Лобасова М.С. Тепломассообмен
Подождите немного. Документ загружается.
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 3. Теплопроводность плоской стенки при наличии внутренних источников тепла
Тепломассообмен. Курс лекций 31
П
П
л
л
а
а
с
с
т
т
и
и
н
н
а
а
с
с
о
о
д
д
н
н
о
о
й
й
т
т
е
е
п
п
л
л
о
о
и
и
з
з
о
о
л
л
и
и
р
р
о
о
в
в
а
а
н
н
н
н
о
о
й
й
п
п
о
о
в
в
е
е
р
р
х
х
н
н
о
о
с
с
т
т
ь
ь
ю
ю
Пусть одна из поверхностей пластины,
рассмотренной в предыдущем случае, будет
теплоизолированной (рис. 3.2
), а на другой ее
поверхности заданы условия охлаждения: ко-
эффициент теплоотдачи = const и темпера-
тура жидкости вдали от пластины t
ж
= const.
Источники равномерно распределены по все-
му объему и равны q
v
= const. Обозначим тол-
щину пластины и воспользуемся решением
предыдущей задачи (3.6
) для половины сим-
метрично охлаждаемой пластины. Здесь мак-
симальное значение температуры пластины t
0
будет соответствовать ее левой поверхности,
через которую отсутствует поток тепла.
П
П
л
л
а
а
с
с
т
т
и
и
н
н
а
а
с
с
р
р
а
а
з
з
н
н
ы
ы
м
м
и
и
(
(
п
п
о
о
с
с
т
т
о
о
я
я
н
н
н
н
ы
ы
м
м
и
и
)
)
т
т
е
е
м
м
п
п
е
е
р
р
а
а
т
т
у
у
р
р
а
а
м
м
и
и
п
п
о
о
в
в
е
е
р
р
х
х
н
н
о
о
с
с
т
т
е
е
й
й
.
.
К
К
р
р
и
и
т
т
е
е
р
р
и
и
й
й
П
П
о
о
м
м
е
е
р
р
а
а
н
н
ц
ц
е
е
в
в
а
а
Рассмотрим длинную пластину, толщина
которой – величина малая по сравнению
с двумя другими размерами (рис. 3.3
). Источ-
ники равномерно распределены по всему объе-
му и равны q
v
= const. Температуры стенок
поддерживаются постоянными: при х = 0
t = t
c1
; при х = t = t
c2
. Температура пластины
будет изменяться только вдоль оси х. Необхо-
димо найти распределение температуры в пла-
стине [8
].
Дифференциальное уравнение (3.2
) и его
решение (3.4
) такие же. Постоянные интегри-
рования находим из новых граничных условий:
при х = 0 t = t
c1
; при х = t = t
c2
. Тогда распределение температуры в пла-
стине описывается уравнением
2
c2 c1
c1
() .
22
vv
tt q q
tx t x x x
(3.7)
Преобразуем выражение (3.7
):
Рис. 3.3
Рис. 3.2
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 3. Теплопроводность плоской стенки при наличии внутренних источников тепла
Тепломассообмен. Курс лекций 32
2
2
c1 c1 c2
2
() ( )
2
v
q
x
xx
tx t t t
.
Отнимем от его правой и левой частей температуру стенки
t
c2
, тогда
2
2
c2 c1 c2 c1 c2
2
() ( )
2
v
q
x
xx
tx t t t t t
.
Разделим правую и левую части на (t
c1
- t
c2
):
2
c2
2
c1 c2
()
Po
1
2
tx t
x
xx
tt
,
Здесь
2
c1 c2
Po
()
v
q
tt
– число Померанцева, характеризующее отношение
мощности внутреннего источника теплоты q
v
к мощности теплового потока,
переносимого в единице объема за счет теплопроводности при перепаде тем-
ператур (t
c1
– t
c2
).
Обозначим
/
X
x
как безразмерную координату, тогда
2
Po Po Po
1(1)(1)(1)1
222
XXX XX X X X
.
Окончательно распределение температуры в безразмерном виде опи-
сывается выражением
1
(1 ) 1 Po
2
XX
. (3.8)
В зависимости от величины числа Померанцева распределение темпе-
ратуры может иметь вид выпуклой или вогнутой кривой, причем максималь-
ная температура может лежать либо внутри пластины, либо на одной из ее
поверхностей. В случае отсутствия внутренних источников тепла (Po = 0)
распределение температуры, описываемое уравнением (3.8
), совпадает с
формулой (2.6
).
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 3. Теплопроводность плоской стенки при наличии внутренних источников тепла
Тепломассообмен. Курс лекций 33
Н
Н
е
е
с
с
и
и
м
м
м
м
е
е
т
т
р
р
и
и
ч
ч
н
н
ы
ы
е
е
у
у
с
с
л
л
о
о
в
в
и
и
я
я
о
о
т
т
в
в
о
о
д
д
а
а
т
т
е
е
п
п
л
л
о
о
т
т
ы
ы
о
о
т
т
п
п
л
л
а
а
с
с
т
т
и
и
н
н
ы
ы
Рассмотрим пластину толщиной с равномерно распределенными
внутренними источниками тепла, условия отвода теплоты от которой раз-
личны (рис. 3.4
): с одной стороны пластины находится одна жидкость с ко-
эффициентом теплоотдачи
1
и температурой вдали от пластины t
ж1
, а с дру-
гой стороны – другая жидкость с коэффициентом теплоотдачи
2
и темпера-
турой вдали от пластины t
ж2
. Необходимо найти распределение температуры
в пластине.
В случае несимметричных условий отвода теплоты от пластины плос-
кость, через которую тепловой поток отсутствует, сместится из центра пла-
стины к одной из ее поверхностей в некоторую точку x
0
. Решения следует ис-
кать отдельно для левой половины пластины и для ее правой половины (вос-
пользовавшись общим решением (3.4
) дифференциального уравнения (3.2)) ,
в которых будут разными граничные условия и, следовательно, изменятся
значения постоянных интегрирования.
Граничные условия для
правой половины пластины: при
х = x
0
плотность теплового потока
0
/0
xx
dt dx
; на поверхности пла-
стины при х = из уравнения те-
плоотдачи
/
x
dt dx
2c2 ж 2
()tt .
Подставляя значения по-
стоянных интегрирования из та-
ких граничных условий в уравне-
ние (3.4
) и выполнив группировку
подобных членов, получим рас-
пределение температуры в правой
части пластины для
0
xx
:
прав 22
0
ж20
2
() ( ) ( )
2
vv v
qqxq
txt x x x
. (3.9)
Температура правой поверхности пластины
2 ж20
2
() ( ).
v
c
q
ttx t x
Рис. 3.4
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 3. Теплопроводность плоской стенки при наличии внутренних источников тепла
Тепломассообмен. Курс лекций 34
Граничные условия для левой половины пластины: при х = x
0
0
/0
xx
dt dx
; на внешней границе при х = 0 из уравнения теплоотдачи
1c1ж1
0
/()
x
dt dx t t
.
Подставляя значения постоянных интегрирования из данных гранич-
ных условий в уравнение (3.4) и выполнив группировку подобных членов,
получим распределение температуры в левой части пластины для
0
0 xx
:
лев 2
00
ж1
1
()
2
vv v
qx qx q
txt x x
. (3.10)
Температура левой поверхности пластины
0
c1 ж1
1
(0)
v
qx
ttx t
.
Для определения координаты x
0
необходимо приравнять решения для
правой и левой частей пластины в этой точке
лев прав
00
() ():tx t x
ж 2 ж1
2
0
12
1
2
11
v
tt
q
x
.
Максимальное значение температуры
00
()ttx
находим по формуле
(3.9
) или (3.10).
К
К
о
о
н
н
т
т
р
р
о
о
л
л
ь
ь
н
н
ы
ы
е
е
в
в
о
о
п
п
р
р
о
о
с
с
ы
ы
1. Запишите стационарное одномерное дифференциальное уравнение
теплопроводности с внутренними источниками тепла в декартовых коорди-
натах и его решение.
2. Перечислите процессы, при протекании которых происходит объем-
ное выделение (поглощение) тепла.
3. Дайте определение и запишите единицы измерения объемной мощ-
ности внутренних источников тепла.
4. Какому закону подчиняется распределение температуры в плоской
стенке при наличии внутренних источников тепла в случае си
мметричных
условий охлаждения?
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 3. Теплопроводность плоской стенки при наличии внутренних источников тепла
Тепломассообмен. Курс лекций 35
5. Что общего и в чем различие выражений для распределения темпера-
туры в плоской стенке при наличии тепловыделения для симметричных ус-
ловий охлаждения и пластины с одной теплоизолированной поверхностью?
6. Схематически в зависимости от числа Померанцева изобразите рас-
пределение температуры в плоской стенке при протекании в ней химической
реакции, если заданы разные (постоянные) температуры ее поверхностей.
7. Можно ли для н
есимметричных условий охлаждения пластины рас-
считать распределение температуры для правой половины пластины по фор-
мулам для левой половины пластины?
8. Запишите выражение для определения координаты
x
0
(соответст-
вующей максимальной температуре в пластине), если вместо температур
жидкостей заданы температуры поверхностей пластины.
Л
Л
е
е
к
к
ц
ц
и
и
я
я
4
4
.
.
Т
Т
е
е
п
п
л
л
о
о
п
п
р
р
о
о
в
в
о
о
д
д
н
н
о
о
с
с
т
т
ь
ь
ц
ц
и
и
л
л
и
и
н
н
д
д
р
р
и
и
ч
ч
е
е
с
с
к
к
о
о
й
й
с
с
т
т
е
е
н
н
к
к
и
и
б
б
е
е
з
з
в
в
н
н
у
у
т
т
р
р
е
е
н
н
н
н
и
и
х
х
и
и
с
с
т
т
о
о
ч
ч
н
н
и
и
к
к
о
о
в
в
т
т
е
е
п
п
л
л
а
а
Линейная плотность теплового потока. Температурное поле в цилин-
дрической стенке при граничных условиях первого рода. Теплопроводность
через многослойную цилиндрическую стенку. Эквивалентный коэффициент
теплопроводности цилиндрической стенки. Теплопроводность через цилинд-
рическую стенку при граничных условиях третьего рода (теплопередача).
Линейный коэффициент теплопередачи. Линейное термическое сопротивле-
ние теплопроводности, теплоотдачи, теплопередачи. Расчет теплопереда-
чи в тонких цилинд
рических стенках. Критический диаметр цилиндрической
стенки.
Л
Л
и
и
н
н
е
е
й
й
н
н
а
а
я
я
п
п
л
л
о
о
т
т
н
н
о
о
с
с
т
т
ь
ь
т
т
е
е
п
п
л
л
о
о
в
в
о
о
г
г
о
о
п
п
о
о
т
т
о
о
к
к
а
а
Т
Т
е
е
м
м
п
п
е
е
р
р
а
а
т
т
у
у
р
р
н
н
о
о
е
е
п
п
о
о
л
л
е
е
в
в
ц
ц
и
и
л
л
и
и
н
н
д
д
р
р
и
и
ч
ч
е
е
с
с
к
к
о
о
й
й
с
с
т
т
е
е
н
н
к
к
е
е
п
п
р
р
и
и
г
г
р
р
а
а
н
н
и
и
ч
ч
н
н
ы
ы
х
х
у
у
с
с
л
л
о
о
в
в
и
и
я
я
х
х
п
п
е
е
р
р
в
в
о
о
г
г
о
о
р
р
о
о
д
д
а
а
Рассмотрим стационарный процесс теплопроводности в бесконечной
цилиндрической стенке (трубе) с внутренним диаметром d
1
и наружным диа-
метром d
2
(рис. 4.1) с постоянным коэффициентом теплопроводности . На
наружных поверхностях трубы поддерживаются постоянными значения тем-
пературы t
c1
и t
c2
. Необходимо найти распределение температуры в цилинд-
рической стенке и тепловой поток через нее. В рассматриваемом случае
дифференциальное уравнение теплопроводности удобно записать в цилинд-
рической системе координат (ось Оz совмещена с осью трубы):
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 4. Теплопроводность цилиндрической стенки без внутренних источников тепла
Тепломассообмен. Курс лекций 36
222
2
2222
11
0
tt tt
t
rrrr z
.
Так как труба бесконечная и изотроп-
ная, то дифференциальное уравнение теп-
лопроводности примет вид
2
2
1
0
dt dt
dr r dr
. (4.1)
Граничные условия:
при r = r
1
t = t
c1
; при r = r
2
t = t
c2
. (4.2)
Если решить уравнение (4.1
) совместно с условиями (4.2), то получим
уравнение температурного поля в цилиндрической стенке. Задача решается
введением новой переменной
21
ln CrCt
. (4.3)
Постоянные интегрирования С
1
и С
2
можно определить, если в уравне-
ние (4.3) подставить граничные условия (4.2
):
1
c1 c1 c 2
21
ln( / )
ln( / )
rr
tt t t
rr
или
1
c1 c1 c2
21
ln( / )
ln( / )
dd
tt t t
dd
. (4.4)
Полученное выражение представляет собой уравнение логарифмиче-
ской кривой. То обстоятельство, что распределение температуры в цилинд-
рической стенке является криволинейным, можно объяснить следующим.
В случае плоской стенки удельный тепловой поток q остается одинаковым
для всех изотермических поверхностей. По этой причине градиент темпера-
туры сохраняет для всех изотермических поверхностей постоянную величи-
ну. В слу
чае цилиндрической стенки плотность теплового потока через лю-
Рис. 4.1
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 4. Теплопроводность цилиндрической стенки без внутренних источников тепла
Тепломассообмен. Курс лекций 37
бую изотермическую поверхность будет величиной переменной, так как ве-
личина поверхности зависит от радиуса.
Для определения количества теплоты, проходящего через цилиндриче-
скую поверхность величиной
2
F
rl
в единицу времени, следует вос-
пользоваться законом Фурье:
c1 c 2
21
2( )
.
ln( / )
lt t
dt
QF
dr d d
(4.5)
Из уравнения (4.5
) следует, что количество теплоты, проходящее через
цилиндрическую стенку в единицу времени, полностью определяется задан-
ными граничными условиями и не зависит от радиуса. Тепловой поток может
быть отнесен либо к единице длины трубы, либо к единице внутренней или
внешней поверхности. Тогда расчетные формулы для удельных тепловых по-
токов примут следующий вид.
Тепловой поток через единицу внутренней повер
хности
c1 c2
1
1121
2( )
ln( / )
Qtt
q
dl d d d
.
Тепловой поток через единицу внешней поверхности
c1 c2
2
2221
2( )
ln( / )
tt
Q
q
dl d d d
.
Тепловой поток на единицу длины трубы
c1 c2
2
1
()
1
ln
2
l
tt
Q
q
d
l
d
. (4.6)
Тепловой поток, отнесенный к единице длины трубы, имеет размер-
ность Вт/м и называется линейной плотностью теплового потока. Как видно
из уравнения (4.6
), при неизменном отношении диаметров линейная плот-
ность теплового потока не зависит от поверхности цилиндрической стенки.
Плотности теплового потока через внутреннюю и внешнюю стенки неодина-
ковы, причем первая больше второй.
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 4. Теплопроводность цилиндрической стенки без внутренних источников тепла
Тепломассообмен. Курс лекций 38
Т
Т
е
е
п
п
л
л
о
о
п
п
р
р
о
о
в
в
о
о
д
д
н
н
о
о
с
с
т
т
ь
ь
ч
ч
е
е
р
р
е
е
з
з
м
м
н
н
о
о
г
г
о
о
с
с
л
л
о
о
й
й
н
н
у
у
ю
ю
ц
ц
и
и
л
л
и
и
н
н
д
д
р
р
и
и
ч
ч
е
е
с
с
к
к
у
у
ю
ю
с
с
т
т
е
е
н
н
к
к
у
у
.
.
Э
Э
к
к
в
в
и
и
в
в
а
а
л
л
е
е
н
н
т
т
н
н
ы
ы
й
й
к
к
о
о
э
э
ф
ф
ф
ф
и
и
ц
ц
и
и
е
е
н
н
т
т
т
т
е
е
п
п
л
л
о
о
п
п
р
р
о
о
в
в
о
о
д
д
н
н
о
о
с
с
т
т
и
и
м
м
н
н
о
о
г
г
о
о
с
с
л
л
о
о
й
й
н
н
о
о
й
й
ц
ц
и
и
л
л
и
и
н
н
д
д
р
р
и
и
ч
ч
е
е
с
с
к
к
о
о
й
й
с
с
т
т
е
е
н
н
к
к
и
и
Рассмотрим теплопроводность многослойной цилиндрической стенки,
состоящей из n однородных слоев. Примем, что контакт между слоями со-
вершенный и температура на соприкасающихся поверхностях соседних слоев
одинакова. Заданы температуры на внешних поверхностях стенки, коэффи-
циенты теплопроводности и толщины слоев (рис. 4.2
). Метод решения анало-
гичен методу для плоской многослойной стенки. При стационарном тепло-
вом режиме линейная плотность теплового потока не меняется по толщине
стенки, т. е.
/0.
l
qr
Составим систему уравнений линейных плотностей теплового потока
для каждого из слоев. Выразим из них температурные напоры и почленно
сложим уравнения, тогда
31
2
c1 c( 1)
11 22
11 1
ln ln ... ln
22 2
ln
n
nn
qdd
d
tt
dd d
.
Отсюда линейная плотность теплового потока
Рис. 4.2
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 4. Теплопроводность цилиндрической стенки без внутренних источников тепла
Тепломассообмен. Курс лекций 39
c1 c( 1)
1
1
()
1
ln
2
n
l
n
i
i
ii
tt
q
d
d
.
Величина
1
1
ln
2
i
ii
d
d
называется линейным термическим сопро-
тивлением теплопроводности отдельного слоя, а величина
1
1
1
ln
2
n
i
i
ii
d
d
представляет собой термическое сопротивление всех слоев и называется
полным линейным термическим сопротивлением теплопроводности много-
слойной цилиндрической стенки.
Температура на границе соприкосновения любых слоев
1
c( 1) c
1
ln
2
ln
nn
nn
qd
tt
d
.
Внутри любого слоя температура изменяется по логарифмической кри-
вой, распределение которой можно найти по формуле (4.4
).
Понятие об эквивалентном коэффициенте теплопроводности для ци-
линдрической стенки принципиально не отличается от такого же понятия для
многослойной плоской стенки: термическое сопротивление, вычисленное по
эквивалентному коэффициенту теплопроводности, должно равняться сумме
термических сопротивлений всех слоев, образующих многослойную цилинд-
рическую стенку:
11
1
экв 1
11
ln ln
22
n
ni
i
ii
dd
dd
.
Отсюда эквивалентный коэффициент теплопроводности
11
экв
1
1
ln( / )
1
ln
n
n
i
i
ii
dd
d
d
.
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 4. Теплопроводность цилиндрической стенки без внутренних источников тепла
Тепломассообмен. Курс лекций 40
Так же, как и для плоской стенки, эквивалентный коэффициент тепло-
проводности для многослойной цилиндрической стенки зависит не только от
физических свойств слоев, но и от общей толщины стенки.
Т
Т
е
е
п
п
л
л
о
о
п
п
р
р
о
о
в
в
о
о
д
д
н
н
о
о
с
с
т
т
ь
ь
ч
ч
е
е
р
р
е
е
з
з
ц
ц
и
и
л
л
и
и
н
н
д
д
р
р
и
и
ч
ч
е
е
с
с
к
к
у
у
ю
ю
с
с
т
т
е
е
н
н
к
к
у
у
п
п
р
р
и
и
г
г
р
р
а
а
н
н
и
и
ч
ч
н
н
ы
ы
х
х
у
у
с
с
л
л
о
о
в
в
и
и
я
я
х
х
т
т
р
р
е
е
т
т
ь
ь
е
е
г
г
о
о
р
р
о
о
д
д
а
а
(
(
т
т
е
е
п
п
л
л
о
о
п
п
е
е
р
р
е
е
д
д
а
а
ч
ч
а
а
)
)
.
.
Л
Л
и
и
н
н
е
е
й
й
н
н
ы
ы
й
й
к
к
о
о
э
э
ф
ф
ф
ф
и
и
ц
ц
и
и
е
е
н
н
т
т
т
т
е
е
п
п
л
л
о
о
п
п
е
е
р
р
е
е
д
д
а
а
ч
ч
и
и
.
.
Л
Л
и
и
н
н
е
е
й
й
н
н
ы
ы
е
е
т
т
е
е
р
р
м
м
и
и
ч
ч
е
е
с
с
к
к
и
и
е
е
с
с
о
о
п
п
р
р
о
о
т
т
и
и
в
в
л
л
е
е
н
н
и
и
я
я
т
т
е
е
п
п
л
л
о
о
п
п
р
р
о
о
в
в
о
о
д
д
н
н
о
о
с
с
т
т
и
и
,
,
т
т
е
е
п
п
л
л
о
о
о
о
т
т
д
д
а
а
ч
ч
и
и
,
,
т
т
е
е
п
п
л
л
о
о
п
п
е
е
р
р
е
е
д
д
а
а
ч
ч
и
и
Рассмотрим однородную ци-
линдрическую стенку (трубу) с внут-
ренним диаметром d
1
и наружным
диаметром d
2
(рис. 4.3) с постоянным
коэффициентом теплопроводности .
Заданы постоянные температуры
подвижных сред t
ж1
и t
ж2
, а также по-
стоянные значения коэффициентов
теплоотдачи на внутренней и наруж-
ной поверхностях трубы
1
и
2
. Не-
обходимо найти температуры по-
верхностей цилиндрической стенки
t
с1
и t
с2
и тепловой поток через нее.
Будем полагать, что длина трубы велика по сравнению с толщиной
стенки. Тогда потерями тепла с торцов трубы можно пренебречь и при уста-
новившемся тепловом режиме количество тепла, которое будет передаваться
от горячей среды к поверхности стенки, проходить через стенку и отдаваться
от стенки к холодной жидкости, будет одно и то же. Так же, как в случ
ае
плоской стенки, выразим плотности теплового потока для теплопроводности
и двух процессов теплоотдачи. Выразим температурные напоры и почленно
сложим уравнения:
2
ж1 ж 2
11 1 2 2
11 1
ln
2
l
qd
tt
ddd
. (4.7)
Тогда линейная плотность теплового потока определяется как
ж 1 ж 2
2
11 1 2 2
()
11 1
ln
2
l
tt
q
d
ddd
. (4.8)
Рис. 4.3