Лекции по Логике
Подождите немного. Документ загружается.
является классификация. Простые деления бывают дихотомическими
(делениями на два вида), либо делениями по видоизменению признака
(делениями на три и более видов). Деление понятий не нужно смешивать с
мысленным расчленением целого на части. Если члены деления
представляют собой самостоятельные виды внутри рода, то части не
подчиняются целому как роду.
Логическая операция деления подчиняется следующим правилам:
1. Деление должно быть соразмерным, т.е. объём делимого понятия должен
быть равен сумме объёмов членов деления. Нарушение этого правила
ведёт к ошибкам двух видов: неполное деление (перечисляются не все
виды рода) и деление с лишними членами (среди членов деления есть вид,
не входящий в объём рода).
2. Деление должно производиться только по одному основанию. Ошибка,
нарушающая это правило, называется «подменой основания». Например,
«растения делятся на съедобные, несъедобные и многолетние».
3. Члены деления должны исключать друг друга, они не должны иметь
общих элементов в объёмах. Это правило связано с предыдущим, поэтому
его нарушение является следствием допущенной ошибки смешения
различных оснований.
4. Деление должно быть непрерывным, от родового понятия следует
переходить к ближайшим видам, от них – к подвидам и т.д. Ошибка,
нарушающая это правило, называется «скачок в делении» (пропуск одного
из ближайших видов).
Соблюдение правил деления особенно важно при формировании и
анализе разделительных и разделительно-категорических умозаключений, а
также при составлении классификаций. Классификация – это сложное
устойчивое системное деление, имеющее большую познавательную или
практическую значимость. Классификацией называется распределение
предметов по классам согласно сходству и различиям между ними, которое
производится с таким расчётом, чтобы каждый класс занимал фиксированное
место в общей системе.
Классификации бывают либо вспомогательными, либо естественными.
Вспомогательная классификация создаётся с целью наиболее лёгкого
отыскания того или иного предмета среди множества классифицируемых
предметов (например, список учащихся школы, каталог). Вспомогательные
классификации являются прежде всего орудиями практической
деятельности. Естественная (научная) классификация – это распределение
предметов по группам на основании их существенных признаков. Знание
того, к какой группе принадлежит предмет, даёт возможность сделать
определённые выводы о его свойствах (например, периодическая таблица
элементов Д.И.Менделеева).
11
Ограничение и обобщение понятий – это логические операции
базирующиеся на законе обратного отношения между содержанием и
объёмом понятий. Обогащая содержание видообразующими признаками, мы
производим уменьшение (ограничение) его объёма. Ограничение – это
операция перехода от большего объёма к меньшему, от рода к виду, от вида к
подвиду и т.д. Пределом ограничения является единичное понятие.
Например: «студент, первокурсник, первокурсник КАИ, первокурсник КАИ
Вася Иванов». Отбрасывая от содержания видообразующие признаки, мы
увеличиваем объём понятия.Эта операция называется обобщением, она имеет
обратную ограничению направленность –от подвида к виду, от вида к роду.
Пределом обобщения является категория.
Операции с классами – это сложение ( сумма) классов, умножение
(произведение) классов, вычитание (разность) классов и дополнение класса.
Операции с классами отличаются от аналогичных арифметических действий
тем, что в них учитываются логические отношения между объёмами понятий
(классами). Сложение классов – это логическая операция, в результате
которой образуется новое множество, объединяющее в себе все элементы
участвующих в сложении классов. Например, если классы находяться в
отношении тождества, то их сумма может быть выражена следующим
образом: А+В=А=В. Если классы находятся в отношении субординации, то
их сумму можно выразить так:А+В=А, где А – родовое множество.
Умножение классов – это логическая операция, в результате которой
образуется новое множество, состоящее из тех элементов, которые
принадлежат одновременно всем участвующим в умножении
классам.Так,например, если мы умножаем классы, находящиеся в отношении
субординации,то получится следующее: А×В=В, где В – видовое множество.
Умножение несовместимых классов можно выразить формулой: А×В=0.
Вычитание классов – это логическая операция, в результате которой
образуется новое множество, состоящее из элементов одного из классов, не
входящих в объём другого класса. Например, вычитание тождественных
классов можно выразить так: А-В=В-А=0, а вычитание соподчинённых
множеств можно представить так: А-В=А.
Дополнение класса – это вычитание из универсального класса.
Дополнение класса – это логическая операция, в результате которой
образуется новое множество, состоящее из элементов универсального класса,
не входящих в объём дополняемого класса. Математическим выражением
этой операции является следующая формула: А΄=1- А, где А΄ - объём
дополнения, 1 – объём универсального класса, А – объём дополняемого
класса.Например, дополнением класса растений будет множество живых
организмов, не являющихся растениями.
12
5. .Лекция Суждение как форма мысли
ПЛАН
1. Общая логическая характеристика суждения. Структура суждения.
2. Виды простых суждений. Модальное суждение и простое категорическое
суждение.
3. Деление суждений по количеству и качеству. Объединенная
классификация простых категорических суждений.
Суждение - это форма мысли, в которой что-либо утверждается или
отрицается о классе, некоторой его части или отдельном предмете. Суждение
образуется из понятий. Если то, о чём говорится в суждении, соответсвует
действительному положению вещей, то суждение является истинным. В
противном случае суждение ложно. Традиционная логика называется
двузначной, потому что в ней присутствуют два значения истинности
суждений. В трёхзначных логиках суждение может быть либо истинным,
либо ложным, либо неопределенным. Многие суждения о будущем являются
неопределёнными, так как не могут быть сопосталены с действительностью,
которая ещё не существует.
Суждения бывают простыми и сложными. Простые суждения состоят
из двух соотнесённых понятий («Шоколад вкусный»). Сложные суждения
строятся из трёх или более понятий («Шоколад и мёд вкусные»).
Суждения выражаются в языке повествовательными предложениями,
исключение составляют односоставные предложения, – они не являются
суждениями. Вопросительные предложения также не являются суждениями,
исключение составляют риторические вопросы. Побудительные
высказывания, как правило, не анализируются как суждения, хотя иногда их
можно рассматривать как модальные суждения («Берегите лес!» - «Лес
необходимо сберечь для будущего»).
Простые суждения различны по своей структуре. Один из самых
распространённых видов простого суждения – это атрибутивное суждение
(суждение свойства).В атрибутивном суждении утверждается или
отрицаетсяпринадлежность предмету некоторого свойства. Такое суждение
состоит из четырёх элементов: субъекта, предиката, связки и квантора.
Субъект простого суждения (логическое подлежащее) – это понятие,
выражающее предмет суждения. Субъект обозначается обычно буквой S.
Предикат суждения (логическое сказуемое) – это понятие о признаке
предмета. Предикат обозначается буквой Р. Вместе субъект и предикат
называются терминами суждения.
Связка фиксирует отношение субъекта и предиката и может быть
выражена глаголами «есть», «суть» («не есть»,»не суть»), «является» ( «не
является»). Часто связка выражается простым согласованием слов в
13
предложении. Квантор – это слово, стоящее перед субъектом и указывающее,
относится ли суждение ко всему объёму понятия, выражающего субъект, или
к его части. Кванторами обычно бывают слова: «все», «каждый», «любой»,
«ни один», «некоторый», «большинство», «меньшинство». Например, в
суждении «некоторые птицы являются хищными» - субъект – это «птица»,
предикат –«хищник», связка – «являются», квантор – «некоторые». Исходя из
всего выше сказанного, формулу атрибутивного (ассерторического)
суждения можно представить следующим образом: Все (некоторые) S есть
(не есть)Р.
Ещё один часто встречающийся вид простого суждения – суждение с
отношениями (релятивное суждение). В этом суждении фиксируется
отношение между двумя объектами. Например: «Отцы старше своих детей».
Формула этого вида: aRb, где R – символ отношения.
Суждение существования (экзистенциальное суждение) утверждает
или отрицает существование чего-либо. Например: «Беспричинных явлений
не существует». И суждения с отношениями, и суждения существования
могут быть приведены к аналитической форме, т.е. к формуле атрибутивного
суждения.
Особое место среди простых суждений занимают модальные суждения.
Модальное суждение (суждение оценки) не только фиксирует отношение
между субъектом и предикатом, но и оценивает его с определенных позиций.
В состав этого суждения включается модальный оператор (модальное
понятие, категория модальности). Модальными операторами часто
выступают слова: «доказано», «опровергнуто», «возможно», «невозможно»,
«случайно», «необходимо» и т.п. Модальные суждения бывают как
простыми, так и сложными. Простое модальное суждение может быть
выражено формулой: М( S естьР) или М( S не есть Р). Например:
«Возможно, на Марсе есть жизнь» или «Возможно на Марсе нет жизни».
Модальные суждения рассматриваются в специальном направлении
современной логики – в модальной логике.
Все простые суждения, не относящиеся к разряду модальных,
объединяют в класс простых категорических суждений. По качеству связки
все простые категорические суждения делятся на утвердительные и
отрицательные. В зависимости от того, обо всём ли классе предметов, о части
этого класса или об одном предмете идёт речь в субъекте, суждения делятся
на общие, частные и единичные. Это деление суждений называется делением
по количеству. Суждение, в котором присутствует или предполагается
квантор общности («все», «каждый», «любой», «ни один»), является общим
суждением. Суждение, в котором присутствует квантор существования
(«некоторый») является частным.Частные суждения делятся на определенные
и неопределенные. Единичное суждение – это суждение субъект которого
является единичным понятием.
14
В каждом суждении имеется количественная и качественная
характеристики. Поэтому в логике применяется объединённая
классификация суждений по количеству и качеству, на основе которой
выделяются следующие четыре типа суждений:
1. А- общеутвердительное суждения. Структура его: «Все S есть Р». Его
формула может быть записана и так: «SaP». Например: «Все студенты сдают
экзамены».
2. I – частноутвердительное суждение. «Некоторые S есть Р», «SiP». Пример:
«Некоторые студенты отличники».
3. Е – общеотрицательное суждение. «Ни одно S не есть Р», «SeP». «Ни один
младенец не космонавт».
4. О – частноотрицательное суждение. «Некоторые S не есть Р», «SoP».
«Некоторые студенты не первокурсники»
Единичные суждения относятся к классам общих.
6. .Лекция Суждение как форма мысли
ПЛАН
1. Распределённость терминов в категорических суждениях.
2. Отношения между сравнимыми суждениями по значениям истинности.
В простых суждениях термины обладают показателем
распределённости. Распределённый термин – это понятие, которое всем
своим объёмом участвует в суждении. Нераспределённый термин – это
понятие, которое присутствует в суждении частью своего объёма. Любое
отношение между субъектом и предикатом простого суждения может быть
изображено при помощи круговых схем Эйлера, отражающих отношения
между понятиями. Термин считается распределённым, если его объём
полностью включается в объём другого термина либо полностью
исключается из него. Термин будет нераспределённым, если его объём
частично включается в объём другого термина либо частично исключается из
него.
В общеутвердительном суждении возможны два варианта
распределённости. Если субъект и предикат суждения находятся в
отношении тождества, то оба термина являются распределёнными.
Например: «Все люди разумные существа». Если субъект суждения
подчиняется предикату, то субъект – распределённый терми, а предикат не
распределён. Например: «Все люди смертны».
В частноутвердительном суждении, субъект и предикат которого
находятся в отношении пересечения, оба термина не распределены.
Например: «Некоторые подростки любят спорт». Если в
частноутвердительном суждении предикат подчиняется субъекту, то субъект
15
не распределён, а предикат рапределён. Например: «Некоторые люди
гениальны».
В общеотрицательном суждении оба термина всегда распределены, так
как логическая схема этого суждения единообразна: термины находятся в
несоместимых отношениях. Например: «Люди не ангелы».
В частноотрицательном суждении субъект не распределён, а предикат
распределён, хотя отношения между терминами могут быть различными.
Существует частноотрицательное суждение, термины которого находятся в
отношении пересечения (например:«Некоторые подростки не любят
учиться»), и существует суждение, в котором предикат подчиняется
субъекту (например: «Некоторые люди не меломаны»).
Суммируя всё вышесказанное, можно вывести следующее правило:
субъект всегда рапределён в общих суждениях и никогда не распределён в
частных суждениях; предикат всегда распределён в отрицательных
суждениях, в утвердительных суждениях предикат часто не распределён, но
может быть распределён, если он по объёму равен субъекту (суждение А),
либо по объёму меньше субъекта (суждение I). Распределённость термина в
суждении обычно символизируют знаком «+», а нераспределенность –
знаком «-».
Простые суждения, как и понятия, делятся на сравнимые (имеют общие
термины) и несравнимые (не имеют общих терминов). Сравнимые суждения
делятся на совместимые и несовметимые. Совместимые суждения выражают
одну и ту же мысль полностью или в некоторой части, они могут оказаться
одновременно истинными. Несовместимые суждения не бывают
одновременно истинными: из истинности одного из них необходимо следует
ложность другого. Отношения совместимости – это эквивалентность,
логическое подчинение и частичное совпадение (субконтрарность).
Отношения несовместимости - это противоположность (контрарность) и
противоречие (контрадикция).
Эквивалентные суждения выражают одну и ту же мысль, они почти
идентичны. Например: «Этот треугольник равносторонний» и «Этот
треугольник равноугольный». Субъект здесь один и тот же, а предикаты
различны по смыслу, но тождественны по объёму. Если два высказывания
эквивалентны, то они могут быть только одновременно истинными, либо
одновременно ложными – это закон тождества.
Отношения сравнимых суждений по истинности принято иллюстрировать
схемой, которая называется «логический квадрат». Стороны и диагонали
логического квадрата символизируют определённые типы логических
отношений.
16
А Е
. I О
Отношение логического подчинения: А – I, Е – О. Из истинности
подчиняющего общего суждения следует истинность подчинённого частного
суждения, но не наоборот: из истинности подчиненного суждения
истинность подчиняющего не следует, оно может быть истинным, но может
быть и ложным. Из ложности подчинённого суждения следует ложность
подчиняющего суждения, но не наоборот: из ложности подчиняющего
суждения ложность подчинённого не следует, оно останется
неопределённым.
Отношение частичного совпадения (субконтрарности): I – О. Эти
суждения могут быть одновременно истинными, но не могут быть
одновременно ложными. Из ложности одного суждения следует истинность
другого, но из истинности одного из них может следовать как истинность,
так и ложность другого.
Отношение противоположности (контрарности): А – Е.
Противоположные суждения не могут быть одновременно истинными, но
могут быть одновременно ложными. Из истинности одного суждения следует
ложность другого, но из ложности одного из них следует неопределённость
другого. Отношение противоречия (контрадикции): А- О, Е – I.
Противоречащие друг другу суждения не могут быть одновременно ни
истинными, ни ложными. Из истинности любого из этих суждений следует
ложность контрадикторного, а из ложности – истинность.
Отрицающими друг друга суждениями называются суждения,
соединённые диагоналями логического квадрата. Эти суждения не могут
быть одновременно ни истинными, ни ложными, поэтому логическое
отрицание меняет значение истинности суждений. Истинное суждение,
подвергаясь отрицанию, становится ложным и наоборот. Закон
исключённого третьего позволяет сформулировать закон двойного
отрицания: отрицание отрицания даёт утверждение. Например: «Если
неверно, что Вселенная не является бесконечной, то она бесконечна».
17
7. .Лекция Суждение как форма мысли
ПЛАН
1.Сложное суждение и его виды.
2.Отрицание сложных суждений.
Сложные суждения образуются из простых суждений с помощью
логических связок (логических констант): конъюнкции, дизъюнкции,
импликации и эквиваленции. Сложные суждения образованные посредством
связи двух или нескольких простых суждений союзами «и», «а», «но», «да»,
называются соединительными (конъюнктивными). Например: «На улице
холодно и идёт дождь». Зависимость истинности конъюнктивного суждения
от истинности исходных суждений можно проиллюстрировать следующей
таблицей:
а в а & в
И И И
И Л Л
Л И Л
Л Л Л
Сложные суждения, образованные посредством связи двух или нескольких
простых суждений союзами «или», «либо», называются разделительными
(дизъюнктивными) суждениями. Простые суждения в составе
разделительного суждения называются альтернативами. Существует два вида
разделительного суждения: нестрогая дизъюнкция (соединительно-
разделительное суждение) и строгая дизъюнкция (исключающе-
разделительное суждение). Нестрогая дизъюнкция составлена из
альтернатив, которые могут быть одновременно истинными, они не
исключают друг друга. Например: «Этот ребёнок красив, либо талантлив».
Строгая дизъюнкция составлена из альтернатив, исключающих друг друга.
Например: «Пациент жив, либо умер». Истинность разделительных
суждений иллюстрируется следующими таблицами:
соединительно-разделительное суждение
18
а в а v в
И И И
И Л И
Л И И
Л Л Л
исключающе -разделительное суждение
а в а v в
И И Л
И Л И
Л И И
Л Л Л
Условное суждение – это особый вид сложного суждения. Оно образуется
при помощи импликации из двух простых суждений, в нём отражается
причинно-следственная связь явлений, поэтому оно несимметрично. В
условном суждении присутсвуют союзы «если… то», «следовательно» и т п .
Пример условного суждения: «Если истопить печь, то в доме станет теплее».
Таблица истинности для импликации:
а в а → в
И И И
И Л Л
Л И И
Л Л И
Сложное суждение эквивалентности ( суждение тождества) образуется из
двух эквивалентных простых суждений при помощи союзов «только если, …
то», «тогда и только тогда», «если, и только если….то тогда , и только
тогда».Например: «Только если Гагарин – первый человек, побывавший в
космосе, то Гагарин – первый космонавт».
Таблица истинности для суждения эквивалентности:
а в а = в
И И И
И Л Л
Л И Л
Л Л И
Чтобы получить отрицание сложных суждений, имеющих в своём
составе лишь операции конъюнкции и дизъюнкции, необходимо поменять
знаки операций друг на друга и добавить отрицание в элементарные
высказывания, а если оно уже есть, то отбросить его.
19
┐(а v в)=┐а & ┐в ; ┐(┐а v ┐в)=а & в; ┐(а & в)=┐а V ┐в ; ┐(┐а & ┐в)=аV в
Эти четыре формулы называются законами де Моргана. Если в сложном
суждении присутствует импликация, то её необходимо заменить на
тождественную формулу с дизъюнкцией, а затем по общему методу находить
противоречащее суждение: (а →в) = (┐а v в) = ┐(а & ┐в). Например: «Если у
меня будет время, то я сделаю ремонт на даче» = «У меня не будет времени,
либо я сделаю ремонт на даче» = «Неверно, что у меня будет время и я не
сделаю ремонт на даче».
8. .Лекция Умозаключение как форма мысли
ПЛАН
1. Общая характеристика умозаключения, его структура типы
умозаключений.
2. Непосредственное умозаключение. Виды непосредственных
умозаключений.
Умозаключение – это форма мысли, в которой из одного или
нескольких суждений выводится новое суждение, с необходимостью или
определённой степенью вероятности следующее из них. Суждения, из
которых делается вывод, называются посылками умозаключения. Суждение,
являющееся выводом из посылок, называется заключением. Внутренняя
связь между посылками и заключением называется логическим следованием.
По характеру логического следования все умозаключения делятся на
достоверные (демонстративные) и вероятностные. Демонстративные
умозаключения содержат необходимое логическое следование: в них связь
посылок и заключения такова, что при истинных суждениях в посылках
заключение будет достоверно истинным.Например:«Люди не ангелы. Я
человек.Следовательно, я не ангел». Вероятностные умозаключения
содержат ослабленное логическое следование: в них истинность посылок не
гарантирует истинного заключения. Например: «У подъезда дома карета
«скорой помощи»,следовательно, кто-то из жильцов болен».
По направленности логического следования все умозаключения
делятся на дедуктивные, индуктивные и традуктивные выводы. Дедуктивное
умозаключение – это вывод от знания большей степени общности к знанию
меньшей степени общности. В посылках дедуктивного умозаключения
содержится некоторое общее правило, которое применяется к частному
случаю в заключении. Достоверные дедуктивные выводы называются
силлогизмами. Впервые теория силлогизма была разработана Аристотелем. В
современной математической логике дедукцией называют демонстративные
выводы. Пример дедуктивного умозаключения: «Все люди смерты. Сократ –
человек. Следовательно, Сократ смертен».
20