Кучер В.Я. Основы технической диагностики и теории надёжности
Подождите немного. Документ загружается.
Вероятность безотказной работы, частота отказов и средняя наработка до
отказа определяются по формулам
P(t) = e
-λt
, a(t) = λe
-λt
, T
cp
= 1/λ. (92)
График изменения вероятности безотказной работы от времени при экспо-
ненциальном распределении отказов представлен на рис. 7.
P(t)
0 t
Рис. 7
Распределение Вейбулла – двухпараметрический закон с параметрами: λ
0
,
определяющим масштаб, и k, определяющим асимметрию.
Показатели надёжности при этом будут равны
, ,
k
0
t-
)(
λ
etP =
1-k
0
t-
1-k
0
л)(
λ
ektta =
1-k
0
)( ktt
λ
λ
=
,
k
1
0cp
1
1
λΓ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
k
T , (93)
где Γ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+1
1
k
– гамма–функция.
График изменения вероятности безотказной работы от времени при рас-
пределении отказов по закону Вейбулла представлен на рис. 8.
P(t)
0 t
Рис. 8
31
Нормальный закон распределения – двухпараметрический закон с пара-
метрами распределения: Т – математическое ожидание и σ – среднеквадра-
тичное отклонение.
Вероятность события в интервале времени от t
1
до t
2
определяется по
формуле
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=−=<<
2
Ф
2
Ф
2
1
)Ф()(Ф
2
1
) (
12
1221
σσ
TtTt
xxtttP , (94)
где Ф(х) – интеграл вероятности (интеграл Лапласа) вида
Ф(х) =
∫
x
0
t-
2
2
dte
π
. (95)
При использовании центрированной и нормированной функции Лапласа
Ф(z), где z = (t – T)/σ, вероятность безотказной работы определяется по
формуле
P(t) = 0,5 - Ф
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
σ
T-t
. (96)
График изменения вероятности безотказной работы от времени при нор-
мальном законе распределения отказов представлен на рис. 9.
P(t)
0
t
Рис. 9
Пример 3.7. Время работы изделия до отказа подчинено экспоненциаль-
ному закону распределения с параметром λ = 2,5·10
–5
1/час.
Определить количественные характеристики надёжности изделия P(t),
a(t), и T
cp
, если t = 1000 час.
Решение:
Используя формулы (92), получим.
Вероятность безотказной работы Р(1000) = е
–0,000025·1000
= е
–0,025
= 0,9753.
Частота отказов а(1000) = 2,5·10
–5
· е
–0,000025·1000
= 2,5·10
–5
·0,9753 =
= 2,439·10
–5
1/час.
Средняя наработка до первого отказа Т
ср
= 1/λ = 1/2,5·10
–5
= 40 000 час.
Пример 3.8. Время безотказной работы изделия подчиняется закону
Вейбулла с параметрами k = 1,5 и λ
0
= 10
–4
1/час, а время его работы t = 100 ч.
32
Определить количественные характеристики надёжности изделия.
Решение:
Используя формулы (93), получим.
Вероятность безотказной работы
.
9,0(100)
5,1-4
100-10
==
⋅
eP
Частота отказов а(100) = 10
-4
·1,5·100
1,5 – 1
·0,9 = 1,35·10
-3
1/час.
Интенсивность отказов λ(100) = а(100)/Р(100) = 1,35·10
-3
/0,9 =1,5·10
-3
1/час.
Для вычисления средней наработки до первого отказа определяем значе-
ние гамма-функции из табл. [11], [12] для х = (1/k) + 1 = (1/1,5) + 1 ≈1,67.
Подставляя в формулу для Т
ср
значение гамма-функции Г(х) = 0,9033 и
параметры распределения λ и k, получим
Т
ср
= 0,9033/(10
-4
)
1/1,5
≈ 418 час.
3.5. Структурная надёжность
Структурной надёжностью изделия называется результирующая надёж-
ность при заданной структуре и известных значениях надёжности всех вхо-
дящих в него блоков и элементов. Разбиение изделия на блоки и элементы
осуществляется на базе единства функционирования и физических процесс-
сов, происходящих при его работе.
Если отказ технического устройства наступает при отказе одного
из его
элементов, то такое устройство имеет основное соединение элементов. При
расчёте надёжности таких устройств отказ элемента является событием слу-
чайным и независимым, а вероятность безотказной работы изделия в течение
времени t равна произведению вероятностей его элементов в течение того же
времени:
(97)
∏
=
==
N
1i
iN21
)()()...()()( tptptptptP
или
. (98)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
∑
∫
=
N
1i
t
0
i
)(exp)( dtttP λ
При экспоненциальном законе распределения отказов, т.е. для нормально-
го периода работы
P(t) = e
–λt
= e
–t/Tcp
, a(t) = λe
λt
, T
cp
= 1/λ, λ = , (99)
∑
=
N
1i
i
λ
где λ
i
– интенсивность отказов i-го элемента.
При расчёте высоконадёжных изделий с достаточной для практики точ-
ностью можно пользоваться приближёнными формулами
P(t) ≈ 1 – t
= 1 – λt, λ =
∑
, T = 1/ = 1/λ, a(t) ≈ λ(1 – λt); (100)
∑
=
r
1i
ii
λN
=
r
1i
ii
λN
∑
=
r
1i
ii
λN
p
1
(t)p
2
(t)…p
N
(t) ≈ 1 –
∑
, p
=
N
1i
i
)(tq
i
N
(t) = 1 – Nq
i
(t),
N
i
)(tp = 1 – q
i
(t)/N, (101)
где r – число типов элементов, q
i
(t) – вероятность отказа i-го элемента.
33
Одним из методов повышения надёжности является резервирование.
Резервированным соединением изделий называется такое соединение, при
котором отказ наступает только после отказа основного изделия и всех
резервных изделий.
Основным параметром резервирования является его кратность т, отноше-
ние числа резервных изделий к числу резервируемых (основных). Различают
резервирование с целой и дробной кратностью. При
резервировании с целой
кратностью величина т – целое число, при резервировании с дробной
кратностью т – дробное.
По способу включения резервирование делится на постоянное и резерви-
рование замещением. Постоянное резервирование – резервирование, при
котором резервные изделия подключены к основным в течение всего
времени работы и находятся в одинаковом с ними режиме. Резервирование
замещением
– резервирование при котором резервные изделия замещают
основные после их отказа.
При включении резерва по способу замещения резервные элементы до
момента включения в работу могут находиться в трёх состояниях:
– нагруженном резерве;
– облегчённом резерве;
– ненагруженном резерве.
Если элементы резервированных устройств имеют отказы вида: «обрыв»
или «короткое замыкание», то вероятность безотказной
работы следует
вычислять, суммируя вероятности всех благоприятных (не приводящих к
отказу) гипотез
P(t) =
, (102)
∑
=
k
1j
j
)(tp
где p
j
(t) – вероятность j-й благоприятной гипотезы, вычисленной с учётом
двух видов отказов; k – число благоприятных гипотез.
Для элементов сложной системы справедливы выражения
p(t) = exp
, q
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
∫
dtt
t
0
λ
0
+ q
кз
= 1, (103)
где λ(t) – интенсивность отказов элемента; q
0
, q
кз
– вероятность возникнове-
ния «обрыва» и «короткого замыкания» соответственно.
При экспоненциальном законе распределения отказов
р(t) = е
-λt
, q
0
= λ
0
/(λ
0
+ λ
кз
), q
кз
= λ
кз
/(λ
0
+ λ
кз
), (104)
где λ
0
, λ
кз
– интенсивность отказов элемента по «обрыву» и «короткому
замыканию».
3.6. Оценка показателей надёжности по статистической информации
об отказах при эксплуатации и испытаниях
При оценке показателей надёжности изделий по статистической информа-
ции об отказах при эксплуатации определяется закон распределения отказов
34
и его параметры. По найденному закону рассчитывается любая характеристи-
ка надёжности изделия.
Методика определения закона распределения включает в себя следующие
этапы: подготовку опытных данных, построение гистограммы и проверку
соответствия закона распределения с использованием одного из критериев
согласия (Колмогорова, Пирсона, Стьюдента, Фишера и др.).
Этап I. Полученная информация систематизируется в порядке возраста-
ния времени наблюдения, которое разбивается на одинаковые интервалы (см.
табл. 4).
Таблица 4
Исходные данные для определения закона распределения отказов
∆t
i
n(∆t
i
)
P(t) = 1 – n(t)/N
0
a(t) = n(∆t
i
)/N
0
∆t
i
λ(t) = n(∆t
i
)/N
cp
∆t
i
1 2 3 4 5
Этап II. По данным табл. 4 строится гистограмма требуемого показателя
надёжности и аппроксимируется кривой, по виду которой ориентировочно
устанавливается закон распределения отказов путём сравнения с соответ-
ствующими теоретическими кривыми (см. рис. 10).
P(t)
"
t
Рис. 10
Этап III. Проверка соответствия принятого закона распределения отказов
осуществляется по критериям согласия, наиболее распространёнными из
которых являются критерий Пирсона и критерий Колмогорова.
По критерию Пирсона вычисляют вероятность вида
Р(χ
2
≤ ∆ < ∞) = , (105)
∫
∞
2
ч
r
)( duuk
где ∆ – мера расхождения; χ
2
– функция плотности распределения
35
χ
2
=
(
)
∑
−
k
ч
i
ii
2
np
npn
, (106)
где п – общее число наблюдаемых изделий; р
i
= п
i
/п частость i-го интервала
статистического ряда; k – число интервалов статистического ряда;
k
r
(u) =
(
)
()
/2Г2
2/r
u/21r/2
r
eu
−−
, (107)
где r = k – 1 – число степеней свободы распределения.
Если вероятность Р(χ
2
≤ ∆ < 0,1) ≥ 0,1 , то экспериментальное распреде-
ление соответствует теоретическому.
По критерию Колмогорова соответствие теоретического и эксперимен-
тального распределений проверяется по выполнению условия
D
1≤k , (108)
где D – наибольшее отклонение теоретической кривой распределения от экс-
периментальной; k – общее количество экспериментальных точек.
Пример 3.9. В результате опыта получен следующий вариационный ряд
времени исправной работы в часах:
2; 3; 3; 5; 6;
7; 8; 8; 9; 9;
13; 15; 16; 17; 18;
20; 21; 25; 28; 35;
37; 53; 56; 69; 77;
86; 98; 119.
Требуется установить закон распределения времени безотказной работы.
Решение:
Общее число отказов ∑п
i
= 28.
Заполняем табл. 5 по форме табл. 4.
Таблица 5
Статистические данные об отказах
∆t
i
, час 0 – 20 20 – 40 40 – 60 60 – 80 80 – 100 100 – 120
n(∆t
i
) 16 5 2 2 2 1
λ(∆t
i
), 1/час 0,0400 0,0263 0,0167 0,0250 0,0500 ―
Строим гистограмму λ(t) (cм. рис. 11).
λ(∆t)
λ
ср
0 t
Рис. 11
36
Находим среднее значение λ
ср
и наибольшее отклонение D:
час
1
0316,0
5
5000,00250,00167,00263,00400,0
cp
=
+
+
+
+
=λ ,
D = λ
max
– λ
cp
= 0,0500 – 0,0316 = 0,0184 1/час.
Проверяем экспериментальное распределение на соответствие предпола-
гаемому экспоненциальному распределению по критерию согласия
Колмогорова (108):
097,0280184,0 ==kD < 1.
В соответствии с критерием считаем, что закон распределения отказов
экспоненциальный.
В результате испытаний получают точечные и интервальные оценки
(доверительные интервалы). При интервальных оценках определяется, какой
интервал оценок с заданной доверительной вероятностью α накрывает мате-
матическое ожидание оцениваемого параметра θ.
α = Вер(θ
н
≤ θ ≤ θ
в
), (109)
где θ
н
, θ
в
– нижняя и верхняя доверительные границы параметра θ.
Вероятность того, что значение θ выйдет из интервала [θ
н
, θ
в
], называют
уровнем значимости β.
β = Вер(θ
н
> θ > θ
в
) = 1 – α. (110)
Часто устанавливают одну из границ интервала: нижнюю или верхнюю с
доверительными вероятностями α
1
или α
2
соответственно (односторонний
доверительный интервал)
α
1
= Вер(θ ≥ θ
н
), (111)
α
2
= Вер(θ ≤ θ
в
), (112)
α = α
1
+ α
2
– 1. (113)
Для разных законов распределения отказов составляют различные планы
испытаний. При проведении испытаний наиболее часто применяются сле-
дующие законы распределения: экспоненциальный, нормальный, биномиаль-
ный и гамма распределение. Оценки показателей надёжности рассчитывают-
ся по формулам, приведённым в табл. 6 для разных законов распределения
согласно планам испытаний, которые обозначаются с помощью трёх букв
:
первая буква п означает объём выборки;
вторая буква Б или В означает планы без восстановления или с восстанов-
лением выборки;
третья буква п, t
0
или d. Планы, заканчивающиеся при отказе всех образ-
цов выборки, обозначаются буквой п; планы, заканчивающиеся через задан-
ное время, обозначаются буквой t
0
; планы, заканчивающиеся после появле-
ния установленного числа отказов, обозначаются буквой d;
t
d
– время от начала испытаний до d-го отказа;
t
Σ
– суммарная наработка.
Планы испытаний и интервальные оценки показателей надёжности соглас-
но этим планам приведены в табл. 6.
37
Таблица 6
Планы испытаний и интервальные оценки
Планы
испы-
таний
Суммарная
наработка,
t
Σ
Оценка
интенсивности
отказов,
λ
Нижняя
граница
λ
н
Верхняя
граница
λ
в
1 2 3 4 5
[nБn]
∑
=
n
1i
i
t
Σ
t
n
Σ
χ
t2
2
n)2)(б1(
1
−
Σ
α
χ
t2
2
)n2)((
2
[nБt
0
]
d ≠ 0
0
d
1i
i
)-( tdnt +
∑
=
Σ
t
d
Σ
α
χ
t2
2
)d2)(1(
1
−
Σ
χ
t2
2
)d2)((б
2
[nБt
0
]
d = 0
nt
0
― 0
Σ
t
r
0
[nБd]
0
d
1i
i
)-( tdnt +
∑
=
Σ
t
-d 1
Σ
α
χ
t2
2
)d2)(1(
1
−
Σ
χ
t2
2
)d2)((б
2
[nВt
0
] nt
0
Σ
t
d
Σ
α
χ
t2
2
)d2)(1(
1
−
Σ
χ
t2
2
)2d2)((б
2
+
[nBd] nt
d
Σ
t
-d 1
Σ
α
χ
t2
2
)d2)(1(
1
−
Σ
χ
t2
2
)d2)((б
2
П р и м е ч а н и е. Значения квантилей χ
2
распределения выбираются из
таблиц [11], [12] в зависимости от заданной доверительной вероятности и
числа степеней свободы. Значения коэффициента r
0
для доверительной
вероятности α = 0,8 ÷ 0,999 приведены в табл. 7.
Таблица 7
Значения коэффициента r
0
α 0,999 0,990 0,975 0,950 0,900 0,800
r
0
6,91 4,60 3,69 3,00 2,30 1,61
Экспоненциальное распределение используется для оценки внезапных
отказов. Интервальные оценки показателей безотказности рассчитываются
по формулам
P
н
(t) = exp(–λ
в
t) = exp(–t/T
н
), (114)
P
в
(t) = exp(–λ
н
t) = exp(–t/T
в
), (115)
T
н
= 1/λ
в
, T
в
= 1/λ
н
. (116)
Нормальный закон распределения отказов используется для оценки
постепенных отказов. Плотность нормального распределения для случайной
величины Т в интервале [– ∞; + ∞] равна
38
f(t) =
(
)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
2
2
2
xpe
2
1
σ
πσ
T-t
, (117)
Так как случайная величина Т лежит в интервале [0; + ∞], то для оценки
показателей надёжности принимается усечённое нормальное распределение с
плотностью распределения
f(t) =
(
)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
2
2
1
2
xpe
2
σ
πσ
T-tс
, (118)
где с – нормирующий множитель, который определяется из выражения
с
, (119)
∫
∞
=
0
1)()( tdtf
с = 1/F(T
1
/σ) = 1/[0,5 + Ф
0
(T
1
/σ)], (120)
где F(T
1
/σ) – интегральная функция нормального распределения, а Ф
0
(T
1
/σ) –
центрированная и нормированная функция Лапласа.
Средняя наработка до отказа и параметр Т
1
усечённого нормального рас-
пределения связаны зависимостью
Т = Т
1
+
22
1
у2/T
1
2
-
e
F
F
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
σ
π
σ
. (121)
При испытании выборки объёмом в п изделий с наработкой t
1
, t, … , t
n
параметры распределения Т и σ оцениваются по формулам
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∑
=
ntT
n
1i
i
, (122)
()
∑
=
−==
n
1i
2
i
1-
1
Tt
n
Sσ , (123)
Т
н
=
n
S
t-T
)1n(
1
−α
, (124)
Т
в
=
n
S
t-T
)1n(
2
−α
, (125)
где t
α(n – 1)
– квантиль распределения Стьюдента для вероятности α или уровня
значимости β = 1 – α и числа степеней свободы f = n – 1.
σ
н
=
2
1)-в/2)(n-(1
1-
χ
n
S
, (126)
σ
в
=
2
1)-/2)(n(
1
β
χ
-n
S
, (127)
где χ
2
(1-β/2)(n -1)
– квантиль хи-квадрат распределения при вероятности р=1 – β/2
и числе степеней свободы k = n – 1; χ
2
(β/2)(n – 1)
– то же для вероятности р = β/2.
Если время безотказной работы устройства имеет нормальное распределе-
ние, то оценка вероятности безотказной работы за время t определяется по
формуле
39
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
S
T
S
T-t
tP
00
ФФ-1)( , (128)
где Ф
0
(z) – центрированная и нормированная функция Лапласа.
Так как функция Ф
0
(z) нечётная, т.е. Ф
0
(–z) = –Ф
0
(z), то
Р
н
(t) ≈ Р(t) – и
α
σ
, (129)
где и
α
– квантиль нормального распределения (при Т = 0 и σ = 1); σ – оценка
стандартного отклонения
)(tP .
σ = k
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
2
5,01
1
S
T-t
n
, (130)
k = 0,4exp
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
2
5,0
S
T-t
. (131)
Если при испытаниях не регистрируются наработки испытываемых изде-
лий, а регистрируются только отказы, то оценки вероятности безотказной
работы и вероятности отказа будут равны
P
= (n – d)/n, Q = d/n, (132)
где
P
и Q – оценки вероятности безотказной работы и вероятности отказов
соответственно;
п – объём выборки; d – число зарегистрированных отказов.
Доверительные границы вероятности отказа определяются по формулам
2
)d2)(-(1
2
)d2)(1(
н
1
1
0,512
α
α
χ
χ
++
=
−
d-n
Q
, (133)
2
)2d2)((
2
)2d2)((
в
2
2
0,52
+
+
+
=
α
α
χ
χ
d-n
Q
, (134)
где
– квантиль хи-квадрат распределения с k = 2d степенями свободы
для вероятности α
2
)d2)(1(
1
ч
α−
1
; – квантиль хи-квадрат распределения с k = 2(d+1)
2
)2d2)((
2
ч
+α
степенями свободы для вероятности α
2
.
Если число отказов
d = 0, то
Q ≈ 1/(п + 1), Q
н
= 0, Q
в
= 1 -
n
2
1 α− . (135)
Объём выборки
п при проведении испытаний для оценки Q c абсолютной
ошибкой ε при доверительной вероятности α рассчитывается из уравнения
п =
2
2
ε
α
u
Q
0
(1 – Q), (136)
где
и
α
– квантиль нормального распределения для р = α; Q
0
– ориентировоч-
ное значение вероятности отказа.
3.7. Испытания на надёжность
Испытания на надёжность делятся на определительные и контрольные.
Определительные испытания изделий на надёжность проводятся с целью
определения фактических количественных показателей надёжности для
40