительно хара ктеристическое уравнение

det( ) 0

−=

2,3

0,140 1,i

, имеет : которое следующие решения

305;

−±

4,390

. Поскольку

max

, то собственный

йти

4,390

этому собст

ы:

векто

из соответств

р, соответствую

ую

щий в

енному числу, можно на

max 4 4

)OEw

щей систем

−

, которая имее

называется вектором

нственного решения заменим

ек

= 1.

В резул ем собственный вектор, который

удовл тель

неединственно

приоритетов

о авне

решение. В тор

еди

но

Для нахождения

дно из ур ний на уравнение

ьтате решения получа

рмировки:

етворяет дополни ному условию нормировки:

(0,619 0,23 0,101 0,04w = , когда

max

4 90

5 5)

. П а вке

условия нормировки вместо каждого из уравнений системы

результат решения не изменяются. Мы определи и степень

принадлежности элементов

множеству

, согласн елению

0, 19,w =

0, 235,w =

0,101,=

0,045,w

ри подст но

о опред

6 w

при еч м

() ,

Si i

1, 4i =

мотри обоснование изложенного мето . Пусть имеются

, …,

. Требуется определить веса

, …,

и их

влияние на п ятие р ения путе и итетов. Покажем, что

для представления риоритетов можно ыбрать собственный

вектор, соответ вующий числу.

Обозначим

– число, соответствующее значимости

по сравнению с элементом

Расс м да

элементы

рин еш м пр ор

п в

наибольшему

элемента

ст собственному

194

Матрицу, состоящую из этих чисел, обозначим ()

a= . Как

отме

чалось ранее, матрица – обрат .

ях

но-симметричная, т.е

)

−

. Если наше рассуждение совершенно при всех

сравнени , то

iK ij jK

aaa= для всех

,,i

(

и матрица

называется

согласованной.

Очевидно, для согласованной матрицы является случай, когда

сравнения основаны на точных измерения , т.е. веса –

, …,

известны. Тогда

,, 1,

ij i j

awwij n==, и поэтому

усть также выполнено условие:

ij jk k ik

aa w a=

ij ji

aa=

Рассмотрим подробнее это лучай. Поскольку матричное

в ен

т с

ура н ие

xy=

где ( ,..., )

1 n

xx= , ( ,..., )

yy y= соответствует

1 n

записи

ij j i

ax y

∑

1,in=

, то из условия

ij i j

aww

,1,ij n=

и, следовательно,

ij j

aw n

∑

1,in=

, или

ij j i

aw nw

∑

что

эквивалентно уравнению:

wnw

. Эта формула подтверждает, что

– собственный вектор

, отвечающий собственному значению

В случае, когда определение

основано не на точных

измерениях, а на субъективных суждениях

, то

отклоняется от

идеальных отношений

ww, и по уравнение не имеет места.

Для дальнейших рассуждений полезны три факта из теории матриц

таких, что:

этому

wnw= .

Утверждение 1. Если

,...,

– собственные числа матрицы

Ax x

= и если

= 1,

1,in=

, то

∑

. Поэтому, если

ij i j

aww= ,

то все , кроме одного

. Отсюда ясно, в случае

есть наибольшее собственное число

что

число

согласов

матрицы

анности

195

Утверждение 2. Для обратно-симметричной матрицы

малое изменение элементов влеч н е собственных

векторов.

Утверждение 3. Если

ет малое измене и

– матрица значений парных

сравнений, то для нахождения

вектора приоритетов над найти

векто

р , который удовлетворяет уравнению

max

ько пол

Необходимо иметь нормализованное решение, поэтому

следует нескол изменить

. Пред ожение

∑

и замена

на

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

обеспечивает единственность век ора

и выполнение

условия:

w =

∑

основе

характеристики элемента. Благодаря применению «матриц-

ож и

мере.

ых с

ча

человека п а р по в

х множе ятия

1i=

2. Построение функций принадлежности лингвистических

термов на статистических данных.

Рассмотрим еще один

способ определения функции принадлежности. В качестве степени

принадлежности элементов множеству примем оценку частоты

использования понятия, задаваемого нечетким множеством, для

подсказок» м но использовать гладкие функции принадлежност .

Проиллюстрируем метод на при

Пример. При построении автоматизированн истем

управления возникает зада моделирования деятельности

-о ератор . Один из путей ее ешения – ис льзо ание

теории нечетки ств и пон функции принадлежности.

Функция принадлежности

()

определяет соответствие каждого

элемента

uV∈ числу из интервала [0, 1], характеризующего степень

принадлежности элемента u множеству

. Человек, вос иним

информаци лами, а

переводит в свои

пр ая

ю, обычно не пользуется конкретными чис

их понятия – значения лингвистических

переменных.

Задача. Предположим, что, наблюдая за объектом в течение

некоторого времени, человек n раз фиксирует свое внимание на

196

том, имеет место факт

или нет. Событие, заключающееся в n

проверках на личия факта

, назовем ценочным со ы

верках имел м

о б тием. Пусть

про сто факт

. То с т е гда оператор реги трируе

частоту /

kn= появле фактния а

сто

и оценивает ее словами

т.п. ивая ту«часто», «редко» и ч Оцен а

, чел с на овек опирает я

опыт который явления факта свой , отражает частоту по

дстав

событиях прошлого, пр ляющихся ему аналогичными

ениваемому событию. Поступает также информация о появлении

факта

, основанная на наблюде других людей. В зависи

от с у

» значения лингвистической переменной:

ВЕСЬМА РЕДКО, БОЛЕЕ-МЕНЕЕ РЕДКО,

БОЛ СТО ВЕСЬМ

гда

ь определенном интервале шкалы, к максимальному

для э ам.

число экспериментов. Это условие часто не

соблю

м, а в

интер

На основе данных вычисляются величины:

нии мости

тепени доверия к источник такого рода информация

запоминается с различными весами.

Лингвистик (языкознание) –

наука, используемая при принятии решений, изучает общие законы

строения и функционирования человеческого языка. В

соответствии с этим на универсальной шкале [0, 1] необходимо

«разместить

ЕЕ-МЕНЕЕ ЧА , А ЧАСТО.

То степень принадлежности некоторого значения

вычисляется как отношен е числа экспериментов, в которых оно

встречалос в

этого значения числу кспериментов по всем интервал

Метод основан на условии, что в каждый интервал шкалы попадает

одинаковое

дается. Тогда в реальных условиях составляется

эмпирическая таблица, в которой эксперименты могут быть

распределены неравномерно по интервала некоторые

валы эксперименты могут вообще не попасть (табл. 3.9).

max

1, 5i =

1, 20j =

197

я столбцов, где

k =

, применяется линейная аппроксимация:

Дл

,1 ,1

ij ij

−+

−

1, 5i = , 1, 20j = .

Для построения функций принадлежности находят

максимальные элементы по строкам табл. 3.10:

max

ij ij

cc=

, 1, 5i = ,

1, 20j = . Далее функция принадлежности вычисляется по формулам:

max

ij ij i

. (4)

Необходимо иметь в виду, что функции принадлежности

построены для лингвистических переменных (табл. 3.11). Значения

функции принадлежности даны при использовании в честве

аргумента величины

ка

BΔ

Приведенные результаты иллюстрируют факт количественной

характеристики (описания) лингвистических переменных,

возникающих в трудно фор зуемых задачах принятия решения.

Имеются ие приемы построения функций принадлежности на

основе экспертных, интервальных оценках, параметризации.

7.2. Принятие решений на основе методов теории нечетких

чисел и множеств

мали

друг

1. Основные определения теории нечетких чисел и

множеств.

Введенное выше понятие функции принадлежности

позволяет определить н четкие числа и операции над ними для

принятия решений в условиях нечетко заданной информации.

Определение 1. Нечеткое число

∼

определяется равенством:



() ,

∫

(5)

где



() [0,1]

∈ – степень принадлежности

∈

 множеству



характеризуемая

функцией принадлежности



(): [0,1]

→

198

199

Таблица 3.9

,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0, 0,4 0,45 0,55 6 7 0,8 0,8535 0,5 0, 0,65 0, 0,75

,0 0,75 0,47 0,2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0,25 0,52 0,8 1,0 1 0,67 0 0 ,0 0,33 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0,33 7 0 0,67 1,0 0, 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 3 0 0,330 0 0 0, 1, 1,0 1,0 0,83 0,5

0 0 0 0 0 0,550 0 0 0 0 0 0 0,16 0,5

Таблица 3.10

12 3 10 15 1

456 7 89 11 12 1314

1997,2 0 0 0 300 0 00 0 0 0 0

2001,8 69 0 0 073,900 0 0 0 0

300 0 00 9 0 025,199 9 2,3 0 0

4 0 0 0 0 9 9 7,0 0 0 0 0 0 0 6,8 9

5 0 0 0 0 0 0 1,0 0 0 0 0 0 0 0 0

Таблица 3.11

0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 5 ,6 0,8 0,80,45 0,5 0,5 0 0,65 0,7 0,75

0,8 0,333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0,2 0,666 1 0,777 0,43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0,22 0,57 1 26 0 0 1 1 1 0, 0 0 0

0 0 0 0 0 0 76 86 0,0 0 0 0, 1 1 1 0,

0 0 0 0 0 0 0 0 14 0,0 0 0 0 0,16 0,

200