Это равенство можно рассматривать как разложение нуля в ряд Лорана с коэффициен-
тами z
∗
A
k
b. Поскольку такое разложение единственно, отсюда получаем, что z
∗
A
k
b = 0,
∀k = 0, 1, . . .
Таким образом, если не выполнено свойство 4), то не выполнено и свойство 4
0
) с введен-
ным выше Ω, а отсюда не выполнено свойство 1
0
).
Если же не выполнено свойство 1
0
), то, как было показано с помощью тождества Кэли в
доказательстве теоремы 3.1, равенства z
∗
A
k
b = 0 выполнены не только для k = 0, . . . , n−1,
но и для всех натуральных k. Отсюда следует соотношение (3.16). Но тогда, используя
разложение (3.15), находим, что
z
∗
(pI − A)
−1
b = 0 ∀p ∈ Ω.
Таким образом, если не выполнено свойство 1
0
), то не выполнено и свойство 4
0
).
Эквивалентность свойств 1
0
) и 4) доказана.
Докажем теперь эквивалентность свойств 1) и 5).
Пусть свойство 5) не выполнено. В этом случае, введя обозначения
˜
b = S
−1
b,
e
A = S
−1
AS,
получаем равенства
e
A
k
e
b = S
−1
AS S
−1
AS . . . S
−1
AS S
−1
b = S
−1
A
k
b.
Поэтому
(
˜
b,
e
A
˜
b, . . . ,
e
A
n−1
˜
b ) = S
−1
(b, Ab, . . . , A
n−1
b). (3.17)
Из предположений относительно матриц
e
A и
˜
b сразу следует, что матрица (
˜
b,
e
A
˜
b, . . . ,
e
A
n−1
˜
b )
имеет следующую структуру:
(
˜
b,
e
A
˜
b, . . . ,
e
A
n−1
˜
b ) =
Q
0
.
Поэтому rank(
˜
b,
e
A
˜
b, . . . ,
e
A
n−1
˜
b ) < n.
Из равенства (3.17) и невырожденности матрицы S вытекает, что
rank(
˜
b,
e
A
˜
b, . . . ,
e
A
n−1
˜
b ) = rank(b, Ab, . . . , A
n−1
b).
Следовательно,
rank(b, Ab, . . . , A
n−1
b) < n,
и, таким образом, не выполнено свойство 1).
Пусть теперь не выполнено свойство 1) и rank(b, Ab, . . . , A
n−1
b) = r < n. В этом случае
найдется неособая матрица S такая, что
S
−1
(b, Ab, . . . , A
n−1
b) =
Q
0
, (3.18)
где Q — некоторая r × nm-матрица, а 0 — нулевая матрица размерности (n −r) × nm.
Покажем, что в этом случае матрицы
e
A = S
−1
AS =
A
11
A
12
A
21
A
22
,
˜
b = S
−1
b =
b
1
b
2
,
где S — неособая матрица, удовлетворяющая равенству (3.18), A
21
— (n − r) × r-, b
2
—
(n − r) × m-матрицы, таковы, что A
21
= 0 и b
2
= 0.
Отметим, что здесь выполнено равенство (3.17). Отсюда и из (3.18) получаем, что
(
˜
b,
e
A
˜
b, . . . ,
e
A
n−1
˜
b ) =
Q
0
. (3.19)
47