Кузнецов С.И., Мельникова Т.Н., Степанова Е.Н. Сборник задач по физике с решениями. Переменный ток. Колебания и волны
Подождите немного. Документ загружается.
11
Скорость распространения электромагнитных волн в среде
εμ
υ
c
.
Скорость света в вакууме
00
με
1
c
.
Абсолютный показатель преломления среды
εμ
υ
c
n
.
Объемная плотность энергии ЭВМ
2
μμ
2
εε
2
0
2
0
мэ
HE
www
.
Плотность потока энергии
EHwS υ
.
Вектор Умова – Пойнтинга
]H,E[S
.
Интенсивность ЭВМ
SJ
или
2
2
θsin
r
J
.
Давление света
c
K
JP
1
или
θcos
1
c
K
JP
.
12
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
1. Тяжелый шарик, подвешенный на нити длиной 1 м,
описывает окружность в горизонтальной плоскости (конический
маятник). Найдите период обращения шарика, если маятник находится в
лифте, движущемся с ускорением 5 м/с
2
, направленным вниз. Нить
составляет с вертикальным направлением угол 60, ускорение
свободного падения 10 м/с
2
. Результат представьте в единицах СИ и
округлите до целого числа.
Дано:
Решение:
l = 1 м
а
л
= 5 м/с
2
= 60
g = 10 м/с
2
Т = ?
mg
а
ц
y
x
a
л
Т
R
Запишем второй закон Ньютона:
amgmТ
,
где
цл
аaa
.
В проекциях на оси х и у:
0х: Тsin = ma
ц
;
0у: mg - Тcos = ma
л
.
R
m
Т
2
υ
αsin
(1)
Тcos = mg – ma
л
(2)
Разделим уравнение (1) на (2)
.
)(
υ
tgα
2
л
agR
Отсюда
.tgα)(υ
л
agR
Здесь R – радиус окружности, по которой движется шарик.
R = l sin.
Период обращения шарика равен
.
αcos
π2
tgα)(
π2
tgα)(
π2
υ
π2
ЛЛ
Л
ag
l
ag
R
agR
RR
T
.с2
510
60cos1
π2
T
Ответ: Т = 2 с
13
2. Один из двух математических маятников совершил 10
колебаний, а другой за это же время – 6 колебаний. Разность длин
маятников составляет 16 см. Определите длины маятников. Результат
представьте в единицах СИ.
Дано:
Решение:
N
1
= 10
N
2
= 6
l = 0,16 м
Запишем период математического маятника.
g
l
N
t
T
1
1
1
1
π2
;
g
l
N
t
T
2
2
2
2
π2
.
Разделим первое уравнение на второе, получим:
l
1
= ? l
2
= ?
2
1
1
2
l
l
N
N
;
2
1
2
1
2
l
l
N
N
;
Выразим отсюда длину первого маятника.
.36,0
10
6
2
2
2
2
1
2
21
ll
N
N
ll
Теперь зная соотношение между длинами маятников и величину,
на которую они отличаются, найдем их значения.
l
2
= l
1
+ l = 0,36 l
2
+ l.
Отсюда
0,64l
2
= l. l
2
= l/0,64 = 0,16/0,64 = 0,25 (м);
l
1
= l
2
- l = 0,25 – 0,16 = 0,09 (м)
Ответ: l
1
= 0,09 м; l
2
= 0,25 м
3. Ареометр массой 0,2 кг плавает в жидкости. Если его
погрузить немного в жидкость, а затем отпустить, то он начнет
совершать колебания с периодом 3,4 с. Считая колебания ареометра
гармоническими и незатухающими, найдите плотность жидкости, в
которой он плавает. Радиус вертикальной цилиндрической трубки
ареометра равен 5,0 мм. Принять g = 10 м/с
2
. Результат представьте в
единицах СИ и округлите до целого числа.
Дано:
Решение:
m = 0,2 кг
Т = 3,4 с
r = 5,0 мм = 510
-3
м
g = 10 м/с
2
mg
F
A
h
Условие равновесия ареометра:
,0
A
Fgm
где F
A
– сила Архимеда, равная
14
ж
= ?
F
A
=
ж
g (V + Sh).
Здесь
V – объем ареометра без трубки;
h – длина трубки;
S – площадь поперечного сечения трубки.
mg =
ж
g (V + Sh).
При погружении ареометра в жидкость на глубину х:
F
A1
> mg, F
A1
=
ж
g [V + S(h +x)].
F
p
= F
A1
– mg =
ж
g [V + S(h +x)] –
ж
g (V + Sh) =
ж
gSx.
Эта сила является возвращающей силой и вызывает колебания
около положения равновесия.
F
p
= –k x, отсюда k =
ж
gS =
ж
gπr
2
.
Период колебаний ареометра
.
πρ
π2π2
2
ж
rg
m
k
m
T
Выразим отсюда плотность жидкости.
.
πρ
π4
2
ж
2
2
rg
m
T
.кг/м986
005,0104,3
2.0π4π4
ρ
3
2222
ж
grT
m
Ответ:
ж
= 869 кг/м
3
4. На какую часть длины нужно уменьшить длину
математического маятника, чтобы период его колебаний на высоте 10
км был бы равен периоду его колебаний на поверхности Земли? Ответ
представьте в процентах и округлите до десятых.
Дано:
Решение:
h = 10 км = 1000 м
R
1
= R
з
= 6400 км = 6,410
6
м
R
2
= R
з
+ h
Т
0
= Т
h
По условию задачи Т
0
= Т
h
, где
g
l
Т
1
0
2
– период колебаний
математического маятника на поверхности
Земли;
1
l
l
= ?
15
h
h
g
l
Т
2
2
– период колебаний математического маятника на высоте h
над поверхностью Земли. Приравняем Т
0
и Т
h
.
h
g
l
g
l
21
22
;
h
g
l
g
l
21
. (1)
Так как длину математического маятника уменьшили,
следовательно, можно записать
l
2
= l
1
– l.
Ускорение свободного падения на высоте h над поверхностью
Земли
,
γ
2
з
R
M
g
где R = R
з
+ h.
Подставим значения g в уравнение (1).
зз
M
Rl
M
Rl
2
22
2
11
; или
2
22
2
11
RlRl
;
2
2
2
1
hRllRl
зз
.
Решая последнее уравнение относительно
1
l
l
, получаем
%3,0003,0
6410
64006410
2
22
2
2
2
1
hR
RhR
l
l
з
зз
.
Ответ:
%3,0
1
l
l
5. Шарик массой 0,1 кг совершает синусоидальные колебания
на пружине, прикрепленной к стене (см. рис.).
Жесткость пружины 1000 Н/м. На расстоянии, равном
половине амплитуды колебания от положения
равновесия, установили плиту, от которой шарик упруго
отскакивает. Найдите период колебаний шарика в этом случае. Ответ
представьте в единицах СИ и округлите до сотых.
Дано:
Решение:
16
m = 0,1 кг
k = 1000 Н/м
x = A/2
В данной задаче период колебаний шарика
t
Т
Т 2
2
0
,
где Т – полный период колебаний шарика (без плиты),
T
0
= ?
t – время, за которое шарик проходит расстояние A/2 от положения
равновесия до плиты.
Полный период колебаний пружинного маятника (без плиты)
можно найти по формуле
k
m
Т 2
.
Время t, за которое шарик проходит расстояние A/2 от положения
равновесия до плиты, найдем из уравнения гармонического колебания
x = Asint.
С учетом значения х:
,ωsin
2
tА
А
.ωsin
2
1
t
Тогда
6
t
.
А так как
,
2π
ω
Т
то
6
2
t
T
;
12
T
t
.
Теперь найдем период Т
0
, подставив выражение для времени t в
первую формулу.
.с40,0
1000
1,0
3
π4
π2
3
2
3
2
12
2
2
0
k
m
T
TТ
Т
Ответ: T
0
= 0,04 с
6. Тело совершает гармонические колебания с частотой 2 Гц и
начальной фазой /6. Определите минимальный промежуток времени,
по истечении которого после начала колебаний кинетическая энергия
тела будет равна потенциальной. Ответ представьте в единицах СИ и
округлите до сотых.
Дано:
Решение:
17
= 2 Гц
0
= /6
Е
к
= Е
п
По условию задачи Е
к
= Е
п
, т.е.
,
22
υ
22
kxm
m
2
= kx
2
. (1)
Пусть смещение тела описывается уравнением
t = ?
x = Asin(t +
0
).
Тогда скорость тела
)ωcos(ωυ
0
tA
dt
dx
.
Подставим полученные выражения для смещения и скорости в
уравнение (1):
mА
2
2
cos
2
(t +
0
) = kА
2
sin
2
(t +
0
),
m
2
cos
2
(t +
0
) = ksin
2
(t +
0
).
Учтем, что k = m
2
.
m
2
cos
2
(t +
0
) = m
2
sin
2
(t +
0
).
cos
2
(t +
0
) = sin
2
(t +
0
).
)(t
)(cos
)(sin
1
0
2
0
2
0
2
tg
t
t
tg
2
(t +
0
) = 1,
4
0
t
, = 2π.
4
2
0
t
;
1264
2
t
;
Отсюда
020
2212
1
212
1
,t
(с).
Ответ: t = 0,02 с
7. На двух вращающихся в противоположные
стороны валиках лежит горизонтально доска, как показано
на рис. Расстояние между осями валиков равно 2 м.
Коэффициент трения между доской и каждым из валиков
равен 0,1. В начальный момент доска была положена так,
что ее центр масс был смещен на некоторое расстояние x от средней
линии ОО. Покажите, что доска будет совершать гармонические
колебания и найдите циклическую частоту колебаний. Ответ
представьте в единицах СИ.
Дано:
Решение:
х
О
N
1
N
2
F
тр1
F
тр2
l – х
l + х
mg
18
l = 2 м
= 0,1
g = 10 м/с
2
Расставим силы, действующие на доску – силы тяжести
mg, нормальные к доске составляющие сил реакции валиков
N
1
и N
2
и силы трения скольжения F
тр
.
Т.к. доска смещена от положения равновесия влево на
расстояние х, то действующие на нее силы трения скольжения
= ?
F
тр1
= N
1
и F
тр2
= N
2
не равны.
Запишем условие равновесия моментов сил относительно валиков
N
1
2l = mg(l + x), N
2
2l = mg(l – x).
F
тр1
= N
1
,
следовательно
.
μ
1тр
1
F
N
,
μ
2
1тр
xl
mg
lF
l
mg
F
2
1тр
xl
;
l
lmg
2
F
2тр
x
.
Таким образом, F
тр1
> F
тр2
и равнодействующая этих сил
l
mg
ll
l
mg
FFF
х
хх
2
2тр1трр
направлена в сторону положения равновесия и вызывает колебательное
движение доски.
Работа этой силы равна уменьшению потенциальной энергии
2
2
р
kx
xF
;
2
22
kx
l
mgх
;
Так как k =
2
m, то
2
μ
2
m
l
mg
; 2g =
2
l.
Отсюда выразим циклическую частоту колебаний.
.с/рад1
2
101,022
l
g
Ответ: = 1 рад/с
8. Вдоль некоторой прямой распространяются колебания с
периодом 0,25 с и скоростью 48 м/с. Спустя 10 с после возникновения
колебаний в исходной точке на расстоянии 43 м от нее смещение
оказалось равным 3 см. Определите в тот же момент времени смещение
19
в точке, отстоящей на 45 м от источника колебаний. Результат
представьте в сантиметрах и округлите до целого числа.
Дано:
Решение:
Т = 0,25 с
= 48 м/с
t = 10 с
l
1
= 43 м
x
1
= 0,03 м
l
2
= 45 м
1
1
2
s in
l
t
T
Ax
;
υ
2π
sin
2
2
l
t
T
Ax
.
Разделим первое уравнение на второе:
.
υ
2π
sin
υ
2π
sin
2
1
2
1
l
t
T
l
t
T
x
x
x
2
= ?
Выразим отсюда смещение х
2
:
.см6
48
43
10
0,25
2π
sin
48
45
10
0,25
2π
sin3
υ
2π
sin
υ
2π
sin
1
2
1
2
l
t
T
l
t
T
x
x
Ответ: x
2
= 6 см
9. Смещение от положения равновесия точки среды, в которой
распространяются синусоидальные колебания, находящейся на
расстоянии 4 см от источника колебаний, через промежуток времени
Т/6, где Т период колебаний, равно половине амплитуды. Найдите
длину волны. Ответ представьте в единицах СИ и округлите до сотых.
Дано:
Решение:
x = 4 см = 0,04 м
t = T/6
y = A/2
Запишем уравнение поперечной гармонической
волны, распространяющейся в положительном
направлении оси Ox,
x
tАtxy sin,
, (1)
= ?
где y(x,t) смещение точки среды с координатой x от положения
равновесия, совершаемое в поперечной волне в направлении оси Oy,
перпендикулярной направлению распространения волны − оси Ox, в
момент времени t, A – амплитуда колебаний волны, скорость
распространения волны.
Учитывая формулу ω = 2π/T и условия задачи (t = T/6, y = A/2),
представим уравнение (1) в виде
,
υ6
π2
s in
2
xT
T
А
А
.
6
2
sin
2
1
xT
T
(2)
20
Поскольку
1 π
arcsin
26
, а = T, то из уравнения (2) получим
xT
T 6
2
6
. (3)
Решая уравнение (3), относительно , найдем:
λ = 4x = 48 (см).
Ответ: λ = 0,48 м
10. На расстоянии 1088 м от наблюдателя ударяют молотком по
стальному рельсу. Наблюдатель, приложив ухо к рельсу, услышал звук
на 3 с раньше, чем он дошел до него по воздуху. Найдите скорость звука
в стали. Ответ представьте в единицах СИ.
Дано:
Решение:
l = 1088 м
t = 3 c
в
= 340 м/с
Звук в воздухе и в стали прошел одинаковое расстояние
l за разное время
l =
в
t; l =
с
(t – t).
c
= ?
Решая совместно полученные выражения, находим скорость звука
в стали
в
l
t
,
t
l
l
в
с
.
5440
3
340
1088
1088
в
с
t
l
l
(м/с).
Ответ:
c
= 5440 м/с
11. Математический маятник длиной l совершает
колебания вблизи вертикальной стенки. Под точкой подвеса
маятника на расстоянии l/3 от нее в стенку забит гвоздь (см.
рис.). Найдите период колебаний маятника.
Дано:
Решение:
l
l/3
Период колебаний такого маятника можно записать:
Т = t
1
+ t
2
, (1)
Т = ?