Лекции по гидравлике

Подождите немного. Документ загружается.

растворенного газа в единице объема жидкости, различна для разных жидкостей и

изменяется с увеличением давления.

Относительный объем газа, растворенного в жидкости до ее полного насыщения,

можно считать по закону Генри прямо пропорциональным давлению, т. е.

// pkpVV

ЖГ



где V

— объем растворенного газа, приведенный к нормальным условиям (p

, T

); V

— объем жидкости; k — коэффициент растворимости; р — давление жидкости.

Коэффициент k имеет следующие значения при 20 °С: для воды 0,016, керосина

0,13, минеральных масел 0,08, жидкости АМГ-10 — 0,1.

При понижении давления выделяется растворенный в жидкости газ, причем

интенсивнее, чем растворяется в ней. Это явление может отрицательно сказываться

на работе гидросистем.

1.2 Гидростатика

Гидростатическое давление и его свойство

Гидростатикой называется раздел гидравлики, в котором рассматриваются

законы равновесия жидкости и их практические приложения.

Как следует из гл. 1, жидкости практически не способны сопротивляться

растяжению, а в неподвижных жидкостях не действуют касательные силы.

Поэтому на неподвижную жидкость из поверхностных сил могут действовать

только силы давления; причем на внешней поверхности рассматриваемого объема

жидкости силы давления всегда направлены по нормали внутрь объема жидкости

и, следовательно, являются сжимающими. Под внешней поверхностью жидкости

понимают не только поверхность раздела жидкости с газообразной средой или

твердыми стенками, но и поверхность объема, мысленно выделяемого из общего

объема жидкости.

Таким образом, в неподвижной жидкости возможен лишь один вид напряжения

напряжение сжатия, т. е. гидростатическое давление.

Рассмотрим основное свойство гидростатического давления: в любой точке

жидкости гидростатическое давление не зависит от ориентировки площадки, на

которую оно действует, т. е. от углов ее наклона по отношению к координатным

осям.

Для доказательства этого свойства выделим в неподвижной жидкости

элементарный объем в форме тетраэдра с ребрами, параллельными координатным

осям и соответственно равными

(рис.2.1). Пусть внутри выделенного

объема на жидкость действует единичная массовая сила, составляющие которой

равны

. Обозначим через

гидростатическое давление, действующее

на грань, нормальную к оси

, через

— давление на грань, нормальную к оси

, и т. д. Гидростатическое давление, действующее на наклонную грань,

обозначим через

, а площадь этой грани через

Составим уравнение равновесия выделенного объема жидкости сначала в

направлении оси

, учитывая при этом, что все силы направлены по нормалям к

соответствующим площадкам внутрь объема жидкости.

Рис. 1.4 Элементарный объем в форме тетраэдра с ребрами, параллельными

координатным осям и соответственно равными

Проекция сил давления на ось

 

.,cos2/ xndSpdydzр

nх



Масса жидкости в тетраэдре равна произведению ее объема на плотность, т. е.



 dzdydx

, следовательно, массовая сила, действующая на тетраэдр вдоль оси

составляет

6/Xdzdydx 



Уравнение равновесия тетраэдра запишем в виде:

06/),cos(2/  XdzdydxxndSppdzdy



Разделив это уравнение на площадь

2/dzdy 

, которая равна площади проекции

наклонной грани

на плоскость

, т. е.

)/cos(2/ xndSdzdy 

, получим

.03/ 



dxXpp

При стремлении размеров тетраэдра к нулю последний член уравнения,

содержащий множитель

, также стремится к нулю, а давления

остаются

величинами конечными. Следовательно, в пределе получим

Аналогично составляя уравнения равновесия вдоль осей

, находим

pp 

или

nzyx

pppp 

(2.1)

Так как размеры тетраэдра

взяты произвольно, то и наклон

площадки

произволен и, следовательно, в пределе при стягивании тетраэдра в

точку давление в этой точке по всем направлениям будет одинаково. Это

положение можно легко свойства гидростатического давления доказать,

основываясь на формулах сопротивления материалов для напряжений при сжатии

по двум и трем взаимно перпендикулярным направлениям. Для этого положим в

указанных формулах касательное напряжение равным нулю, в результате чего

получим

zyx





Рассмотренное свойство давления в неподвижной жидкости имеет место также

при движении невязкой жидкости. При движении же реальной жидкости

возникают касательные напряжения, вследствие чего давление в реальной

жидкости указанным свойством, строго говоря, не обладает.

Основное уравнение гидростатики

Рассмотрим распространенный частный случай равновесия жидкости, когда на

нее действует лишь одна массовая сила, сила тяжести, и получим уравнение,

позволяющее находить гидростатическое давление в любой точке

рассматриваемого объема жидкости. Если этот объем весьма мал по сравнению с

объемом Земли, то свободную поверхность жидкости можно считать

горизонтальной плоскостью.

Пусть жидкость содержится в сосуде и на ее свободную поверхность действует

давление

. Найдем гидростатическое давление

в произвольно взятой точке

М, расположенной на глубине

Выделим около точки М элементарную горизонтальную площадку dS и

построим на ней вертикальный цилиндрический объем высотой

. Рассмотрим

условие равновесия указанного объема жидкости, выделенного из общей массы

жидкости. Давление жидкости на нижнее основание цилиндра теперь будет

внешним и направлено по нормали внутрь объема, т. е. вверх.

Запишем сумму сил, действующих на рассматриваемый объем в

проекции на вертикаль:

 ghdSdSppdS



Последний член уравнения представляет собой вес жидкости в указанном

объеме. Силы давления по боковой поверхности цилиндра в уравнение не входят,

так как они нормальны к вертикали. Сократив ,выражение на

, и

перегруппировав члены, найдем

hpghpp 



(2.2)

Полученное уравнение называют основным уравнением. гидростатики; по нему

можно подсчитать давление в любой точке покоящейся жидкости. Это давление,

как видно из уравнения, складывается из двух величин: давления

на внешней

поверхности жидкости и давления, обусловленного весом вышележащих слоев

жидкости.

Величина

является одинаковой для всех точек объема жидкости, поэтому,

учитывая свойство гидростатического давления, можно сказать, что давление,

приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой

жидкости и по всем направлениям одинаково. Это положение известно под

названием закона Паскаля.

Давление жидкости, как видно из формулы (2.2), возрастает с увеличением

глубины по закону прямой и на данной глубине есть величина постоянная.

Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется

поверхностью уровня. В данном случае поверхностями уровня являются

горизонтальные плоскости, а свободная поверхность является одной из

поверхностей уровня.

Возьмем на произвольной высоте горизонтальную плоскость сравнения, от

которой вертикально вверх будем отсчитывать координаты

. Обозначив через

координату точки М, через

координату свободной поверхности жидкости и

заменив в уравнении (2.2) h на

, получим

)/()(

gpzgpz





. (2.3)

Так как точка М взята произвольно, можно утверждать, что для всего

рассматриваемого неподвижного объема жидкости

Constgpz 



Координата

называется геометрической высотой. Величина

)/( gp



имеет

линейную размерность и называется пьезометрической высотой. Сумма

zgp )/((



) называется гидростатическим напором.

Таким образом, гидростатический напор есть величина постоянная для всего

объема неподвижной жидкости.

Те же результаты можно получить путем интегрирования дифференциальных

уравнений равновесия жидкости, которые рассмотрены в следующем параграфе.

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости и их интегрирование

для простейшего случая

Получим дифференциальные уравнения равновесия жидкости в общем случае,

когда на нее действуют не только сила тяжести, но и другие массовые силы,

например, силы инерции переносного движения при так называемом

относительном покое. В неподвижной жидкости возьмем произвольную точку М с

координатами

zyx ,,

и давлением р. Систему координат будем считать жестко

связанной с сосудом, содержащим жидкость. Выделим в жидкости элементарный

объем в форме прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными

координатным осям и соответственно равными

. Пусть точка М будет

одной из вершин параллелепипеда. Рассмотрим условия равновесия выделенного

объема жидкости. Пусть внутри параллелепипеда на жидкость действует

равнодействующая массовая сила, составляющие которой, отнесенные к единице

массы , равны

. Тогда массовые силы, действующие на выделенный

объем в направлении координатных осей, будут равны этим составляющим,

умноженным на массу выделенного объема.

Давление

есть функция координат

., но вблизи точки М по всем

трем граням параллелепипеда оно одинаково, что вытекает из доказанного выше

свойства гидростатического давления .При переходе от точки М, например, к

точке N изменяется лишь координата

на бесконечно малую величину

, в

связи с чем функция

получает приращение, равное частному дифференциалу

dxxp )/( 

, поэтому давление в точке N равно

dxxpp )/( 

где

)/( xp 

— градиент давления вблизи точки М в направлении оси

Рассматривая давления в других соответствующих точках граней, нормальных

к оси

видим, что они отличаются на одинаковую (с точностью до бесконечно

малых высших порядков) величину.





















Ввиду этого разность сил давления, действующих на параллелепипед в

направлении оси

, равна указанной величине, умноженной

на площадь грани:

dxdydz





Аналогичным образом, но через градиенты давления

yp  /

zp  /

выразим

разности сил давления, действующие на параллелепипед в направлении двух

других осей.

На выделенный параллелепипед действуют лишь указанные массовые силы и

силы давления, поэтому уравнения равновесия параллелепипеда в направлениях

трех координатных осей запишем в следующем виде:





























dxdydz

dxdydzZ

dxdydz

dxdydzY

dxdydz

dxdydzX



(2.4)

Разделим эти уравнения на массу

pdxdzdy

параллелепипеда и перейдем к пределу,

устремляя

., к нулю, т. е. стягивая параллелепипед к исходной точке

М. Тогда в пределе получим уравнения равновесия жидкости, отнесенные к точке

М:































(2.5)

Система (2.5) дифференциальных уравнений гидростатики называется

уравнениями Эйлера .

Для практического пользования удобнее вместо системы уравнений (2.5)

получить одно эквивалентное им уравнение, не содержащее частных

производных. Для этого умножим первое из уравнений (2.5) на

, второе на

третье на

и, сложив все три уравнения, получим

























 dz

ZdzYdyXdx



Трехчлен, заключенный в скобках, представляет собой полный дифференциал

давления, т. е. функции

),,( zyxp

, поэтому предыдущее уравнение можно

переписать в виде:

0/ 



dpZdzYdyXdx

или,

dpZdzYdyXdx 



)(

(2.6)

Полученное уравнение выражает приращение давления dp при изменении

координат на

., в общем случае равновесия жидкости.

Если предположить, что на жидкость действует только сила тяжести, и

направить ось z вертикально вверх, то X=Y=O, Z=g и, следовательно, вместо

уравнения (2.7) для этого частного случая равновесия жидкости получим

gdzdp





(2.7)

После интегрирования будем иметь

Cgzp 



Постоянную интегрирования найдем, подставив параметры свободной

поверхности, для которой при z = z

p = р

Получим

gzpC





При этом

)(

zzgpp 



(2.8)

или

Constgpzgpz  )/()/(



Заменяя в уравнении(2.8) разность

 

zz 

на h глубину расположения точки М,

найдем

ghpp





Получили то же основное уравнение гидростатики ,которое было выведено в

предыдущем параграфе иным путем.

Пьезометрическая высота. Вакуум. Измерение давления

В данном параграфе, продолжим рассмотрение важнейшего частного случая

равновесия жидкости, равновесие в поле лишь одной массовой силы, силы

тяжести.

Рис. 1.5 Пьезометр

Пьезометрическая высота, равная



, представляет собой высоту столба данной

жидкости, соответствующую данному давлению

(абсолютному или

избыточному). Пьезометрическую высоту, соответствующую избыточному

давлению, можно определить по пьезометру простейшему устройству для

измерения давления. Пьезометр представляет собой вертикальную стеклянную

трубку, верхний конец которой открыт в атмосферу, а нижний присоединен к

емкости, в которой измеряется давление (рис. 1.5).

Применяя формулу к жидкости, заключенной в пьезометре,

получим

ghрp

аабс





где

абс

— абсолютное давление в жидкости на уровне присоединения

пьезометра;

— атмосферное давление.

Отсюда высота подъема жидкости в пьезометре

)/()/()(

gpgррh

избабсp





), (2.9)

где р

изб

— избыточное давление на уровне присоединения пьезометра. Очевидно,

что если на свободную поверхность покоящейся жидкости действует атмосферное

давление, то пьезометрическая высота для любой точки рассматриваемого объема

жидкости равна глубине расположения этой точки.

Часто Давление в жидкостях или газах численно выражают в виде

соответствующей этому давлению пьезометрической высоты по формуле (2.9).

Если абсолютное давление в жидкости или газе меньше атмосферного, то говорят,

что имеет место разрежение, или вакуум. За величину разрежения, или вакуума,

принимается недостаток до атмосферного давления:

абсавак

ррр 

или

)/()( пррh

абсавак





Простейшим устройством для измерения вакуума может служить стеклянная

трубка, показанная на рис. 1.6 в двух вариантах. Вакуум в жидкости А можно

измерять при помощи U-образной трубки (см. рисунок справа) или перевернутой

U-образной трубки, один конец которой опущен в сосуд с жидкостью (см.

рисунок слева).

Для измерения давления жидкостей и газов в лабораторных условиях помимо

пьезометра пользуются жидкостными и механическими манометрами.

Так называемый U-образный манометр представляет собой изогнутую

стеклянную трубку, содержащую ртуть. При измерении небольших давлений газа

вместо ртути применяют спирт, воду и иногда тетрабром метан (δ = 2,95). Если

измеряется давление жидкости в точке М, и соединительная трубка заполнена

этой же жидкостью, то следует учитывать высоту расположения манометра над

точкой М. Так, избыточное давление в точке М

ghghр

м 2211





Чашечный манометр удобнее описанного выше тем, что при пользовании им

необходимо фиксировать положение лишь одного уровня жидкости (при

достаточно большом диаметре чашки по сравнению с диаметром трубки уровень

жидкости в чашке можно считать неизменным).

Для измерения разности давлений в двух точках служат дифференциальные

манометры, простейшим из которых является U-образный манометр. Если при

помощи такого манометра, обычно заполняемого ртутью, измерена разность

давлений

в жидкости плотностью



, которая полностью заполняет

соединительные трубки, то

)(





рт

hgpp

Для измерения малых перепадов давления воды применяют двух-жидкостный

микроманометр, представляющий собой перевернутую U-образную трубку с

маслом или керосином в верхней части.

Для этого случая

)(

2121



 hgpp

Для измерения давлений более 0,2 — 0,3 МПа применяют механические

манометры — пружинные или мембранные. Принцип их действия основан на

деформации полой пружины или мембраны под действием измеряемого давления.

Через механизм эта деформация передается стрелке, которая показывает величину

измеряемого давления на циферблате.

Наряду с механическими манометрами применяют электрические манометры.

В качестве чувствительного элемента (датчика) в электроманометре используют

мембрану. Под действием измеряемого давления мембрана деформируется и через

передаточный механизм перемещает движок потенциометра, который вместе с

указателем включен в электрическую схему.

Сила давления жидкости на плоскую стенку

Используем основное уравнение гидростатики (1.20) для нахождения полной

силы давления жидкости на плоскую стенку, наклоненную к горизонту под

произвольным углом а (рис. 1.7). Вычислим силу F давления, действующую со

стороны жидкости на некоторый участок рассматриваемой стенки, ограниченный

произвольным контуром и имеющий площадь, равную S.

Ось

ОХ

направим по линии пересечения плоскости стенки со свободной

поверхностью жидкости, а ось

ОY

— перпендикулярно к этой линии в плоскости

стенки.

Выразим сначала элементарную силу давления, приложенную к бесконечно

малой площадке

ghdSdSpdSghppdSdF





)(

где

— давление на свободной поверхности;

— глубина расположения

площадки

Для определения полной силы

проинтегрируем полученное выражение по

всей площади

  



S S S

ydSgSphdSgdSpF ,sin



где

— координата площадки

Рис. 1.7

Последний интеграл представляет собой статический момент

площади

относительно оси

ОХ

и равен произведению этой площади на

координату ее центра тяжести

(точка С), т. е.





SyydS .

Следовательно,

SghSpSgpSF

cyc





sin

(здесь

— глубина расположения центра тяжести площади S. ),

или

SghpF

)(





(1.29)

т. е. полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению

площади стенки на гидростатическое давление

в центре тяжести этой площади.

В частном случае, когда давление Р

является атмосферным и действует

также с другой стороны стенки, сила

изб

избыточного давления жидкости на

плоскую стенку равна лишь силе

давления от веса жидкости, т. е.

изб

В общем случае давление

может существенно отличаться от атмосферного,

поэтому полную силу

давления жидкости на стенку будем рассматривать как

сумму двух сил:

от внешнего давления

и силы

от веса жидкости, т.е.

.)(

SррFFF

сЖ



Рассмотрим вопрос о точках приложения этих сил, называемых центрами

давления.

Так как внешнее давление

передается всем точкам площади

одинаково,

то его равнодействующая

будет приложена в центре тяжести площади

. Для

нахождения точки приложения силы давления

от веса жидкости (точка D)

применим теорему механики, согласно которой момент равнодействующей силы

относительно оси



равен сумме моментов составляющих сил, т. е.





ЖDЖ

ydFyF

где

— координата точки приложения силы

Выражая

через

и определяя

, получаем

Syg

dSyg









sin

где





dSyJ

— момент инерции площади

относительно оси



Учитывая, что

SyJJ

Cxx



Рис. 1.8 Эпюра давления- жидкости на прямоугольную стенку

— момент инерции площади

относительно центральной оси, параллельной



), находим

)./( SyJyy

cxocD



(1.30)

Таким образом, точка приложения силы

расположена ниже центра тяжести

площади стенки; расстояние между ними

Если давление

равно атмосферному, то точка D и будет центром давления.

При

выше атмосферного центр давления находят по правилам механики как

точку приложения равнодействующей двух сил: F

; чем больше первая сила

по сравнению со второй, тем, очевидно, центр давления ближе к центру тяжести

площади S.

В частном случае, когда стенка имеет форму прямоугольника размерами, а х b

(рис. 1.14) и одна из его сторон, а лежит на свободной поверхности с

атмосферным давлением, центр давления D находится на расстоянии b/3 от

нижней стороны.

Сила давления жидкости на криволинейные стенки. Плавание тел

Нахождение силы давления жидкости на поверхности произвольной формы в

общем случае приводится к определению трех составляющих суммарной силы и

трех моментов. Чаще всего рассматривают цилиндрические или сферические

поверхности, имеющие вертикальную плоскость симметрии. Сила давления

жидкости в этом случае сводится к равнодействующей силе, лежащей в плоскости

симметрии.

Возьмем цилиндрическую поверхность АВ с образующей, перпендикулярной к

плоскости чертежа (рис. 1.9), и определим силу давления жидкости на эту

поверхность в двух случаях: