Кузнецов С.И., Мельникова Т.Н., Степанова Е.Н. Сборник задач по физике с решениями. Переменный ток. Колебания и волны

Подождите немного. Документ загружается.

где t

, t

– время движения маятника соответственно справа и слева от

вертикали.

Время t

равно половине периода колебаний маятника длиной l:

Время t

равно половине периода колебаний маятника длиной 2l/3:

Подставив значения t

и t

в выражение (1), получим:

12. На чашку, подвешенную на пружине жесткости k (см.рис), с

высоты h падает груз массой m и остается на чашке (удар абсолютно

неупругий). Определите амплитуду колебаний. Массой чашки и

пружины пренебречь.

Дано:

Решение:

В результате абсолютно

неупругого удара чашка с грузом будет

иметь скорость



, модуль которой

найдем из уравнения, составленного в

проекциях на ось х согласно закону

сохранения импульса:

= ?

m = (m + m

)u, (1)

где m

– масса чашки,  - скорость груза в момент падения, которую

можно определить из закона сохранения энергии:

mgh 

Откуда

.2υ gh

Подставляя значение скорости в уравнение (1) и учитывая, что m

0, получаем, что

.2ghu 

.π

t 

1π

ππ





























1π

Т:Ответ

Кинетическая энергия чашки переходит в потенциальную энергию

растянутой пружины. Система будет совершать гармонические

колебания относительно некоторого положения равновесия. Здесь в

момент удара пружина обладала потенциальной энергией



где х – смещение, которое можно найти из условия равновесия mg = kx.

Отсюда

x 

Следовательно,



(2)

Кинетическая энергия системы сразу после удара

mgh



(3)

Максимальная потенциальная энергия пружины

рm

Е 

(4)

где х

– амплитуда колебаний.

Согласно закону сохранения энергии:

+ E

= E

или с учетом выражений (2), (3), (4)

222

mgh 

Отсюда определим амплитуду колебаний:

 

gmkmgh

mgh























Ответ:

gmkmgh



13. Два одинаковых небольших шарика, имеющих одинаковые

заряды 400 нКл, соединены легкой пружиной и находятся на гладкой

горизонтальной поверхности. Шарики колеблются так, что расстояние

между ними изменяется от 2 см до 8 см. Найдите жесткость пружины,

если ее длина в свободном состоянии равна 4 см. Пружина не заряжена и

электроизолирована от шариков. Ответ представьте в единицах СИ.

Дано:

Решение:

= q

= 400 нКл = 410

–7

Кл

= 2 см = 210

–2

= 8 см = 810

–2

= 4 см = 410

–2

Для решения задачи используем закон

сохранения энергии.

В крайних положениях (1 и 2) пружина

деформирована, поэтому она обладает

потенциальной энергией. Кроме того, шарики

k = ?

заряжены, следовательно, между ними имеется потенциальная энергия

взаимодействия зарядов.

   

πε4

2πε4

qllk









Проведя некоторые математические преобразования, найдем

жесткость пружины.

   

 

πε4

210

llll

















   

πε4

210

llll



















Здесь

м/Ф.109

πε4



Подставим численные значения и

произведем расчет.

   

 

.Н/м90

02,004,004,008,0

08,0

02,0

10162109

149























Ответ: k = 90 Н/м

14. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью

30 мкГн и плоского конденсатора с площадью пластин 100 см

Расстояние между пластинами 0,1 мм. Чему равна диэлектрическая

проницаемость среды между пластинами конденсатора, если контур

резонирует на волну длиной 750 м? Ответ округлите до целого числа.

Дано:

Решение:

L = 30 мкГн = 310

-5

Гн

S = 100 см

= 10

-2

d = 0,1 мм = 10

-4

 = 750 м

Резонансная частота 

колебаний в контуре

равна собственной частоте 

колебательного

контура

0р



.22

рр





 = ?

Приравняем правые части этих уравнений.













Отсюда емкость конденсатора:

π4

Lс



Кроме того, емкость плоского конденсатора можно выразить через

его геометрические размеры:

εε



Приравняем правые части этих уравнений.

εε

π4

Lс



Из полученного выражения найдем диэлектрическую

проницаемость среды между пластинами конденсатора:

εε4π

SLс



 

.69,5

103101085,810304

10750

821262













Ответ:  = 6

15. Контур состоит из катушки индуктивностью 28 мкГн

(1 мкГн = 10

-6

Гн), сопротивления 1 Ом и конденсатора емкостью

2222 пФ (1 пФ = 10

-12

Ф). Какую мощность будет потреблять контур,

если в нем поддерживать незатухающие колебания, при которых

максимальное напряжение на конденсаторе 5 В? Результат представьте

в милливаттах и округлите до целого числа.

Дано:

Решение:

L = 2810

-6

Гн

R = 1 Ом

C = 222210

-12

= 5 В

Мощность, которую будет потреблять контур,

найдем из выражения

RJP



где J

– действующее значение силы тока. Его можно

определить через амплитудное значение силы тока:

Р = ?

J 

Тогда мощность контура:



Закон сохранения энергии в колебательном контуре:

LJCU



отсюда



тогда

мощность, потребляемая контуром.

RCU



   

.мВт1Вт10992

10282

125102222











Ответ: Р = 1 мВт

16. Кипятильник работает от сети переменного тока, амплитуда

напряжения которого 310 В. При температуре 293 К сопротивление

спирали кипятильника 22 Ом. Температурный коэффициент материала

спирали 0,002 К



. Какое количество кипящей воды превратит

кипятильник в пар за 60 с его работы? Ответ представьте в граммах и

округлите до целого числа.

Дано:

Решение:

max

= 310 В

= 20С, Т

= 293 К

= 22 Ом

 = 0,002 К

–1

 = 60 c

r = 2,2610

Дж/кг

Количество кипящей воды, превратившейся в пар

можно найти из уравнения

Q = rm

, 



С другой стороны, количество теплоты,

необходимой для превращения воды в пар, можно

= ?

выразить через количество теплоты, выделяющееся в

резисторе с активным сопротивлением R при протекании по нему

переменного тока в течение времени 



max

где U

max

– амплитуда напряжения, R

– активное сопротивление

проводника при температуре кипения воды t = 100C.

Температурная зависимость сопротивления:

(1 α)

R R t

 









202

101

α1

tRR

, 

 

4,25

20002,01

100002,0122

α1













Ом.

Отсюда

 

05,0

425002012221026,2

60310

max









,,rR

(кг) = 50 (г).

Ответ: m

= 50 г

17. К сети переменного тока с действующим напряжением 220

В и частотой 50 Гц присоединена цепь, состоящая из последовательно

соединенных резистора сопротивлением 92 Ом, конденсатора емкостью

40 мкФ и катушки индуктивностью 0,1 Гн. Найдите амплитуду тока,

протекающего в цепи. Ответ представьте в единицах СИ и округлите до

целого числа.

Дано:

Решение:

U = 220 В

 = 50 Гц

R = 92 Ом

C = 40 мкФ = 410

-5

L = 0,1 Гн

Запишем закон Ома для цепи переменного

(гармонического) тока

max



где U

max

– амплитуда напряжения, U – действующее

напряжение,

max

= ?

Z – полное сопротивление электрической цепи, состоящей из

последовательно соединенных элементов R, L и C, переменного току.

 















LRХХRZ

СL

где X

= L  реактивное индуктивное сопротивление катушки

индуктивности;



– реактивное емкостное сопротивление

конденсатора емкостью C.

 

.А3

10450π2

1,050π292

2220

πν2

max







































Ответ: I

max

= 3 А

18. Рамка вращается в однородном магнитном поле и содержит

100 витков медного провода сечением 0,5 мм

. Длина одного витка

0,4 м. Определите действующее значение силы тока в проводнике

сопротивлением 5,64 Ом, присоединенном к концам рамки.

Максимальная ЭДС, возникающая в рамке, равна 2 В. Ответ

представьте в единицах СИ и округлите до десятых.

Дано:

Решение:

N = 100

S = 510

–7

= 0,4 м

пр

= 5,64 Ом



max

= 2 В

 = 1,710

–8

Омм

Сопротивление медного провода

 

.Ом63,1

105

1004,0107,1ρρ











= R + R

пр

= 1,36 + 5,64 = 7 (Ом).

Действующее значение силы тока можно найти

через связь с максимальным значением силы тока

I = ?

2,0

maxmax













(А).

Ответ: I = 0,2 A

19. В колебательном контуре происходят свободные

незатухающие колебания с энергией 5 мДж. Пластины конденсатора

медленно раздвинули так, что частота колебаний увеличилась в 2 раза.

Какую работу совершили при этом против электрических сил? Ответ

представьте в миллиджоулях.

Дано:

Решение:

= 510

-3

Дж

> d



= 2

Работа, совершаемая против сил электрического поля

A = W = W

– W

где W

и W

– энергия электрического поля до и после

A = ?

раздвижения пластин.

W 

;

W 

Поделим первое уравнение на второе.

εε







Отсюда

WW 

(1)

Найдем отношение d

ω 

;  = 2.

Емкость плоского конденсатора

εε















εε

πν2

εε

πν2

Отсюда





;

ν2















Выразим d

= 4d

Подставим найденное соотношение между расстояниями между

пластинами до и после их раздвижения в уравнение (1):

WW 

Тогда

A = W

– W

= 4W

– W

= 3W

= 35 = 15 (мДж).

Ответ: А = 15 мДж

20. В идеальном колебательном контуре амплитуда колебаний

силы тока в катушке индуктивности 5 мА, а амплитуда колебаний

заряда конденсатора 2,5 нКл. В некоторый момент времени заряд

конденсатора 1,5 нКл. Определите силу тока в катушке в этот момент.

Ответ представьте в миллиамперах.

Дано:

Решение:

max

= 5 мА = 510

-3

max

= 2,5 нКл = 2,510

-9

Кл

q = 1,5 нКл = 1,510

-9

Кл

Энергия электрического поля

qСU

эл



;

Энергия магнитного поля



I = ?

Для некоторого произвольного момента времени можно записать

закон сохранения энергии

эл

+ W

= W

эл max

Учитывая приведенные выше выражения для энергии

электрического и магнитного полей, получаем

222

max



Выразим из данного уравнения ток:

 

max

LI 

;

 

max

I 

(1)

Для нахождения неизвестных нам значений индуктивности

катушки L и емкости конденсатора С запишем закон сохранения

энергии в идеальном колебательном контуре для предельных моментов

времени: когда вся энергия электромагнитного поля перешла в энергию

магнитного поля и когда она вся перешла в энергию электрического

поля:

qLI

max



Выразим отсюда произведение LC:

max

LC 

и подставим в (1):

 

max

I 

 

.А10425,225,610

105,2

105









I

Ответ: I = 4 мА

21. В электрической цепи (см. рис.) C

= C

= 0,01 мкФ. До

замыкания ключа K напряжение на первом конденсаторе равно 100 В,

второй конденсатор не заряжен. Определите амплитуду

колебаний силы тока через катушку индуктивностью 1 мкГн после

замыкания ключа. Активным сопротивлением катушки и

соединительных проводов пренебречь. Ответ представьте в единицах

СИ и округлите до целого числа.

Дано:

Решение:

C = C

= C

= 10

–8

= 220 В

= 2

L = 10

–6

Гн

R = 0

До замыкания

= C

= 10

–8

100 = 10

–6

(Кл).

После замыкания ключа заряд на каждом

конденсаторе

105















qqq

(Кл).

max

= ?

Соответственно, напряжение на конденсаторе после замыкания

ключа

105













(В).

Найдем общую емкость конденсаторов при параллельном

соединении

= С

+ С

= 2С = 210

–8

(Ф).

Так как после замыкания ключа в контуре будут происходить

электромагнитные колебания, то запишем закон сохранения энергии для

данного колебательного контура

maxо

max

UСLI



Выразим отсюда амплитуду колебаний силы тока

725

102

2max









(А).

Ответ: I

max

= 7 А

22. Колебательный контур (см.рис.) содержит конденсатор

емкостью C = 30 мкФ и две катушки с индуктивностями

= 700 нГн и L

= 300 нГн. Конденсатор при разомкнутом

ключе K заряжен до напряжения 100 В. Найдите амплитуду

колебаний тока в контуре после замыкания ключа K. Ответ

представьте в килоамперах и округлите до десятых.

Дано:

Решение: