Кучер В.Я. Основы технической диагностики и теории надёжности
Подождите немного. Документ загружается.
Если системы А и В независимы, то P(A
i
B
j
) = P(A
i
)P(B
j
) и тогда из
соотношения (67) вытекает J
A
(B) = J
B
(A) = 0.
С физической точки зрения этот результат очевиден: наблюдение над
одной из систем не может дать информации относительно другой, если
между состояниями этих систем нет связи.
Пример 2.4. Пусть проводится диагностика состояния подшипника по
определению содержания частиц железа в масле. Исследование проведено на
100 электродвигателях, среди которых 64 имели исправное состояние
подшипника (состояние А
1
), а остальные 36 – неисправное (состояние А
2
).
Были рассмотрены три состояния, различающиеся содержанием железа в г/т
масла (табл. 1).
Таблица 1
Распределение электродвигателей в зависимости от
содержания железа в масле
Содержание
железа, г/т
Состояние
системы
измерений
Состояние
А
1
Состояние
А
2
< 4
4 – 8
> 8
В
1
В
2
В
3
40
20
4
0
6
30
Значения вероятностей P(A
i
B
j
), P(A
i
) и P(B
j
), полученные на основании
табл. 1, приведены в табл. 2.
Таблица 2
Вероятности P(A
i
B
j
) в соответствии с табл. 1
B
j
A
i
B
1
B
2
B
3
P(A
i
)
A
1
A
2
P(B
j
)
0,40
0
0,40
0,20
0,06
0,26
0,04
0,30
0,34
0,64
0,36
Например, из 100 двигателей 40 характеризовались принадлежностью к
состояниям А
1
и В
1
одновременно (исправные двигатели с содержанием
железа в 1 т масла 4 г), тогда Р(А
1
, В
1
) = 0,4. Среди 100 двигателей (исправ-
ных и неисправных) состояние В
3
имели 34, и потому Р(В
3
) = 0,34.
Вычислим среднюю информацию о состоянии подшипников двигателя
(система А), которая содержится в исследовании масла (система В). По фор-
муле (67) находим:
+
⋅
⎢
⎣
⎡
+
⋅
==
∑∑
==
260,64
0,20
0,20lg
40,064,0
40,0
lg40,0
2lg
1
)()(
)(
)lo()(
2
1i
3
1j
ji
ji
2jiA
BPAP
BAP
gBAPBJ
21
.56,0
34,036,0
30,0
lg30,0
26,036,0
06,0
lg06,0
40,036,0
0
lg0
34,064,0
04,0
lg04,0 =
⎥
⎦
⎤
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
Найдём величину информации относительно исправного состояния
подшипника, которая содержится в исследовании масла:
⎢
⎣
⎡
+
⋅
+
⋅
==
∑
=
26,064,0
20,0
lg
64,0
20,0
40,064,0
40,0
lg
64,0
40,0
2lg
1
)()(
)(
)lo/()(
3
1j
j1
j1
21jA
1
BPAP
BAP
gABPBJ
.33,0
34,064,0
04,0
lg
0,64
0,04
=
⎥
⎦
⎤
⋅
+
При вычислении использовалась формула P(B
j
/A
1
) = P(A
1
B
j
)/P(A
1
). Подоб-
ная информация относительно неисправного состояния
⎢
⎣
⎡
+
⋅
+
⋅
==
∑
=
26,036,0
06,0
lg
36,0
06,0
40,036,0
0
lg
36,0
0
2lg
1
)()(
)(
)lo/()(
3
1j
j2
j2
22jA
2
BPAP
/BAP
gABPBJ
.97,0
34,036,0
30,0
lg
0,36
0,30
=
⎥
⎦
⎤
⋅
+
Выясним значение информации относительно состояния подшипника дви-
гателя, которая образуется после того, как становится известным содержание
железа в масле. Если содержание железа в 1 т масла < 4 г (состояние В
1
), то
.64,0
40,036,0
0
lg
40,0
0
40,064,0
40,0
lg
40,0
40,0
2lg
1
)()(
)(
)lo/()(
2
1j
1i
1i
21j1A
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
+
⋅
==
∑
=
BPAP
BAP
gBAPBJ
Подобным образом найдём:
.50,0
26,036,0
06,0
lg
26,0
06,0
26,064,0
20,0
lg
20,0
20,0
2lg
1
)()(
)(
)lo/()(
2
1j
2i
2i
22i2A
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
+
⋅
==
∑
=
BPAP
BAP
gBAPBJ
.85,0
34,036,0
30,0
lg
34,0
30,0
34,064,0
04,0
lg
34,0
04,0
2lg
1
)()(
)(
)lo/()(
2
1j
3i
3i
23j3A
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
+
⋅
==
∑
=
BPAP
BAP
gBAPBJ
Естественно, что наибольшей информацией обладают состояния В
1
и В
3
.
В заключение вычислим величину информации, содержащейся в состоя-
нии В
j
относительно состояния А
i
:
.
)()(
)(
lg
2lg
1
)(
ji
ji
jA
i
BPAP
BAP
BJ =
Эти значения приведены в табл. 3.
Таблица 3
Значения информации J
Ai
(B
j
) по данным табл. 2
B
i
A
i
B
1
B
2
B
3
A
1
A
2
0,64
–∞
0,26
–0,64
–2,45
1,29
22
Как видно из таблицы, наибольшее значение имеет J
A2
(B
1
), что соответст-
вует интуитивным представлениям о ценности информации (при содержании
железа в 1 т масла < 4 г можно с большой уверенностью утверждать, что
подшипники двигателя не могут находиться в неисправном состоянии).
П р и м е ч а н и е. В теории информации предполагается, что значения
вероятностей состояний систем точно известны
. В действительности, эти
вероятности определяются на основании статистических данных, и потому
представляют собой случайные величины. Только при бесконечно большом
объёме выборок их значения можно считать точными.
Приводимые расчётные соотношения относятся к средним значениям,
интервальные оценки могут быть установлены с помощью общих методов
математической статистики.
23
3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАДЁЖНОСТИ
3.1. Общие положения
Для нормативного обеспечения методов, мероприятий и средств,
направленных на достижение требуемого уровня надёжности, используется
система стандартов «Надёжность в технике». Эта система в соответствии с
ГОСТ 27.001–81 «Система стандартов. Надёжность в технике. Основные
положения» обеспечивает эффективность организационно–технических,
конструкторско–технологических и эксплуатационных мероприятий,
направленных на достижение требуемого уровня надёжности изделий.
Анализом
и исследованием этих вопросов занимается наука, которую
называют теорией надёжности. Основной её задачей является изучение
закономерностей возникновения отказов технических устройств. Эта наука
базируется на теории вероятности и математической статистики, поэтому все
расчёты надёжности носят вероятностный и статистический характер.
Рассмотрим основные термины и определения, используемые в теории
надёжности согласно ГОСТ 27.002–83 «Надёжность в
технике. Термины и
определения».
Работоспособность – состояние изделия, при котором оно способно
выполнять заданные функции с параметрами, установленными требованиями
нормативно–технической и конструкторско–технологической документа-
цией.
Отказ – событие, заключающееся в нарушении работоспособности
изделия.
Критерий отказа – признак, по которому оценивается надёжность различ-
ных изделий.
Безотказность – свойство изделия непрерывно сохранять работоспособ-
ное состояние в течение некоторого времени.
Наработка – продолжительность работы изделия в часах, циклах и т.п.
Наработка до отказа – наработка изделия от начала его эксплуатации до
возникновения первого отказа.
Предельное состояние – состояние изделия, при котором его дальнейшее
применение по назначению недопустимо или нецелесообразно.
Долговечность – свойство изделия сохранять работоспособное состояние
до наступления предельного состояния при установленной системе техничес-
кого обслуживания и ремонтов.
Ремонтопригодность – свойство изделия, заключающееся в возможности
к предупреждению и обнаружению причин возникновения отказов, к под-
держанию и восстановлению работоспособного состояния путём проведения
технического обслуживания и ремонтов.
Сохраняемость – свойство изделия сохранять значения показателей безот-
казности, долговечности и ремонтопригодности
в течение эксплуатации,
хранения и транспортирования.
24
Ресурс – наработка изделия от начала его эксплуатации или её возобнов-
ления после ремонта до перехода в предельное состояние.
Срок службы – календарная продолжительность от начала эксплуатации
изделия или её возобновления после ремонта до перехода в предельное
состояние.
Среднее время восстановления – это математическое ожидание времени
восстановления работоспособного состояния.
Конструктивно изделия делят
на невосстанавливаемые и восстанавливае-
мые. Невосстанавливаемыми называют такие изделия, которые в процессе
выполнения своих функций не допускают ремонта, а восстанавливаемые
допускают. Учитывая это свойство, отдельно рассчитывают и нормируют
показатели надёжности для восстанавливаемых и невосстанавливаемых
изделий.
Показатель надёжности – это количественная характеристика одного
или нескольких свойств, определяющих надёжность изделия.
3.2. Показатели надёжности невосстанавливаемых изделий
Основными нормируемыми показателями надёжности невосстанавливае-
мых изделий являются:
– вероятность безотказной работы P(t);
– вероятность отказа Q(t);
– частота отказов a(t);
– интенсивность отказов
λ(t);
– средняя наработка до первого отказа T
ср
.
Так как время наступления отказа T есть величина случайная, то Q(t) – это
вероятность того, что случайная величина Т примет значение меньшее или
равное t (интегральная функция распределения отказов), где t – время за ко-
торое определяется показатель надёжности, т.е. вероятностью отказа
называется вероятность того, что при определённых условиях эксплуатации
в
заданном интервале времени возникнет хотя бы один отказ
Q(t) = P(T
≤ t). (68)
Вероятностью безотказной работы P(t) называется вероятность того, что
при определённых условиях эксплуатации в заданном интервале времени или
в пределах заданной наработки t не произойдёт ни одного отказа
P(t) = P(T
> t). (69)
Так как безотказная работа и отказ являются событиями несовместными и
противоположными, то между ними справедливо следующее соотношение:
P(t) + Q(t) = 1. (70)
Так как Q(t) есть закон распределения случайной величины (отказов), то
зависимость между возможными значениями непрерывной случайной вели-
чины T и вероятностями попадания в
их окрестность называется её
плотностью вероятности.
Частота отказов a(t) есть плотность вероятности времени работы
изделия до первого отказа
25
a(t) =
d
t
tdP
d
t
tdQ )()(
−= . (71)
Интенсивностью отказов называется отношение числа отказавших изде-
лий в единицу времени к среднему числу изделий, исправно работающих в
данный отрезок времени. Вероятностная оценка этой характеристики
находится из выражения
λ(t) = a(t)/P(t). (72)
Средней наработкой до первого отказа T
ср
называется математическое
ожидание M[t] времени работы изделия до отказа. Как математическое
ожидание, T
ср
вычисляется через частоту отказов (плотность распределения
времени безотказной работы):
, (73)
∫
+∞
∞−
== dtttaTtM )(][
ср
так как t
> 0 и P(0) = 1, a P(∞) = 0, то .
∫
∞
=
0
ср
)( dttPT
Зная один из показателей надёжности и закон распределения отказов,
можно вычислить остальные характеристики надёжности с учётом следую-
щих формул:
, , λ(t) = a(t)/P(t) , . (74)
∫
=
t
0
)()( dttatQ
∫
−=
t
0
)(1)( dttatP
∫
λ−
=
t
0
dt)t(
)( etP
Пример 3.1. Интенсивность отказов изделия зависит от времени и выра-
жается функцией λ(t) = k
2
t/(1+ kt). Определить вероятность безотказной рабо-
ты, частоту отказов и среднюю наработку до первого отказа.
Решение:
Вероятность безотказной работы по формуле (74) P(t) = e
–kt
(1 + kt).
Частота отказов a(t) = k
2
t e
–kt
.
Средняя наработка до первого отказа T
cp
= 2/k.
Статистические оценки показателей надёжности невосстанавливаемых
изделий рассчитываются по следующим формулам.
Статистическая оценка вероятности отказа определяется по формуле
0
)/()( NtntQ
=
, (75)
где п(t) – число изделий, отказавших за время t; N
0
– число наблюдаемых
(испытываемых) изделий.
Статистическая оценка вероятности безотказной работы будет равна
)(tP = [N
0
– п(t)]/N
0
. (76)
Статистическая оценка частоты отказов
)(
t
a = n(∆t)/∆tN
0
, (77)
где n(∆t) – число изделий, отказавших в интервале времени от t – ∆t/2
до t + ∆t/2.
Статистическая оценка интенсивности отказов
λ (t) = n(∆t)/∆tN
cp
, (78)
26
где N
cp
= (N
i
+ N
i+1
)/2 – среднее число исправно работающих изделий в
интервале ∆t; N
i
– число изделий, исправно работающих в начале интервала
∆t; N
i+1
– число изделий, исправно работающих в конце интервала ∆t.
Зная моменты выхода из строя всех наблюдаемых изделий, можно дать
статистическую оценку средней наработки до первого отказа
0
N
1i
icp
0
NtT
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∑
=
, (79)
где t
i
– время безотказной работы i-го образца.
Имея данные о количестве вышедших из строя изделий п
i
в каждом i-м
интервале времени, статистическую оценку средней наработки до первого
отказа можно определить из уравнения
0
m
1i
cpiicp
NtnT
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≈
∑
=
, (80)
где t
cpi
= (t
i-1
+ t
i
)/2, m = t
k
/∆t; t
i-1
– время начала i-го, t
i
– время конца i-го
интервала; t
k
– время, в течение которого вышли из строя все изделия;
∆t = (t
i-1
– t
i
) – интервал времени.
Пример 3.2. На испытания поставлено 1000 изделий. За 3000 час отказало
80 изделий, а за интервал времени 3000 ÷ 4000 час отказало ещё 50 изделий.
Требуется определить вероятность безотказной работы и вероятность отказа
в течение 3000 час; частоту и интенсивность отказов в промежутке времени
3000 ÷ 4000 час.
Решение:
По формулам (75) и (76) определяем
92,0
1000
801000)(
(3000)
0
0
=
−
=
−
=
N
tnN
P ,
08,0
1000
80)(
(3000)
0
===
N
tn
Q или (3000)Q = 1 – Р(3000) = 1 – 0,92 = 0,08.
По формулам (77) и (78) находим:
,
час
1
105
10001000
50)(
(3500)
5
0
−
⋅=
⋅
==
tN
tn
a
∆
∆
.
час
1
106,5
2/)870920(1000
50)(
3500)(
5
cp
−
⋅≈
+
==
tN
tn
∆
∆
λ
3.3.Показатели надёжности восстанавливаемых изделий
Наиболее часто нормируемыми показателями надёжности восстанавливае-
мых изделий являются параметр потока отказов ω(t) и средняя наработка
на отказ t
ср
.
Статистической оценкой параметра потока отказов называется отношение
числа отказавших изделий в единицу времени к числу испытываемых
изделий при условии, что все вышедшие из строя изделия заменяются
исправными:
27
))/(()(
t
N
t
n
t
∆
∆
ω
=
, (81)
где n(∆t) – число изделий, отказавших в интервале времени t – ∆t/2 до
t + ∆t/2; N – число испытываемых изделий; ∆t – интервал времени.
Средней наработкой на отказ восстанавливаемого изделия называется
среднее значение времени между соседними отказами.
Для
одного изделия статистическая оценка средней наработки на отказ
будет равна
ntt
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∑
=
n
1i
icp
, (82)
где t
i
– время исправной работы изделия между (i – 1)-м и i-м отказами;
n – число отказов за время t.
Для
N наблюдаемых в течение времени t изделий статистическая оценка
средней наработки на отказ определяется по формуле
∑∑∑
===
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
N
1j
j
N
1j1i
ijcp
ntt , (83)
где t
ij
– время исправной работы j-го изделия между (i – 1)-м и i-м отказами;
n
j
– число отказов j-го изделия за время t.
Коэффициентом готовности называется отношение времени исправной
работы к сумме времени исправной работы и вынужденных простоев
изделия, взятых за один и тот же календарный срок.
Согласно определению статистическая оценка коэффициента готовности
будет равна
г
K = t
p
/(t
p
+ t
п
), (84)
где
– суммарное время исправной работы изделия; – сум-
марное время вынужденного простоя изделия; t
∑
=
=
n
1i
pip
tt
∑
=
=
n
1i
пiп
tt
pi
– время работы изделия
между (i – 1)-м и i-м отказами; t
пi
– время вынужденного простоя после i-го
отказа; n – число отказов (ремонтов) изделия.
Вероятностное определение коэффициента готовности можно получить
переходя от t
p
и t
п
к их математическим ожиданиям:
K
г
= t
cp
/(t
cp
+ t
в
), (85)
где t
в
– среднее время восстановления.
При t
cp
= T
cp
(поток отказов простейший)
K
г
= T
cp
/(T
cp
+ t
в
). (86)
Коэффициентом вынужденного простоя называется отношение вынуж-
денного простоя к сумме времени исправной работы и вынужденных просто-
ев изделия, взятых за один и тот же календарный срок.
Статистическая оценка коэффициента вынужденного простоя будет
равна
п
K = t
п
/(t
p
+ t
п
), (87)
а вероятностное значение определяется по формуле
K
п
= t
в
/(t
cp
+ t
в
). (88)
28
Между коэффициентом готовности и коэффициентом вынужденного
простоя существует зависимость
K
г
= 1 – K
п
. (89)
П р и м е ч а н и е. Коэффициент готовности не является функцией време-
ни работы изделия.
Если интенсивность отказов λ = const и интенсивность восстановления
µ = const, то вероятность застать изделие в исправном состоянии в любой
момент времени t определяется по формулам (функции готовности)
м)t(л-
г
)(
+
+
+
+
= etP
µλ
λ
µλ
µ
(90)
или
P
г
(t) = K
г
+ (1 – K
г
) . (91)
вг
t-t/K
e
Пример 3.3. В течение некоторого периода времени проводилось
наблюдение за работой одного восстанавливаемого изделия. За весь период
наблюдения было зарегестрировано 15 отказов. До начала наблюдения
изделие проработало 258 час, к концу наблюдения наработка изделия
составила 1233 час. Требуется определить среднюю наработку на отказ t
ср
.
Решение:
Наработка изделия за наблюдаемый период равна
t = t
2
– t
1
= 1233 – 258 = 975 час.
Принимая
= 975 час по формуле (82), находим среднюю наработку на
отказ:
∑
=
n
1i
i
t
ntt
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∑
=
n
1i
icp
= 975/15 = 65 час.
Пример 3.4. Проводилось наблюдение за работой трёх одинаковых вос-
станавливаемых изделий. За период наблюдения было зафиксировано по пер-
вому изделию 6 отказов, по второму – 11 отказов и по третьему – 8 отказов.
Наработка первого изделия составила 181 час, второго – 329 час и третьего –
245 час. Требуется определить среднюю наработку изделий на отказ.
Решение:
Суммарная наработка трёх изделий
==
∑∑
==
N
1j1i
ij
tt
Σ
181 + 329 + 245 = 755 час.
Суммарное количество отказов
==
∑
=
N
1j
j
nn
Σ
6 + 11 + 8 = 25 отказов.
Средняя наработка на отказ
∑∑∑
===
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
N
1j
j
N
1j1i
ijcp
ntt = / = 755/25 = 30,2 час.
Σ
t
Σ
n
Пример 3.5. Изделие имеет среднюю наработку на отказ t
cp
= 65 час и
среднее время восстановления t
в
= 1,25 час. Определить коэффициент
готовности изделия.
29
Решение:
По формуле (85) имеем
K
г
= t
cp
/(t
cp
+ t
в
) = 65/(65 + 1,25) = 0,98.
Пример 3.6. Известно, что интенсивность отказов изделия λ = 0,02 1/час, а
среднее время восстановления t
в
= 10 час. Требуется вычислить коэффициент
и функцию готовности изделия.
Решение:
Средняя наработка до первого отказа будет равна
Т
ср
= 1/λ = 1/0,02 = 50 час.
Коэффициент готовности определяем по формуле (86)
K
г
= T
cp
/(T
cp
+ t
в
) = 50/(50 + 10) = 0,83.
Функцию готовности определяем по формуле (91)
P
г
(t) = K
г
+ (1 – K
г
) = 0,83 + (1 – 0,83)е
вг
t-t/K
e
-t/0,83·10
= 0,83 + 0,17e
-0,12t
.
3.4. Законы распределения отказов
Любое техническое изделие с начала и до конца эксплуатации имеет три
характерных периода работы: приработки (0 < t < t
1
), нормальной эксплуата-
ции (t
1
< t < t
2
) и старения или износа (t > t
2
) (см. рис. 6).
λ
(t)
t
0 t
1
t
2
Рис.6
Период приработки характеризуется высокой интенсивностью отказов
(приработочные отказы), вызванные отклонением от требований
конструкторско-технологической документации, которые подчиняются
распределению Вейбулла и устраняются за счёт введения технологической
приработки («технологического прогона»).
Период нормальной эксплуатации характеризуется минимальной и
постоянной интенсивностями отказов. Эти отказы называются внезапными
,
носят случайный характер и подчиняются экспоненциальному закону распре-
деления.
Период старения или износа характеризуется резким увеличением интен-
сивности износовых отказов, которые подчиняются нормальному закону рас-
пределения (закону Гаусса).
Экспоненциальный закон распределения – однопараметрический закон с
постоянной интенсивностью отказов (λ = const).
30