Лазарев Ю.Ф. Mатематическое моделирование физических процессов и технических систем в MATLAB

Подождите немного. Документ загружается.

211

Количество устанавливаемых параметров и их смысл автоматически изменяются при переходе к другому типу

фильтра.

Например, устанавливая алгоритм фильтра Баттерворта нижних частот с граничными частотами полос пропус-

кания в 0.5 Гц и задерживания в 0.7 Гц (cм. рис. 5.84) и нажимая кнопку Apply, получим параметры такого

фильтра и запишем их в объект

'filt1' .

Рис. 5. 84. Проект фильтра низких частот Баттерворта

Просмотр свойств фильтра

После создания фильтра можно просмотреть графики различных характеристик спроектированного и записан-

ного фильтра. Для этого достаточно выделить имя фильтра, свойства которого нужно посмотреть, в окошке

Filters окна

SPTool

, а затем нажать кнопку

View

под этим окошком.

Например, для только что созданного фильтра

'filt1' мы получим в результате на экране новое окно Filter

Viewer

с картиной, показанной на рис. 5.85.

212

Рис. 5. 85. Окно Filter Viewer

Как видим, в окне выведены графики АЧХ и ФЧХ фильтра.

В число средств просмотра фильтров входят (см. левую сторону окна

Filter Viewer

- возможность вывода на экран одновременно любого сочетания из таких графиков: АЧХ, ФЧХ, час-

тотной зависимости группового времени замедления, графического представления расположения ну-

лей и полюсов дискретной передаточной функции в Z-плоскости, графика временного отклика

фильтра на импульсное единичное воздействие и графика отклика на ступенчатое единичное воздей-

ствие; для этого надо установить

флажки на нужных видах графиков в области Plots (графики) окна;

- возможность изменить вид шкалы как по оси частот, так и по оси амплитуд, установить диапазон

представления графиков по частоте и изменить единицы представления фазового сдвига (области

Plots и FrequencyAxis).

Пример вывода одновременно всех доступных графиков показан на рис. 5. 86.

213

Рис. 5. 86. Возможные виды графиков в окне Filter Viewer

Применение разработанного фильтра для фильтрации

Использование в среде sptool разработанного фильтра чрезвычайно просто. Для этого нужно в окне

SPTool в

окошке Signals выделить имя сигнала, который нужно преобразовать с помощью фильтра, в окошке Filters -

имя фильтра, с помощью которого надо преобразовать этот сигнал и нажать команду Apply. в результате в пер-

вом окошке (Signals) появится имя нового сигнала, начинающееся с сочетания sig с последующим порядковым

номером.

Полученный сигнал можно просмотреть, как

это было описано ранее, используя команду View.

Например, применяя только что разработанный фильтр 'filt1' к процессу X(t), получим процесс, изображенный

на рис. 5. 87.

214

Рис. 5. 87. Результат прохождения сигнала X(t) через фильтр Filt1

Спектральные характеристики полученного процесса можно изучить, применяя раздел Spectra, как это было

описано.

Вторичное использование результатов SPTOOL

При завершении сеанса работы с sptool система запрашивает, нужно ли записать полученные результаты на

диск. В случае положительного ответа она сохраняет все данные в файле с расширением SPT. Кроме

того, в

меню File окна

SPTool

предусмотрены команды записи в файл (см. рис. 5.74)

Save Session

Save

Session As

При повторном запуске sptool можно воспользоваться результатами такого сохранения результатов, используя

команду Open Session и выбирая один из записанных SPT-файлов.

5.6. Вопросы для самопроверки

1. Что входит в понятие цифровой обработки сигналов?

2. Какие задачи можно решить с помощью пакета

Signal

3. Что такое фильтрация сигналов, какими средствами она обеспечивается?

4. Что такое фильтр низких частот, фильтр высоких частот, полосовой фильтр и режекторный фильтр?

5. Что такое БИХ и КИХ фильтры?

6. Какими средствами в

Signal

обеспечивается проектирование фильтров?

7. Какие интерактивные средства предусмотрены в пакете

Signal

8. Какими средствами генерирования процессов обладает пакет

Signal

9. Как в пакете

Signal

обеспечить генерирование и анализ случайных процессов?

215

Урок 6. Исследование линейных стационарных систем

(пакет CONTROL Toolbox)

Общая характеристика процедур пакета CONTROL

Ввод и преобразование моделей

Получение информации о модели

Анализ системы

Интерактивный обозреватель ltiview

Синтез системы

Вопросы для самопроверки

216

В теории автоматического управления сложился собственный, чрезвычайно удобный и практичный

математический аппарат, позволяющий эффективно исследовать поведение линейных стационарных систем

автоматического управления.

Линейными стационарными системами (в дальнейшем – ЛСС) принято называть такие системы, поведение

которых достаточно удовлетворительно описываются системой обыкновенных линейных дифференциальных

уравнений с постоянными коэффициентами. Математическая теория таких систем достаточно полно и

хорошо

разработана, т. е. полные решения соответствующей системы дифференциальных уравнений можно найти

практически для любого вида внешних воздействий и возмущений. Особенно эффективен для исследования

таких систем так называемый частотный подход, когда анализируются частотные свойства системы при

изменении частоты внешнего гармонически изменяющегося во времени воздействия в широких пределах.

Соответствующие частотные характеристики

системы (амплитудная и фазовая) в этом случае полностью

характеризуют и временные свойства системы при произвольном законе изменения воздействий во времени.

Поэтому для анализа ЛСС используются такие специфические характеристики ЛСС, как передаточные

функции, частотные передаточные функции, амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики, а также

такие методы представления систем, как пространство состояния и

др. Хотя эти методы и характеристики

разработаны и наиболее эффективны для анализа и синтеза систем автоматического управление, они могут

быть с успехом применены для исследования любых динамических систем, описываемых линейными

дифференциальуравнениями с постоянными коэффициентами

Пакет CONTROL предназначен для исследования линейных стационарных систем средствами теории

автоматического управления.

6.1. Общая характеристика процедур пакета CONTROL

Первое представление о пакете CONTROL можно получить, изучая раздел 4.2.2. этого пособия. Ниже приведен

сжатый перечень основных процедур пакета CONTROL, сгруппированных по общности функционального

назначения.

Создание LTI-моделей.

Создает модель пространства состояния.

zpk

Создает модель нули/полюсы/к-ты передачи

Создает модель передаточной функции.

dss

Специфицирует описатель модели пространства состояния

filt

Специфицирует цифровой фильтр.

set

Установка/модификация атрибутов LTI-модели

ltiprops

Детальная справка об атрибутах LTI-моделей

Извлечение данных

ssdata

Извлечение матриц пространства состояния

zpkdata

Извлечение данных о нулях/полюсах/КП

tfdata

Извлечение числителя (-лей) и знаменателя (-лей) ПФ

dssdata

Получение информации о версии описателя SSDATA.

get

Получение информации о значениях свойств LTI-модели.

Получение информации об отдельных характеристиках модели

class

о типе модели ('ss', 'zpk' или 'tf').

size

о размерах матриц входа и выхода.

isempty

Проверка, является ли LTI-модель пустой.

isct

Проверка, является ли модель непрерывной.

isdt

Проверка, является ли модель дискретной.

isproper

Проверка, является ли модель правильной.

issiso

Проверка, имеет ли модель один вход и один выход

isa

Проверка, является ли LTI-модель моделью заданного типа

Преобразование системы

Преобразование в пространство состояния

zpk

Преобразование в нули/полюсы/КП

Преобразование в передаточные функции

c2d

Преобразование из непрерывного времени в дискретное

d2c

Преобразование из дискретного времени в непрерывное

d2d

Переопределение дискретной системы или добавление задержек

217

входных воздействий

«Арифметические» операции

+ и -

Добавление и отнимание LTI-систем (параллельное соединение)

Умножение LTI-систем (последовательное соединение).

Левое деление sys1\sys2 равносильно inv(sys1)*sys2.

Правое деление sys1/sys2 равнозначно sys1*inv(sys2).

Перетранспонирование.

Транспонирование карты входа/выхода.

[..]

Горизонтальное/вертикальное объединение LTI-систем

inv

Обращение LTI-системы

Модели динамики

pole, eig

Полюсы системы

tzero

Нули системы

pzmap

Карта нулей-полюсов

dcgain

Коэффициент передачи при нулевой (низкой ) частоте.

norm

Нормы LTI-систем

covar

Ковариация отклика на белый шум

damp

Частота собственных колебаний и демпфирование по полюсам

системы.

esort

Сортировка полюсов непрерывной системы по их

действительным частям

dsort

Сортировка полюсов дискретной системы по их модулям

pade

Аппроксимация Паде задержек по времени

Модели пространства состояния

rss,drss

Генерирование случайных моделей пространства состояния.

ss2ss

Преобразование переменных состояния

canon

Каноническая форма пространства состояния

ctrb, obsv

Матрицы управляемости и наблюдаемости

gram

Определители Грамма управляемости и наблюдаемости

ssbal

Диагональная балансировка матриц пространства состояния

balreal

Балансировка входа выхода на основе определителя Грамма

modred

Редукция состояния модели

minreal

Минимальная реализация и сокращение нулей и полюсов

augstate

Увеличение выхода за счет присоединения состояний.

Отклик во времени

step

Отклик на единичный скачок

impulse

Отклик на единичный импульс

initial

Отклик на заданные начальные условия состояния

lsim

Отклик на произвольные входы

ltiview

Анализ откликов с помощью графического интерфейса.

gensig

Генерирует периодические сигналы для LSIM.

stepfun

Генерирует единичный скачок

Частотный отклик

bode

Диаграмма Боде частотного отклика (АЧХ и ФЧХ)

sigma

Частотный график сингулярных значений.

nyquist

Диаграмма Найквиста

nichols

Диаграмма Николса

ltiview

Анализ откликов с помощью графического интерфейса

evalfr

Расчет частотного отклика на заданной частоте

freqresp

Частотный отклик над сеткой частот

margin

Запасы по фазе и амплитуде

Объединение систем

append

Объединение LTI систем путем объединения входов и выходов

parallel

Обобщенное параллельное соединение (см. также +).

series

Обобщенное последовательное соединение (см. также *)

218

feedback

Обратное соединение двух систем

star

Соединение звездой Редхеффера.

connect

Получение ss модели из описания блок схемы.

Процедуры классической графики

rlocus

Диаграмма Эванса размещения корней

rlocfind

Интерактивное определение звена заданием расположения корней

acker

Размещение полюсов ОМ системы

place

Размещение полюсов MM системы

estim

Создает Оцениватель по заданному КП оценивателя

reg

Создает Регулятор по заданной матрице обратной связи и

коэффициентам оценивателя.

Инструменты проектирования LQG

lqr,dlqr

Линейно-квадратичный (LQ) регулятор обратной связи.

lqry

LQ регулятор с выходным взвешиванием.

lqrd

Дискретный LQ-регулятор для непрерывной системы.

kalman

Фильтр Калмана.

kalmd

Дискретный фильтр Калмана для непрерывной системы

lqgreg

Формирователь LQG регулятора по LQ-коэффициентам и фильтру

Калмана.

Решение матричных уравнений

lyap

Решение непрерывных уравнений Ляпунова

dlyap

Решение дискретных уравнений Ляпунова

care

Решение непрерывных алгебраических уравнений Риккати

dare

Решение дискретных алгебраических уравнений Риккати

Демонстрационные программы

ctrldemo

Введение в Control System Toolbox.

jetdemo

Классическое проектирование САУ углом рыскания.

diskdemo

Цифровое проектирование контроллера привода жесткого диска

milldemo

ОМ и ММ LQG управление прокатного стана

kalmdemo

Проектирование и моделирование фильтра Калмана

Далее процедуры пакета изучаются более подробно.

6.2. Ввод и преобразование моделей

LTI- модели можно создавать в трех видах - SS, TF и ZPK-объектов. Для этого используются соответственно

процедуры-конструкторы

ss, tf и zpk.

Создание LTI-модели рассмотрим на примере модели трехстепенного астатического гироскопа. Уравнения

движения такого гироскопа можно представить в виде:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=−

)(

αλβ

βλα

(6.1)

где n(t) и l(t) - моменты сил, действующие на гироскоп по осям подвеса;

и - углы поворота гироскопа в

пространстве;

- частота собственных (нутационных) колебаний гироскопа.

Чтобы создать ss-модель, необходимо, прежде всего, привести дифференциальные уравнения движения

динамической системы к стандартному виду типа:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⋅+⋅=

uDxCy

uBxA

(6.2)

219

где - вектор входных переменных; - вектор выходных переменных, а - вектор переменных состояния

системы. Из этого следует, что перед формированием ss-модели необходимо:

- определить, какие величины будут задаваться как явные функции времени, т. е. какие величины составят

вектор

входных переменных;

- определить, какие величины будут образовывать вектор

выходных переменных (т.е. будут находиться

путем решения системы заданных дифференциальных уравнений);

- установить какие величины будут составлять вектор

переменных состояния системы (их число должно

совпадать с порядком системы заданных дифференциальных уравнений);

- с помощью введенных переменных состояния привести заданную систему дифференциальных уравнений к

так называемой нормальной форме Коши, т.е. к системе дифференциальных уравнений первого порядка,

разрешенных относительно производных.

Будем полагать моменты сил – «входами» гироскопа, а углы поворота гироскопа

– «выходами». Тогда система

«гироскоп» (будем обозначать ее GYRO) имеет 2 входа (n(t) и l(t)) и 2 выхода (

и ). В качестве

переменных состояния примем выходные переменные и их первые производные по времени:

βαβα

====

4321

;;; xxxx

. (6.3)

Тогда уравнения гироскопа в форме Коши приобретут вид:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+⋅=

+⋅−=

).(

);(

;

tlxx

tnxx

(6.4)

Теперь нужно образовать матрицы A, B, C и D в соответствии с формой (2) представления системы в

пространстве состояния. В рассматриваемом случае в качестве выходного вектора у примем:

[]

βα

(6.5)

а в качестве входного вектора - вектор моментов сил:

[

tltnu )(),(=

]

. (6.6)

Полагая

[

xxxxx

4321

,,,=

, (6.7)

значения указанных матриц должны быть такими:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

000

1000

0100

; ; ;

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

0010

0001

. (6.8)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

Введем эти матрицы в командном окне MatLAB, принимая

10=

lambda=10;

A=zeros(4,4); A(1,3)=1;A(2,4)=1;A(3,4)= -lambda;A(4,3)=lambda;

A =

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 -10

0 0 10 0

220

B=zeros(4,2); B(3,1)=1; B(4,2)=1

B =

0 0

1 0

0 1

C=zeros(2,2); C=[diag([1 1]) C]

C =

1 0 0 0

0 1 0 0

Теперь можно приступить к созданию LTI-объекта по имени GYRO, используя модель в пространстве

состояния:

GYROss=ss(A,B,C,0)

a =

x1 x2 x3 x4

x1 0 0 1 0

x2 0 0 0 1

x3 0 0 0 -10

x4 0 0 10 0

b =

u1 u2

x1 0 0

x2 0 0

x3 1 0

x4 0 1

c =

x1 x2 x3 x4

y1 1 0 0 0

y2 0 1 0 0

d =

u1 u2

y1 0 0

y2 0 0

Continuous-time model.

Как видно, модель сформирована правильно. Можно начать некоторые ее преобразования.

Прежде всего, интересно найти передаточные функции созданной системы. Очевидно, их должно быть 4 (ибо у

нас 2 выхода и 2 входа). Для этого применим процедуру преобразования

GYROtf=tf(GYROss)

Transfer function from input 1 to output...

s - 8.882e-016

#1: --------------

s^3 + 100 s

#2: -----------

s^3 + 100 s

Transfer function from input 2 to output...

-10

#1: -----------

s^3 + 100 s

s - 8.882e-016

#2: --------------

s^3 + 100 s

Теперь преобразуем введенную ss-модель в zpk-модель при помощи процедуры zpk:

GYROzp=zpk(GYROss)