38
степенями обладания свойством. Другими словами, мы опять приходим к некоторым
«числам» другого типа, которые по своей природе принципиально отличаются от
прагматических к-чисел. Эти «числа» выражают соизмерение совокупностей или
степеней обладания одним и тем же свойством, поэтому, поскольку они означают некую
соизмерительную сущность, мы будем их называть прематематическими с-числами. При
таком определении с-чисел они отражают, в частности, соотношение между двумя к-
числами.
В качестве примера можно привести то, что в Вавилоне и в Египте, при решении
некоторых задач, кроме целых значений количеств использовались и части от целого. В
первую очередь использовались половинки и четвертинки. Позже появились в
рассмотрении и другие части целого реального объекта. Заметим, что древние имели дело
с частями реальных объектов, а не с абстрактными объектами, которыми являются
дроби. Забегая вперед, скажем, что древние греки в математике не употребляли дроби, ибо
дроби связаны с понятием числа единицы, существования которого они не признавали, о
чем мы будем говорить более подробно ниже.
В исторической литературе (см., например, В. дер Варден, 12, История математики, 30,
т.1, Я. Депман, 24) говорится об использовании дробей в древних цивилизациях, причем в
понятие дроби вкладывают современное математическое содержание. Подобные
утверждения являются спорными. Дело в том, что в сохранившихся письменных
документах этих цивилизаций приводятся решения практических задач, в которых с
современной точки зрения использовались дроби. Однако если рассмотреть внимательно
приведенные решения задач, то можно увидеть, что в предлагаемых методиках этих
решений ни в коем случае не упоминается и не используется понятие, которое можно
толковать как дробь. Просто дается инструкция, которой надо следовать для того, чтобы
получить решение конкретной задачи.
Так, например, древние египтяне использовали некие специальные обозначения для
объектов, которые в литературе называют «аликвотные дроби», т.е. в современной записи
они имеют вид 1/n . Однако, как это следует из письменных источников, в них
вкладывался смысл части чего-то целого.
«Появление класса аликвотных дробей весьма характерно для начального развития понятия
числа в любой древней цивилизации. Это первое появление дробей из процесса дробления
целого на части (другой источник возникновения дробей – процесс измерения), если не считать
«натуральных» дробей типа 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/6 и 1/8, которые имели индивидуальные
названия (это были доли египетской единицы площади «сетат»). Эти натуральные дроби
возникли одновременно с целыми также из процесса деления целого на более или менее
крупные части. Деление же единицы на большое число в практике вряд ли встречалось…
Однако в древнеегипетской математике далее этих основных дробей, получивших название
египетских, развитие не пошло» (История математики, 32, т.1, с. 25).
Приведенная цитата ярко характеризует то использование современных понятий,
которое характерно для математической исторической литературы. Во-первых, здесь
говорится о древнеегипетской математике, хотя в ней не было ни одного абстрактного
понятия. Во-вторых, употребляется понятие дроби, хотя имеются в виду части от целого.
В третьих, в этот цитате утверждается, что другим источником дробей является процесс
измерения. Последнее утверждение скорее относится к вавилонской прематематике,
нежели египетской, ибо у египтян мы не встречаем задач, из которых следует это
утверждение. При более внимательном рассмотрении то, что у вавилонян обычно
называют дробями , больше похоже на именованные числа, т.е. для решения своих задач
вавилоняне использовали составные именованные числа.
Другим принципиальным историческим вопросом, касающимся с-чисел, является