Решение пункта 3. Победит первый. Ходит 2+9, далее у второго
три варианта: 2+1+8, 2+3+6 и 2+4+5, но после любого из них
первый побеждает: 1+2+3+5. Отметим, что за неудачный ход, напри-
мер 1+10, первый будет немедленно наказан: 1+4+6.
Решение пункта 4. Победит тоже первый. Начнём с того, что мини-
мальное число будет 1, потому что общий вид разложений, начи-
нающихся с двойки, указан выше, и 22 нельзя так разложить. Из
оценок, также приведённых выше, следует, что число куч в конеч-
ном разложении числа 22 равно 5 или 6. Ищем суммы в пять сла-
гаемых. Первое 1, пятое от 8 до 10, перебор показывает, что есть
четыре варианта: 1+3+4+6+8, 1+2+5+6+8, 1+2+4+6+9,
1+2+3+6+10. Вариант с 6-ю слагаемыми тоже есть и один, конечно:
1+2+3+4+5+7. Этот-то вариант и надо первому обеспечить, в
то время как второй имеет целых четыре выигрышные комбинации.
Однако победит именно первый! Обратим внимание, что если в какой-
то момент появились кучи 2+3+4 или 1+3+5, то первый победил,
потому что они уже никуда не денутся, а в победных комбинациях
второго таких нет. Набор 3+4+5 тоже гарантирует победу первому:
тут, правда, 5 можно расщепить на 1+4,но1+2+3+4 уже точно
запрещает второму выигрыш. Теперь укажем правильную игру для
первого. Первым ходом он может пойти 3+19. Рассмотрим ходы вто-
рого. Если он будет разбивать 19, то ему нельзя создавать маленькие
кучи. Именно, если он отщепит от девятнадцати 1, первый отщепит 5,
если 2,топервый4 и так далее до 5. Если второй отщепит 6, 7 или 9,
то первый сможет их разбить на 1+5, 2+5 и 4+5 соответственно и
создать себе гарантию победы. На единственный же оставшийся ход
второго 3+8+11первый ответит 1+3+7+11и победит, потому пер-
вому теперь надо разрушить и 7,и11, а за один ход этого не сделать.
Остаётся, правда, ещё возможность для второго разбивать вначале 3,а
не 19.Нона1+2+19 первый ответит 1+2+7+12 и снова кучи 7 и
12 второму за ход не разбить.
Мы очень просим всех, кому удастся понять что-то новое про эту
игру, написать об этом в оргкомитет Турнира Ломоносова.
Игру эту, которую автор представлял себе как сосредоточенное,
неторопливое раскладывание камней наподобие калаха, многие юные
участники, в основном мальчики (видимо, опираясь на слово «разбить»)
восприняли почему-то как разудалую игру, где участники чуть ли не
кидаются камнями: «Ударить по куче в 11 камней, и те перелетят к 5
камням» (Андрей, 7 класс, Москва); «Игрок должен стрелять по кучке
из 5, тогда он разобьёт её на 2 и 3» (Виталик, 7 класс, Москва).
19