Кузнецов С.И., Мельникова Т.Н., Степанова Е.Н. Сборник задач по физике с решениями. Геометрическая, волновая и квантовая оптика
Подождите немного. Документ загружается.
45°. Определите показатель преломления жидкости. Ответ округлите до
сотых.
Дано:
Решение:
= 30°
= 45°
n
1
= 1
S
2
1
n
1
n
2
Запишем закон преломления
для первого и второго лучей.
.
n
n
1
2
sin
sin
.
n
n
1
2
sin
sin
n
2
= ?
В этих уравнениях правые части равны, приравняем и левые.
.
sin
sin
sin
sin
(1)
В полученном выражении два неизвестных и . Выразим одно
неизвестное через другое. Из рисунка:
= 90 - ,
= 180 - - 90 = 90 - = 90 - 90 + = .
= 90 - = 90 - . (2)
Подставим полученное выражение (2) в (1).
.
sin
cos
sin
90sin
sin
sin
sin
sin
cos
sin
.,7070tg
sin45
sin30
sin
sin
= arctg 0,707 35.
Полученное значение угла подставим в закон преломления и
рассчитаем показатель преломления жидкости.
.
n
n
1
2
sin
sin
.151
3
3
1
12
,nn
0sin
5sin
sin
sin
Ответ: n = 1,15
4. На дне стеклянной ванны лежит зеркало, поверх которого налит слой
воды высотой 20 см. В воздухе на высоте 30 см над поверхностью воды
висит лампа. На каком расстоянии от поверхности воды смотрящий в
воду наблюдатель будет видеть изображение лампы в зеркале?
Показатель преломления воды 1,33. Результат представьте в единицах
СИ и округлите до десятых.
Дано:
Решение:
h
1
= 20 см = 0,2 см
h
2
= 30 см = 0,3 см
n
1
= 1
n
2
= 1,33
n
2
S
S
a
b
b
h
1
h
2
n
1
Выполним рисунок. Здесь S`
- мнимое изображение.
Запишем закон преломления.
.
n
n
1
2
sin
sin
Из рисунка видно, что
2
tg
h
a
(1)
h = ?
1
tg
h
b
(2)
Кроме того
h
ba 2
tg
. (3)
Для малых углов и выполняется соотношение
tg
tg
sin
sin
. (4)
Решая совместно уравнения (1), (2), (3) и (4) имеем:
11
22
nh
nbh
a
;
22
11
hn
nah
b
.
h
hn
nh
h
hn
nah
a
h
ba
h
a
22
11
22
11
2
212
2
.
Из полученного выражения найдем расстояние от поверхности воды
до изображения лампы в зеркале.
.,
,,
,
,
hn
nh
hh м60
30331
1202
130
2
1
22
11
2
Ответ: h = 0,6 м
5. Точка А движется с постоянной скоростью 2 см/с в направлении, как
показано на рисунке. С какой скоростью движется
изображение этой точки, если расстояние этой точки от
линзы 0,15 м, а фокусное расстояние линзы 0,1 м? Ответ
представьте к сантиметрах за секунду.
Дано:
Решение:
= 2 см/с = 210
-2
см/с
d = 0,15 м
F = 0,1 м
S
F
O
S
F
Коэффициент
увеличения линзы:
,
d
f
h
H
Г
где h – высота предмета,
H – высота изображения,
d – расстояние от
= ?
оптического центра линзы до предмета, f – расстояние от оптического
центра линзы до изображения. В этой формуле h и H соответствуют
скоростям и , следовательно, ее можно записать в виде:
.
d
f
Т.е. для определения скорости необходимо знать расстояние f,
которое можно найти из формулы тонкой линзы. Для собирающей
линзы:
.
fdF
111
.
dF
F-d
dFf
111
.
F-d
dF
f
Тогда скорость , с которой движется изображение точки, будет
равна.
.
F-d
F
F-dd
dF
d
f
.//,
,,
,,
ссм4см040
10150
10020
Ответ: = 4 cм/с
6. Стальной шарик падает без начальной скорости с высоты h, равной
0,9 м, на собирающую линзу и разбивает ее. В начальный момент
расстояние от шарика до линзы равнялось расстоянию от линзы до
действительного изображения шарика. Сколько времени существовало
мнимое изображение? Принять g = 10 м/с
2
. Ответ представьте в
единицах СИ и округлите до сотых.
Дано:
Решение:
0
= 0
h = 0,9 м
g = 10 м/с
2
d = f
Формула тонкой собирающей линзы:
.
fdF
111
С учетом условия задачи
d = f
t = ?
имеем
.
dfdF
2111
Отсюда определим фокусное расстояние F линзы.
.,
,d
F м450
2
90
2
Линза дает действительное изображение шарика на отрезке пути от
2F до F, т.е шарик прошел путь S
1
, равный d/2. Движение в данном
случае равноускоренное с ускорением g.
.
gg
S
22
2
1
2
0
2
1
1
Определим из этой формулы скорость
1
, которую приобретает
шарик.
./,gS см34501022
11
На участке движения шарика от F до оптического центра линзы О,
линза дает мнимое изображение шарика. Расстояние, пройденное на
этом участке, можно записать в виде:
.
gt
tS
2
2
12
S
2
= F.
Подставим численные значения. Подучили квадратное уравнение.
5t
2
+ 3t – 0,45 = 0 или t
2
+ 0,6t – 0,09 = 0.
.
,,,
t
2
36036060
t
1
0,12 c, t
2
- 0,72 c.
Второй корень не имеет смысла, т.е. время существования мнимого
изображения t будет равно.
t = 0,12 c.
Ответ: t = 0,12 с
7. Фотографируется момент погружения в воду прыгуна с вышки
высотой 4,9 м. Фотограф находится у воды на расстоянии 10 м от места
погружения. Фокусное расстояние объектива фотоаппарата равно 20 см.
На негативе допустимо "размытие" изображения не более 0,05 мм. На
какое наибольшее время (в миллисекундах) должен быть открыт затвор
фотоаппарата?
Дано:
Решение:
l = 4,9 м
d = 10 м
F = 20 см = 0,2 м
х = 0,05 мм = 510
-5
м
0
= 0
В момент погружения прыгуна ив воду он
приобретает скорость, равную:
.
gg
l
22
2
2
0
2
Отсюда
.gl2
t = ?
За то время, пока открыт затвор фотоаппарата, прыгун проходит
расстояние
h = t.
При этом "размытие" изображения на пленке за это же время равно
H = х= t.
Коэффициент увеличения линзы.
.
d
f
h
H
Г
Здесь расстояние от линзы до изображения f можно определить из
формулы тонкой линзы. В фотоаппарате стоит собирающая линза.
.
fdF
111
.
F-d
dF
f
В итоге:
.
F-dd
dF
t
t
.
F-d
F
F-dd
dF
.
F-d
glF
F-d
F
2
Тогда время, на которое доложен быть открыт затвор фотоаппарата,
найдем из соотношения:
х = t
.
glF
F-dx
t
2
.,
,,,
,
t мс250c1025
9489220
2010105
5
5
Ответ: t = 0,25 с
8. Объектив проекционного аппарата с фокусным расстоянием 0,15 м
расположен на расстоянии 4,65 м от экрана. Определите площадь
изображения на экране, если площадь диапозитива равна 4,32 см
2
.
Результат представьте в единицах СИ и округлите до сотых.
Дано:
Решение:
F = 0,15 м
f = 4,65 м
S = 4,32 см
2
= 4,3210
-4
м
2
Формула тонкой линзы:
.
fdF
111
Коэффициент увеличения линзы:
S = ?
d
f
h
H
Г
.
f
d
Г
Здесь H и h – высота изображения и высота предмета соответственно.
В нашей задаче предмет представляет собой площадку, следовательно,
SH
и
,Sh
где S – площадка диапозитива.
Тогда коэффициент увеличения линзы запишем в виде:
S
S
2
Г
S` = Г
2
S.
Формула тонкой линзы примет вид:
ffF
1Г1
;
.
Ff
F-f
fFf
11Г
Выразим отсбда коэффициент увеличения линзы.
.
F
Ff
fF
Fff
Г
.
,
,,
30
150
150654
Г
Теперь определим площадь изображения на экране.
S` = Г
2
S.
После подстановки численных значений и расчетов получим площадь
изображения.
S = 30
2
4,3210
-4
= 0,3888 (м
2
) 0,39 (м
2
)
Ответ: S = 0,39 м
2
9. Найдите коэффициент увеличения изображения предмета АВ,
даваемого тонкой рассеивающей линзой с фокусным расстоянием F.
Результат округлите до сотых.
Дано:
Решение:
АВ
F
Построим изображение предмета АВ в
рассеивающей линзе. Изображение АВ -
уменьшенное и мнимое.
Г = ?
F
2F
F
2F
побочная
оптическая ось
F
A
A
B
B
фокальная
плоскость
Запишем формулу тонкой рассеивающей линзы для точек А и В:
11
111
fdF
;
22
111
fdF
.
Из рисунка видно, что
d
1
= 2F; d
2
= F.
Выразим расстояние от линзы до изображения f:
F
FF
FF
Fd
Fd
f
3
2
2
2
1
1
1
;
2d
d
2
2
2
F
FF
FF
F
F
f
.
Величина предмета АВ и величина изображения АВ согласно
чертежу равны расстояниям:
АВ = d
1
– d
2
= F;
FF
F
ffBA
6
1
3
2
2
12
.
И тогда коэффициент увеличения линзы
.,
F
F
AB
BA
170
6
Г
Ответ: Г = 0,17
10. На отверстие радиусом r = 1 см падает сходящийся пучок света.
Если в отверстие поместить собирающую линзу, то лучи пересекутся в
точке, расположенной на расстоянии L = 6,3 см от центра отверстия.
Оптическая сила линзы D = 10 дптр. Определите угол между лучом,
падающим на край отверстия, и осью пучка света. Ответ округлите до
десятых.
Дано:
Решение:
r = 1 см = 10
-2
м
L = 6,3 см = 6,310
-2
м
D = 10 дптр
x
y
F
L
O
r
1
2
1
3
= ?
Чтобы решение задачи было более понятным, выполним рисунок.
Если бы свет падал на отверстие параллельно главной оптической оси
(проходящей через оптический центр линзы О), то все лучи сошлись бы
в фокусе линзы (точка 1). Но у нас сходящийся пучок света, крайний
луч которого падает под углом , следовательно, он пройдет через
побочный фокус (точка 1). Эта точка фокальной плоскости
вспомогательной оптической оси, проведенной параллельно падающему
лучу. Тогда угол 1О1 тоже будет равен , как накрест лежащий. Его
можно будет определить из этого треугольника как
tg =
F
x
,
где F – фокусное расстояние - величина, обратная оптической силе D:
F =
D
1
.
Тогда
tg = xD. (1)
Величину х определим их треугольника 121.
tg =
y
x
,
а
у = F – L =
D
1
- L =
D
DL1
.
tg =
DL
D
x
1
. (2)
Угол 32О также равен , как накрест лежащий. Отсюда
tg =
L
r
. (3)
В уравнениях (2) и (3) приравняем правые части.
DL
xD
1
=
L
r
и выразим неизвестное х.
х =
DL
DLr 1
.
Подставим полученное выражение в уравнение (1).
tg =
DL
DLr 1
D =
L
DLr 1
. (4)
Из уравнения (4) найдем угол между лучом, падающим на край
отверстия, и осью пучка света.
= arctg
L
DLr 1
.
Подставим численные значения и произведем вычисления.
= arctg
0630
0630101010
.
.,
= 3,4.
Ответ: = 3,4.
11. В установке Юнга (см. рисунок), находящейся в воздухе, расстояние
d между щелями S
1
и S
2
равно 1 мм, а расстояние L от щелей до экрана 3
м. Определите разность хода лучей, приходящих в точку экрана М, если
расстояние l до нее от центра экрана 3 мм. Ответ представьте в
микрометрах.
Дано:
Решение:
d = 1 мм = 10
-3
м
L = 3 м
l
к
= 3 мм = 310
-3
м
По условию задачи в
точке М на экране
наблюдается светлое пятно,
т.е. должно выполняться
условие максимума при
интерференции.
= ?
= k – условие максимума,
где k – порядок максимума, - разность хода лучей. Из рисунка
разность хода лучей равна
= r
2
– r
1
.
Запишем для треугольников теорему Пифагора.
,
d
dllL
d
lLr
42
2
к
2
к
2
2
к
22
1
(1)
.
d
dllL
d
lLr
42
2
к
2
к
2
2
к
22
2
(2)
Из второго уравнения вычтем первое.
.dl
d
dllL
d
dllLrr
к
2
к
2
к
2
2
к
2
к
22
1
2
2
2
44
В левой части уравнения разность распишем квадратов.
.rrrrrr
1212
2
1
2
2
Здесь (r
2
– r
1
) = , а (r
2
+ r
1
) 2L. Тогда
2L = 2l
к
d или L = l
к
d.
Отсюда
.
L
dl
мкм1м10
3
10103
6
33
к
Ответ: = 1 мкм
12. На поверхность стеклянной призмы нанесена тонкая пленка с
показателем преломления п
пл
< п
ст
толщиной 112,5 нм. На пленку по
нормали к ней падает свет с длиной волны 630 нм. При каком значении
показателя преломления п
пл
пленка будет «просветляющей»?
Дано:
Решение:
п
пл
< п
ст
d = 112,5 нм = 1,12510
-7
м
= 630 нм = 6,310
-7
м
max
Просветляющая пленка удовлетворяет
условию максимума при интерференции.
= k.
Луч света, отраженный от стекла отстает от
луча, отраженного от пленки на расстояние,
равное, разности хода лучей.
п
пл
= ?
.dn
2
2
пл
Поправка на
2
учитывается при отражении от более плотной среды.
Приравняем правые части полученных выражений.
.dnk
2
2
пл
Отсюда выразим показатель преломления п
пл
пленки.